Likningen for en rett linje (y = ax + b) forklart steg for steg

Hvorfor y = ax + b er så nyttig

Når likningen står på denne formen, kan du lese stigningstallet og startpunktet rett ut av den og skissere linjen på noen sekunder. Nedenfor ser du hvordan du leser den, hvordan du setter den opp fra to punkter eller fra en annen form, og hvilke feil som oftest lurer elever.

Hvordan finner du likningen for en rett linje?

For å finne likningen y = ax + b trenger du to ting, stigningstallet a og konstantleddet b. Stigningstallet finner du fra to punkter med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Deretter setter du inn ett punkt og stigningstallet i y = ax + b og løser for b. Skriv svaret med tallene dine i stedet for a og b.

Eksempel

Finn linjen gjennom punktene (1, 5) og (3, 9).

1. Stigningstall: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Bruk punktet (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, altså b = 3
3. Likning: y = 2x + 3
4. Kontroller med det andre punktet (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det stemmer.

Denne siste kontrollen tar ti sekunder og avslører de fleste feil, så det lønner seg å gjøre den til en vane.

Hva om stigningstallet er en brøk?

Brøker er helt vanlige her, og en brøk betyr ikke at du har regnet feil. Ta punktene (4, 0) og (−2, 4). Stigningstallet er (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Da gir 0 = −2/3 · 4 + b at b = 8/3, så y = −2/3x + 8/3. Kontroller med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

La stigningstallet stå som brøk i stedet for et avrundet desimaltall, for brøken er eksakt og kontrollen går helt opp. Hvis det er brøkene som sinker deg, gjør noen runder i brøkspillet det mye raskere å finne like brøker og å forkorte.

I runden over er 7/10 = 70/100, fordi både teller og nevner er ganget med 10.

Hva betyr a og b i y = ax + b?

I y = ax + b er a stigningstallet og b konstantleddet. Stigningstallet forteller hvor mye y endrer seg når x øker med 1, altså hvor mye linjen stiger for hvert steg bortover. Konstantleddet er verdien av y når x = 0, det vil si punktet (0, b) der linjen skjærer y-aksen.

Eksempel

I y = 3x − 2 er stigningstallet 3 og konstantleddet −2. Linjen skjærer y-aksen i (0, −2), og for hvert steg på 1 mot høyre går den 3 opp. I y = −2x + 4 er stigningstallet −2, så linjen går 2 ned for hvert steg mot høyre, og den skjærer y-aksen i (0, 4).

Læreboka OpenStax College Algebra 2e (på engelsk) beskriver stigningstallet som «rise over run», altså hvor mye linjen stiger delt på hvor langt den går bortover, og skjæringen med y-aksen som punktet der inngangsverdien er null. Et positivt stigningstall gir en linje som stiger fra venstre mot høyre, et negativt gir en linje som synker, og jo større tallet er (uten å tenke på fortegnet), desto brattere er linjen.

En hverdagslig måte å se for seg a og b

Et stearinlys er 20 cm høyt og brenner ned 2 cm i timen. Høyden etter t timer er h = −2t + 20. Tallet 20 er startverdien (b), og −2 er endringen per time (a). Etter 3 timer er lyset 14 cm høyt, og etter 10 timer er det borte. Mange synes det er lettere å tenke på b som startverdien og a som endringen per steg.

Hvordan tegner du grafen til y = ax + b?

For å tegne y = ax + b starter du i punktet (0, b) på y-aksen. Derfra bruker du stigningstallet som stigning delt på steg bortover. Gå mot høyre så langt som steget bortover og opp så mye som stigningen (eller ned hvis stigningstallet er negativt), så finner du et nytt punkt. Trekk en rett linje gjennom de to punktene og forleng den.

Eksempel

Tegn grafen til y = 2x + 1.

1. Merk av punktet (0, 1) på y-aksen.
2. Stigningstallet 2 betyr 2/1, så gå 1 mot høyre og 2 opp. Da havner du i (1, 3).
3. Trekk linjen gjennom (0, 1) og (1, 3).

Med et stigningstall som −2/3 går du 3 mot høyre og 2 ned. Når du bruker nevneren som steget bortover, havner du alltid i rutekryss, og det blir lettere å tegne linjen nøyaktig.

Hvordan gjør du om en likning som 2x + 3y = 6 til y = ax + b?

For å gjøre om en likning der x og y står på samme side, løser du den for y. Flytt x-leddet over på den andre siden, og del deretter hvert ledd på tallet foran y. Tallet foran x er da stigningstallet, og tallet som står alene, er konstantleddet.

Eksempel

Gjør om 2x + 3y = 6.

1. Trekk fra 2x på begge sider: 3y = −2x + 6
2. Del hvert ledd på 3: y = −2/3x + 2

Stigningstallet er −2/3 og konstantleddet er 2. En vanlig glipp er å lese stigningstallet som 2 rett fra 2x + 3y = 6. Tallene betyr stigningstall og konstantledd først når y står alene på den ene siden.

Ettpunktsformelen eller y = ax + b?

Ettpunktsformelen, y − y₁ = a(x − x₁), er praktisk når du kjenner ett punkt og stigningstallet, fordi du kan skrive den opp med en gang. For punktet (1, 5) og stigningstallet 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Løs opp parentesen og trekk sammen, y = 2x − 2 + 5, og du er tilbake ved y = 2x + 3. Begge formene beskriver den samme linjen.

Hvilke linjer kan ikke skrives som y = ax + b?

Loddrette linjer kan ikke skrives som y = ax + b. Alle punktene på en loddrett linje har samme x, så steget bortover er 0, og stigningstallet ville kreve deling på null. Derfor er stigningstallet til en loddrett linje ikke definert. Den loddrette linjen gjennom x = 3 skrives rett og slett x = 3.

Eksempel

Punktene (3, 1) og (3, 6) ligger på en loddrett linje. Stigningstallet ville blitt (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, som ikke har noe svar. Linjen er altså x = 3. En loddrett linje skjærer heller aldri y-aksen, med mindre den er selve y-aksen, så det finnes ikke noe konstantledd å sette inn for b.

Vannrette linjer er helt greie. Punktene (−1, 4) og (5, 4) gir stigningstallet 0 : 6 = 0, så linjen er y = 0x + 4, altså bare y = 4.

Hva er de vanligste feilene med y = ax + b?

De fleste feilene med y = ax + b er små glipper, ikke misforståelser. Elever bytter om koordinatene i et punkt, trekker fra i ulik rekkefølge over og under brøkstreken i formelen for stigningstallet, eller leser av a og b før y står alene. Kontrollerer du den ferdige likningen med ett av de opprinnelige punktene, fanger du opp nesten alle.

Raske løsninger på hver glipp

Her er glippene som går igjen, med en rask løsning på hver av dem.

• Å blande x og y i et punkt. (5, 7) betyr x = 5 og y = 7. Tenk «bortover først, så opp» når du leser det.
• Å bytte rekkefølge i subtraksjonen. Regner du 9 − 5 over brøkstreken, må du regne 3 − 1 under, med samme punkt først begge gangene.
• Å bytte om a og b. I y = 4 + 3x er stigningstallet fortsatt 3, fordi a er tallet som står foran x, uansett hvor det står.
• Å miste et minustegn. I y = −x + 2 er stigningstallet −1, ikke 1.
• Å tro at en brøk må være feil. Stigningstall som 3/4 eller −2/3 er like gyldige som 2.

Øv på y = ax + b til det sitter

Man blir rask til å lese linjer ved å se mange av dem. I spillet om lineære funksjoner er hvert angrep et spørsmål om en linje, så du får mye øving i å se stigningstall og konstantledd uten at det føles som lekser.

Å løse for b er også bare en liten likning med ett steg. Hvis det er der du stopper opp, er likningsspillet en god oppvarming.

Bokstavene varierer fra land til land. I norsk skole skriver vi y = ax + b, mens elever i engelskspråklige land skriver den samme ideen som y = mx + b. I Sverige bruker de y = kx + m, i Russland y = kx + b og i Italia y = mx + q. Uansett bokstaver er tallet foran x alltid stigningstallet, og tallet som står alene, viser hvor linjen skjærer y-aksen.

To tall beskriver hver linje som ikke er loddrett

Hver linje som ikke er loddrett, kan skrives som y = ax + b, så to tall er nok til å beskrive den fullstendig. Stigningstallet sier hvor bratt den er og hvilken vei den går, og konstantleddet sier hvor den starter. Finn de to tallene, kontroller likningen med et punkt, så går resten av seg selv.