Hvordan regner du ut arealet av en sirkel?
For å regne ut arealet av en sirkel tar du radien, som er avstanden fra sentrum til kanten, i andre og ganger resultatet med π, som er omtrent 3,14. Skriv svaret i kvadratenheter, for eksempel cm² eller m², fordi areal måler en flate og ikke en lengde.
Eksempel
Finn arealet av en sirkel med radius 5 cm.
- Ta radien i andre. 5 · 5 = 25
- Gang med π. 25 · π ≈ 78,54
- Legg til kvadratenheter. Arealet er omtrent 78,54 cm²
Du kan også la svaret stå som 25π cm². Denne eksakte formen er vanlig på høyere trinn, fordi du slipper å avrunde.
Bør du bruke 3,14 eller π-knappen?
Begge deler går fint, så lenge du gjør det læreren eller oppgaven ber om. π er et irrasjonalt tall, så desimalene tar aldri slutt og gjentar seg aldri, slik Britannica forklarer. Med 3,14 får du 25 · 3,14 = 78,5 cm², mens π-knappen gir 78,54 cm². Den lille forskjellen kommer bare av at π er avrundet.
Vanlige feil med formelen
Den vanligste feilen er å gange radien med 2 i stedet for å ta den i andre. Med radius 5 cm blir 5 · 2 = 10, men 5² = 25. En annen glipp er å gange π med radien først og så ta hele resultatet i andre. Regnerekkefølgen sier at potensen kommer først, så ta radien i andre før du ganger med π.
Hvordan finner du arealet av en sirkel ut fra diameteren?
For å finne arealet ut fra diameteren halverer du diameteren for å få radien, og så bruker du A = πr². Diameteren går tvers over sirkelen gjennom sentrum, så den er dobbelt så lang som radien. I ett steg er formelen A = πd² : 4, som gir nøyaktig samme svar.
Eksempel
En sirkel har diameter 10 cm. Halver den, så får du radius 5 cm. Da er 5² · π = 25π ≈ 78,54 cm².
Med ettstegsformelen blir 10² = 100, og så 100 · π : 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Begge veiene gir samme svar.
En svært vanlig feil er å sette diameteren rett inn i πr². Med 10 cm gir det 100π ≈ 314,16 cm², som er fire ganger for stort. Hvis et svar virker overraskende stort, sjekk om du har brukt diameteren ved et uhell.
Hvordan finner du arealet av en sirkel ut fra omkretsen?
For å finne arealet ut fra omkretsen finner du først radien ved å dele omkretsen på 2π. Så bruker du A = πr². Omkretsen er avstanden rundt sirkelen, og den er lik 2πr. Hvis du vil gjøre det i ett steg, er formelen A = C² : (4π), der C er omkretsen.
Eksempel
Et rundt blomsterbed har en omkrets på 30 m. Finn arealet.
- Finn radien. 30 : (2 · π) ≈ 4,77 m
- Finn arealet. Behold hele radien på kalkulatoren. π · 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Sjekk med ettstegsformelen. 30² : (4 · π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 m²
Hvis du avrunder radien til 4,77 først, får du i stedet π · 4,77² ≈ 71,5 m². Den lille forskjellen er grunnen til at det er best å avrunde helt til slutt.
Hvorfor er arealet av en sirkel πr²?
Del en sirkel i mange like store stykker, som en pizza, og legg dem på rad, annenhver med spissen opp og ned. Stykkene danner en figur som nesten er et rektangel. Høyden er radien, r, og lengden er halve omkretsen, πr. Derfor er arealet πr · r, som er πr².
Eksempel
Tenk deg en sirkel med radius 5 cm delt i 16 stykker. Halvparten av stykkene peker opp og halvparten ned. Raden er like lang som halve omkretsen, π · 5 ≈ 15,7 cm, og like høy som radien, 5 cm. Arealet er altså omtrent 15,7 · 5 ≈ 78,5 cm², som stemmer med formelen.
Med bare 16 stykker er kantene fortsatt litt bølgete. Med 100 eller 1 000 stykker blir figuren mer og mer lik et perfekt rektangel. Det er ideen bak formelen, og den er mye lettere å huske enn formelen alene.
Den greske matematikeren Arkimedes arbeidet med dette problemet for over 2 000 år siden. Britannica beskriver hvordan han beviste at arealet av en sirkel delt på kvadratet av radien alltid er det samme tallet, og hvordan han brukte mangekanter innenfor og utenfor en sirkel for å vise at π ligger mellom 223/71 og 22/7.
En rask måte å sjekke svaret på
En sirkel passer akkurat inn i et kvadrat med sider like lange som diameteren. Det kvadratet har arealet 2r · 2r = 4r². Sirkelen dekker litt mer enn tre firedeler av det, omtrent 78,5 %, fordi π : 4 ≈ 0,785. Hvis en sirkel med radius 5 cm ligger i et kvadrat med side 10 cm og areal 100 cm², bør arealet altså være litt under 80 cm². Det er 78,54 cm².
Formelen sitter best når du bruker den ofte, med ulike tall. I geometrispillet er hvert angrep i en kamp et spørsmål om figurer, så å huske πr² raskt blir en del av å vinne en runde. I spillet regnes π som 3, så hvert svar er et helt tall du kan regne ut i hodet. Korte, hyppige runder fungerer bedre enn én lang økt.
Hvordan finner du radien når du kjenner arealet?
For å finne radien ut fra arealet går du baklengs gjennom formelen. Del arealet på π, og ta kvadratroten av resultatet. Som formel er det r = √(A : π). Doble radien hvis du trenger diameteren i stedet.
Eksempel
En sirkel har arealet 50 cm². Del på π. 50 : π ≈ 15,92. Ta så kvadratroten. √15,92 ≈ 3,99, så radien er omtrent 3,99 cm og diameteren omtrent 7,98 cm.
For å sjekke setter du radien tilbake i formelen. π · 3,99² ≈ 50,0 cm². Hvis kvadratrøttene føles litt rustne, gjør noen runder med kvadratrøtter dette steget mye raskere.
Er én stor pizza større enn to små?
Ofte, ja. Fordi radien tas i andre, blir arealet fire ganger så stort når du dobler diameteren. En pizza med diameter 30 cm har et areal på omtrent 707 cm². To pizzaer med diameter 20 cm har til sammen omtrent 628 cm², så den ene store pizzaen gir deg mer.
Eksempel
For pizzaen på 30 cm er radien 15 cm, så arealet er π · 15² ≈ 706,9 cm². For én pizza på 20 cm er radien 10 cm, så arealet er π · 10² ≈ 314,2 cm². To slike blir omtrent 628,3 cm², rundt 79 cm² mindre enn den ene store pizzaen.
Denne typen sammenligning er en fin måte å vise barn hvorfor det betyr noe å ta i andre. En sirkel som bare er litt bredere, dekker mye mer flate.
Hva er arealet av en halvsirkel?
En halvsirkel er en halv sirkel, så arealet er halvparten av πr², altså πr² : 2. For en halvsirkel med radius 5 cm er arealet 25π : 2 ≈ 39,27 cm². Husk å bruke radien, ikke lengden av den rette kanten, som er diameteren.
Finn radien først, så følger resten
Nesten alle oppgaver om arealet av en sirkel blir enkle når du kjenner radien. Bruk denne listen til å velge riktig første steg.
- Gitt radien r: A = πr²
- Gitt diameteren d: r = d : 2, eller A = πd² : 4
- Gitt omkretsen C: r = C : (2π), eller A = C² : (4π)
- Gitt arealet, for å finne radien: r = √(A : π)
- Halvsirkel: A = πr² : 2
Skriv enhetene som kvadratenheter til slutt, og bruk kvadratsjekken for å se om svaret har omtrent riktig størrelse.
Tren disse videre