Hvordan lager du Fibonacci-følgen?
For å lage Fibonacci-følgen skriver du 0 og 1, og så legger du sammen de to siste tallene for å få det neste. Det steget gjentar du igjen og igjen. Hvert nytt tall avhenger bare av de to før det, så følgen kan fortsette i det uendelige. Tallene du skriver ned på denne måten, kalles Fibonacci-tall.
Eksempel
Bygg opp følgen steg for steg. Start med 0 og 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Hvert nytt tall trenger bare de to siste. Det gjør følgen til en fin utfordring i hoderegning for barn, fordi tallene vokser raskt, men regelen endrer seg aldri. Regelen er enkel nok for et lite barn, og likevel dukker de samme tallene opp i solsikker, kongler og det gylne snitt.
Starter følgen med 0 eller 1?
Begge versjonene er vanlige. Mange bøker starter med 0, 1, 1, 2, 3, mens andre starter med 1, 1, 2, 3. Tallene som kommer etter, er de samme uansett. Matematikere skriver vanligvis regelen som Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, med F₀ = 0 og F₁ = 1, som betyr «hvert ledd er summen av de to foregående».
Skjulte mønstre i følgen
Følgen har små mønstre som barn liker å oppdage. Hvert tredje tall er et partall (0, 2, 8, 34, 144, 610), og alle de andre er oddetall. Hvert femte tall er delelig med 5 (0, 5, 55, 610). Be et barn sjekke disse mønstrene lenger ut i følgen. Det er en morsom måte å øve på addisjon og se struktur på samtidig.
Hvor kommer Fibonacci-følgen fra?
Følgen er oppkalt etter Leonardo fra Pisa, kjent som Fibonacci, en italiensk matematiker. Han beskrev den i boka Liber abaci, skrevet i 1202, gjennom en oppgave om kaniner. Ifølge Britannica er det den første rekursive tallfølgen man kjenner til i Europa. Det betyr at hvert ledd bygges av tidligere ledd.
Eksempel
Kaninoppgaven fungerer slik. Du starter med ett nyfødt kaninpar. Et par trenger én måned på å bli voksent, og fra da av får hvert voksne par ett nytt par hver måned. Ingen kaniner forsvinner. Tell parene ved starten av hver måned.
- Måned 1: 1 par (nyfødt)
- Måned 2: 1 par (nå voksent)
- Måned 3: 2 par (de voksne og deres første unger)
- Måned 4: 3 par
- Måned 5: 5 par
- Måned 6: 8 par
Totalen hver måned er forrige måneds total pluss antall voksne par, og de voksne er nøyaktig totalen fra to måneder tidligere. Det er Fibonacci-regelen. Ekte kaniner oppfører seg selvfølgelig ikke så ryddig. Oppgaven var en måte å beskrive mønsteret på, ikke en studie av dyr.
Hvordan finner du neste tall i Fibonacci-følgen?
For å finne neste Fibonacci-tall legger du sammen de to siste tallene i følgen. Etter 21 og 34 kommer 21 + 34 = 55, og etter 34 og 55 kommer 89. For å finne et tall langt ute i følgen kan du føre en liste underveis, eller bruke Binets formel, som regner ut et hvilket som helst ledd direkte ved hjelp av det gylne snitt.
Eksempel
Finn det 10. Fibonacci-tallet når du regner F₀ = 0 som starten. Skriver du ut lista, får du 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, så F₁₀ = 55.
Binets formel gir samme svar uten lista. Opphøy det gylne snitt φ (omtrent 1,618) i tiende potens og del på √5. Det gir omtrent 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, og avrundet til nærmeste hele tall blir det 55. For eldre elever er dette en hyggelig overraskelse, fordi et tall bygd av kvadratrøtter lander så nær et helt tall hver gang.
Å se regelen bak en rekke tall er en ferdighet som går langt utover Fibonacci. Tallfølgespillet gjør det til en kamp, der hvert angrep er en tallfølge og du må finne tallet som mangler. Det er en rask måte å øve på å se mønstre som «legg sammen de to siste» uten å skrive noe ned.
Hvordan henger Fibonacci-følgen sammen med det gylne snitt?
Hvis du deler hvert Fibonacci-tall på tallet før, kommer svarene nærmere og nærmere det gylne snitt, omtrent 1,618. For eksempel er 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 og 89 : 55 ≈ 1,618. Selve det gylne snitt er (1 + √5) : 2, et tall der desimalene aldri tar slutt og aldri gjentar seg.
Eksempel
Se hvordan forholdstallene roer seg etter hvert som tallene vokser.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Svarene hopper over og under 1,618 og kommer nærmere for hver gang. Britannica skriver at denne sammenhengen ble beskrevet av matematikeren Robert Simson i 1753.
Hva er Fibonacci-spiralen?
Tegn et kvadrat med sider på 1, så et nytt kvadrat på 1 ved siden av, så et kvadrat på 2, så 3, så 5, så 8, der hvert kvadrat legges inntil rektangelet du har så langt. Forbind motsatte hjørner i hvert kvadrat med en kvartsirkel, så får du Fibonacci-spiralen. Den ligger svært nær den gylne spiralen, som vokser med det gylne snitt for hver kvarte omdreining.
Hvor finner vi Fibonacci-følgen i naturen?
Fibonacci-tall dukker ofte opp i planter. Frøene i en solsikke danner to sett med spiraler, og antall spiraler i hver retning er som regel to nabotall i Fibonacci-følgen, for eksempel 34 og 55 eller 55 og 89. Kongler har lignende spiraler, og mange blomster har 3, 5, 8, 13 eller 21 kronblader.
Eksempel
Ta en kongle eller et bilde av en solsikke og tell spiralene som bøyer seg med klokka. Tell så spiralene som bøyer seg den andre veien. Sidene om Fibonacci i naturen av dr. Ron Knott ved University of Surrey viser solsikker med 55 spiraler den ene veien og 34 den andre, og større solsikker med 89 og 55.
De samme sidene ordner blomster etter antall kronblader, for eksempel ridderspore med 8, landøyda og noen prestekrager med 13, og asters med 21. Å telle sammen er en fin praktisk aktivitet, og den viser barn at tall beskriver virkelige ting rundt dem.
Hvorfor vokser planter i Fibonacci-spiraler?
Mange planter plasserer hvert nye frø eller blad med omtrent samme dreievinkel fra det forrige, rundt 137,5°. Denne vinkelen, som henger sammen med det gylne snitt, pakker frøene tett uten bortkastede mellomrom, og spiralene du kan telle, er en bieffekt av den jevne dreiningen. Den andre delen av Ron Knotts guide viser hvorfor denne vinkelen fungerer så godt.
Finnes Fibonacci-følgen virkelig overalt i naturen?
Nei. Fibonacci-tall er vanlige i planter, men de er ingen naturlov. Ron Knotts sider fra Surrey påpeker at du ikke alltid finner Fibonacci-tall i kronblader eller frøstander, og noen blomster, som fuksia, har 4 kronblader. Mange påstander på nettet, særlig om skjell, ansikter og kjente bygninger, strekker bevisene for langt.
Eksempel
Nautilusskallet blir ofte vist med en gyllen spiral tegnet oppå. Skallet vokser riktignok i en logaritmisk spiral, en kurve som beholder samme form når den blir større. Men Knotts sider påpeker at vekstfaktoren varierer og kanskje ikke er det gylne snitt, og at det er feil å kalle det en gyllen spiral. Nautilusen er altså en vakker spiral, men ikke noe bevis for Fibonacci.
Dette er en nyttig lærdom for eldre barn også. Et mønster som dukker opp ofte, er verdt å legge merke til, men det ærlige spørsmålet er alltid «hvor ofte, og hvor nøyaktig?». Å telle spiralene på en ekte kongle er en bedre test enn noe bilde på nettet.
To starttall og én regel bygger hele følgen
Hvert Fibonacci-tall kommer fra det samme steget, nemlig å legge sammen de to tallene før det. Her er de første 21 leddene, fra F₀ = 0, så du kan sjekke din egen liste.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1 597, 2 584, 4 181, 6 765
Hvis et barn mister tråden, gå tilbake til de to siste tallene det er sikker på, og legg sammen på nytt. Regelen endrer seg aldri, så en feil er alltid lett å rette opp.
Tren disse videre