Hvis det høres feil ut, er du i godt selskap. Tusenvis av mennesker, noen av dem med doktorgrad, nektet først å tro på det. Her kommer gåten, og etterpå noen ulike måter å se hvorfor det lønner seg å bytte. En av dem får det sannsynligvis til å falle på plass.
Hvordan fungerer Monty Hall-problemet?
Du er med i et spillprogram og står foran tre lukkede dører. Bak den ene står en bil, bak de to andre står en geit. Du velger en dør. Programlederen, som vet hvor bilen er, åpner en av de to andre dørene og viser deg en geit. Så spør han om du vil beholde døren din eller bytte til den siste lukkede.
De fleste trekker på skuldrene og sier at det ikke spiller noen rolle. Det er to dører igjen, så det må være 50/50. Det er det ikke. Bytter du, vinner du bilen 2 av 3 ganger.
Gåten er oppkalt etter Monty Hall, som ledet tv-programmet Let's Make a Deal. Det berømte svaret bygger på tre regler.
- Programlederen åpner alltid en dør du ikke har valgt.
- Programlederen viser alltid en geit, aldri bilen.
- Programlederen tilbyr deg alltid å bytte.
Hvorfor vinner man 2 av 3 ganger ved å bytte?
Det første valget ditt er feil 2 av 3 ganger. Hver gang det er feil, har programlederen ikke noe valg. Han må åpne den andre døren med geit, og da står bilen bak døren du kan bytte til. Du vinner altså ved å bytte hver gang den første gjetningen din var feil, og taper bare når du tilfeldigvis valgte bilen med en gang.
Eksempel
La oss si at du alltid velger dør 1. Bilen kan bare stå tre steder, og hvert sted er like sannsynlig.
- Bilen står bak dør 1. Programlederen åpner dør 2 eller dør 3. Beholder du, vinner du. Bytter du, taper du.
- Bilen står bak dør 2. Programlederen må åpne dør 3. Beholder du, taper du. Bytter du, vinner du.
- Bilen står bak dør 3. Programlederen må åpne dør 2. Beholder du, taper du. Bytter du, vinner du.
Tell etter. Å beholde vinner én gang, å bytte vinner to ganger. Det fungerer likt uansett hvilken dør du begynner med.
Her er en annen måte å se det på. Døren din starter med en sjanse på 1 av 3, og de to andre dørene deler de resterende 2 av 3. Når programlederen åpner en av dem, flytter ikke bilen seg. Han viser deg bare hvilken av de to dørene som nå har hele sjansen på 2 av 3.
Hvorfor er det ikke 50/50 når det er to dører igjen?
Fordi programlederen ikke åpner en tilfeldig dør. Han vet hvor bilen er og unngår den alltid, så døren han lar være lukket, er valgt med den kunnskapen. Din egen dør ble valgt i blinde og beholder sjansen sin på 1 av 3. Den andre lukkede døren får resten, 2 av 3.
En artikkel om gåten i Scientific American forklarer feilen med noe psykologer kaller equiprobability bias. Vi har lett for å anta at de utfallene vi har foran oss, er like sannsynlige. To dører ser ut som kron eller mynt, så vi slutter å tenke.
Den andre fellen er at programlederens trekk ser ut til ikke å fortelle deg noe. Egentlig forteller det deg mye. Hver gang døren din skjuler en geit, er programlederen tvunget til å la døren med bilen være lukket. Det tvungne valget er den skjulte informasjonen.
Blir det lettere med 100 dører?
For mange blir det det. Tenk deg 100 dører og én bil. Du velger en, og programlederen, som vet hvor bilen er, åpner 98 av de andre og viser 98 geiter. Én dør forblir lukket. Døren din hadde en sjanse på 1 av 100. Døren programlederen nøye hoppet over, har nå de andre 99 av 100.
Eksempel
Du velger dør 37. Programlederen åpner alle dørene fra 1 til 100 unntatt 37 og 82. Tror du virkelig at det tilfeldige første valget ditt var det heldige? Det er mye mer sannsynlig at han hoppet over dør 82 fordi bilen står bak den.
Marilyn vos Savant, som gjorde gåten berømt, brukte en enda større versjon med en million dører. Tanken er den samme med tre dører, den er bare vanskeligere å kjenne på. Hvis 100 dører ikke hjelper deg, kan du prøve å tenke på det å ta feil i stedet. Det første valget ditt er feil 2 av 3 ganger, og når du bytter, blir hvert feil valg til en gevinst.
Hva skjer hvis programlederen ikke vet hvor bilen er?
Da hjelper det ikke lenger å bytte. Hvis programlederen åpner en tilfeldig dør og det tilfeldigvis står en geit bak den, vinner du halvparten av gangene, enten du beholder eller bytter. Svaret 2 av 3 gjelder bare når programlederen vet hvor bilen er, alltid åpner en dør med geit og alltid tilbyr deg å bytte.
Eksempel
Du velger dør 1, og en programleder som ikke vet noe, åpner dør 2 eller dør 3 tilfeldig. Noen ganger avslører han bilen ved et uhell, og de spillene er ødelagt. I spillene der det dukker opp en geit, står bilen bak døren din nøyaktig halvparten av gangene.
Den ekte Monty Hall pekte selv på den samme haken. I en artikkel i New York Times fra 1991 advarte han om at en deltaker bør passe seg hvis programlederen selv kan velge om han i det hele tatt vil tilby et bytte. I et ekte program kan selve tilbudet være en felle.
Hvordan kan du teste Monty Hall-problemet selv?
Du trenger bare tre spillkort og en venn. Et ess er bilen, to andre kort er geitene. Vennen din stokker dem med baksiden opp, du peker på ett, og vennen din snur en geit du ikke valgte. Spill 30 runder og bytt hver gang. Du bør vinne rundt 20 av dem.
Spill så 30 runder til og behold døren hver gang. Denne gangen bør du vinne rundt 10. Med så få runder svinger tallene litt, men forskjellen viser seg fort.
Selv berømte matematikere måtte se det med egne øyne. Scientific American nevner at den svært produktive matematikeren Paul Erdős også gikk i fellen. Så hvis det fortsatt føles feil, spill med kortene.
Det gåten egentlig trener, er å telle alle de mulige tilfellene rettferdig. Sannsynlighetsspillet stiller samme type spørsmål i hver runde. I kampen nedenfor skal du for eksempel telle på hvor mange måter 4 mynter kan vise nøyaktig 1 kron. Svaret er 4, fordi kronen kan være på hvilken som helst av de fire myntene.
Hvorfor tar så mange feil av Monty Hall-problemet?
To lukkede dører ser rett og slett ut som et valg på 50/50, og det er lett å overse at programlederen vet noe du ikke vet. Anger spiller nok også inn. Det føles verre å tape fordi du byttet bort bilen enn å tape fordi du ble stående, så mange holder seg til den første døren selv når de forstår matematikken.
Gåten dukket først opp i 1975, i brev fra statistikeren Steve Selvin. Den ble berømt i 1990, da Marilyn vos Savant svarte på den i spalten Ask Marilyn i magasinet Parade og ba leserne bytte. Ifølge Scientific American fikk hun anslagsvis 10 000 brev som sa at hun tok feil. New York Times la til at nesten 1000 av dem var signert av folk med doktorgrad.
Hun hadde selvfølgelig rett. Brevene er nå en del av historien, og de er den beste påminnelsen om at en selvsikker magefølelse om sannsynlighet kan være helt feil.
Bytt, så lenge programlederen vet og alltid åpner en dør med geit
Med de vanlige reglene dobler du sjansen for å vinne ved å bytte, fra 1 av 3 til 2 av 3. Endrer du reglene, kan svaret også endre seg, for eksempel med en programleder som åpner dører tilfeldig eller bare tilbyr et bytte når det passer ham. Det er lærdommen som gjelder langt utenfor spillprogrammer. Før du stoler på en sannsynlighet, spør deg selv hvordan informasjonen du har foran deg, ble valgt ut.
Tren disse videre