수직선 위의 정수
수직선 위에서 정수는 0에서 앞이나 뒤로 하나씩 셀 때 멈추는, 같은 간격의 점들입니다. 1/2, 3.5, √2 같은 수는 그 사이의 빈틈에 있으므로 정수가 아닙니다. 이 글에서는 정수를 구별하는 방법, 0이 정수에 포함되는 이유, 그리고 정수의 부호 규칙이 실제로 어떻게 작동하는지 알아봅니다.
어떤 수가 정수인지 어떻게 알 수 있을까?
분수나 소수 부분 없이 쓸 수 있는 수가 정수입니다. 정수는 양수, 음수, 0 중 어느 것이든 될 수 있습니다. 교과서 OpenStax Prealgebra 2e(영어)는 이를 간단히 정리합니다. 정수는 셀 때 쓰는 수, 그 반대 수, 그리고 0입니다. 따라서 7, −7, 0은 정수이고 7.5는 정수가 아닙니다.
예시
다음 수를 빠르게 확인해 보세요.
- −12는 정수입니다. 셀 때 쓰는 수 12의 반대 수이기 때문입니다.
- 0은 정수입니다.
- 3.5는 정수가 아닙니다. 소수 부분이 있기 때문입니다.
- 1/2은 정수가 아닙니다.
- 8/2은 정수입니다. 8/2 = 4이기 때문입니다.
- √9는 정수입니다. √9 = 3이기 때문입니다.
- √2는 정수가 아닙니다. 약 1.41이기 때문입니다.
마지막 몇 가지 예는 유용한 습관을 보여 줍니다. 먼저 값을 계산한 다음 판단하세요. 분수나 제곱근처럼 보여도 계산해 보면 정수인 경우가 있습니다.
0은 정수일까?
네, 0은 정수입니다. 수직선의 한가운데, 음의 정수와 양의 정수 사이에 있습니다. OpenStax도 분명히 밝히듯이 0은 양수도 음수도 아닙니다. 하지만 0은 짝수입니다. 0 = 2 × 0이므로 2로 나누면 나머지가 없기 때문입니다.
음수는 정수일까?
음수는 분수나 소수 부분이 없을 때만 정수입니다. −5와 −100은 정수입니다. −2.5와 −3/4은 음수이지만 정수가 아닙니다. 부호와 상관없이 모든 수를 같은 방법으로 확인할 수 있습니다.
정수와 자연수는 어떻게 다를까?
우리나라 교과서에서 자연수는 1, 2, 3, …처럼 물건을 셀 때 쓰는 수이며, 0은 포함하지 않습니다. 자연수는 양의 정수라고도 합니다. 정수는 양의 정수, 0, 그리고 음의 정수 −1, −2, −3, …을 모두 합친 것입니다. 그래서 −4는 정수이지만 자연수는 아닙니다. 중학교 1학년 때 정수와 유리수를 배우면서 수의 범위가 음수까지 넓어집니다.
예시
주요 수의 모임은 다음과 같이 서로 포함됩니다.
- 자연수(양의 정수): 1, 2, 3, 4, …
- 0과 자연수: 0, 1, 2, 3, 4, …
- 정수: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- 유리수: 1/2, −3/4, 7(= 7/1)처럼 정수로 이루어진 분수로 나타낼 수 있는 모든 수
수학자들은 정수 전체의 집합을 ℤ로 씁니다. 이 문자는 '수'를 뜻하는 독일어 Zahlen에서 왔습니다. 자연수는 ℕ으로 씁니다. 자연수에도 작은 의견 차이가 있어서, 외국 책 중에는 자연수를 0부터 시작하는 것도 있습니다.
생활 속 어디에서 정수를 볼 수 있을까?
0을 기준으로 위아래로 셀 때마다 정수가 나타납니다. 영하의 기온, 해수면 아래의 깊이, 축구팀의 득실차는 모두 음수가 될 수 있는 정수입니다. 어느 경우든 0은 '아무것도 없음'이 아니라 기준점입니다.
예시
아침 기온이 −4 °C이고 점심때까지 7도 올랐습니다. −4에서 시작해 수직선을 따라 7칸 올라가면 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3입니다. 점심 기온은 3 °C이므로 −4 + 7 = 3입니다.
해수면을 0 m로 하면, 해수면 아래 2 m에 있는 잠수부의 위치는 −2 m이고 해수면 위 5 m 높이의 바위는 5 m입니다. 잠수부가 바위 위까지 올라가면 7 m를 이동한 것입니다. 5 − (−2) = 7이기 때문입니다.
정수의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까?
정수를 더할 때는 수직선을 떠올려 보세요. 양수를 더하면 오른쪽으로, 음수를 더하면 왼쪽으로 움직입니다. 뺄셈은 덧셈의 반대이므로, 음수를 빼면 오른쪽으로 움직입니다. 그래서 음수를 빼면 답이 더 커집니다.
예시
−3 + 5를 계산해 봅시다. −3에서 시작해 오른쪽으로 5칸 갑니다. −2, −1, 0, 1을 지나 2에서 멈춥니다. 따라서 −3 + 5 = 2입니다.
몇 가지 더 해 봅시다.
- −6 + 2 = −4. −6에서 오른쪽으로 2칸 가면 −4에 도착합니다.
- −2 − 5 = −7. −2에서 왼쪽으로 5칸 가면 −7에 도착합니다.
- 4 − (−3) = 7. −3을 빼는 것은 3을 더하는 것과 같습니다.
음수를 빼면 왜 답이 커질까?
뺄셈은 '차이가 얼마인가?'를 묻는 것입니다. 수직선에서 4와 −3의 차이는 7칸이므로 4 − (−3) = 7입니다. OpenStax는 일반적인 규칙을 a − (−b) = a + b로 씁니다. 많은 아이가 −5 + 4에서 막힙니다. 더하기 기호를 보고 더 큰 수가 나올 거라고 생각하기 때문입니다. −5에서 시작해 오른쪽으로 4칸 가 보면 답이 −1이라는 것을 알 수 있습니다.
음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?
두 정수를 곱할 때 부호가 같으면 답은 양수, 다르면 음수입니다. 음수와 음수를 곱하면 양수가 되는 것은 규칙적인 패턴 때문입니다. 첫 번째 수가 1씩 작아질 때마다 답은 같은 양만큼 변하고, 이 패턴이 계속되려면 답이 양수가 되어야 합니다.
예시
3 × (−2)에서 첫 번째 수를 1씩 줄이면 어떻게 되는지 살펴보세요.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
각 답은 바로 앞의 답보다 2씩 큽니다. 0을 지나서도 패턴이 이어지려면 (−1) × (−2)는 2가 되어야 합니다. 다르게 생각해 볼 수도 있습니다. −1을 곱하는 것은 수직선 위에서 방향을 반대로 바꾸는 것입니다. 두 번 방향을 바꾸면 다시 원래 방향을 보게 됩니다.
정수의 나눗셈도 같은 부호 규칙을 따를까?
네. (−12) ÷ 3 = −4, (−12) ÷ (−3) = 4처럼 부호 규칙은 곱셈과 같습니다. 다만 한 가지 차이가 있습니다. 두 정수를 더하거나 빼거나 곱하면 항상 정수가 나오지만, 나누면 항상 그렇지는 않습니다. 8 ÷ 2 = 4는 정수이지만 7 ÷ 2 = 3.5는 정수가 아닙니다.
정수 계산을 더 빠르게 하려면?
정수 계산이 빨라지려면 짧은 계산을 많이 해서 수직선이 머릿속에 자리 잡아야 합니다. 음수 게임에서는 공격할 때마다 음수를 이용한 빠른 계산이 나오기 때문에, 아이들은 대결에서 이기려고 집중하는 동안 자연스럽게 부호 규칙을 연습하게 됩니다.
위의 라운드에서 −17을 빼는 것은 17을 더하는 것과 같으므로 −1 − (−17) = −1 + 17 = 16입니다.
어떤 수가 0에서 떨어진 거리를 절댓값이라고 합니다. 그래서 −5의 절댓값은 5입니다. 정수와 함께 배우는 중요한 개념이며, 절댓값 게임에서는 이를 빠른 라운드로 연습할 수 있습니다.
정수는 0에서 앞이나 뒤로 세어 닿을 수 있는 수
모든 정수는 0에서 세어서 닿을 수 있는 한 걸음입니다. 양수는 오른쪽으로, 음수는 왼쪽으로 갑니다. 0은 한가운데에 있으며 0도 정수에 속합니다. 아이가 이 수직선을 머릿속에 그릴 수 있다면 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 규칙은 외워야 할 규칙이 아니라 이해되는 것으로 바뀌기 시작합니다.