Hvordan regner du ut volumet av en sylinder?
For å regne ut volumet av en sylinder kvadrerer du radiusen i den sirkelformede grunnflaten, ganger med π, som er omtrent 3,14, og ganger så med høyden. Det er formelen V = πr²h. Skriv svaret i kubikkenheter, for eksempel cm³ eller m³, fordi volum måler plassen inni en romfigur og ikke en lengde eller en flate.
Eksempel
Finn volumet av en sylinder med radius 3 cm og høyde 10 cm.
- Kvadrer radiusen. 3 · 3 = 9
- Gang med π for å få arealet av grunnflaten. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Gang med høyden. 9π · 10 = 90π
- Legg til kubikkenheter. Volumet er omtrent 282,74 cm³
Du kan også la svaret stå som 90π cm³. Denne eksakte formen unngår avrunding og er vanlig på høyere trinn.
Den vanligste feilen er å gange radiusen med 2 i stedet for å kvadrere den. Med radius 3 cm blir 3 · 2 = 6, men 3² = 9. En annen feil er å kvadrere høyden også. Bare radiusen kvadreres, fordi bare grunnflaten er en sirkel.
Hvorfor er volumet av en sylinder πr²h?
En sylinder er en stabel med like sirkler, som en bunke mynter. Hver sirkel har arealet πr², og stabelen er h enheter høy. Volumet er derfor grunnflaten ganget med høyden. Prismer følger samme regel, V = grunnflate · høyde.
Eksempel
Tenk deg en stabel med tynne, runde kjeks, hver med arealet 20 cm². Hvis stabelen er 5 cm høy, fyller den 20 · 5 = 100 cm³. En sylinder med grunnflate 20 cm² og høyde 5 cm har samme volum.
Dette bildet forklarer også hva som skjer når sylinderen endrer form. Dobler du høyden, dobler du antall lag, så volumet dobles. Dobler du radiusen, blir hvert lag fire ganger så stort, fordi radiusen er kvadrert. Da blir volumet fire ganger så stort.
En sylinder passer også fint sammen med to andre runde romfigurer. En kjegle med samme grunnflate og høyde rommer nøyaktig en tredjedel av sylinderen. En kule som passer akkurat inni en sylinder, rommer to tredjedeler av den. Ifølge Britannica var Arkimedes så stolt av dette resultatet at han ba om å få det markert på gravsteinen sin.
Hvordan finner du volumet av en sylinder ut fra diameteren?
For å finne volumet ut fra diameteren halverer du diameteren for å få radiusen, og bruker så V = πr²h. Diameteren er avstanden rett over den sirkelformede grunnflaten gjennom sentrum, så den er dobbelt så lang som radiusen. I ett steg er formelen V = πd²h : 4, som gir nøyaktig samme svar.
Eksempel
En hermetikkboks har diameter 8 cm og høyde 12 cm. Halver diameteren, så får du radius 4 cm. Da blir 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Med ettstegsformelen blir 8² = 64, og så 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Begge veiene gir samme svar.
Å sette diameteren rett inn i πr²h er en svært vanlig feil. Med boksen over gir det 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, som er fire ganger for mye. Hvis et svar ser overraskende stort ut, sjekk at du halverte diameteren først.
Hvordan regner du om volumet av en sylinder til liter?
For å regne om volumet av en sylinder til liter regner du ut volumet i kubikkcentimeter og deler på 1000, fordi 1 liter er 1000 cm³. Hvis volumet er i kubikkmeter, ganger du i stedet med 1000, fordi 1 m³ rommer 1000 liter. Pass på at alle målene har samme enhet før du begynner.
Eksempel
Et drikkeglass har diameter 7 cm og høyde 10 cm, målt på innsiden.
- Finn radiusen. 7 : 2 = 3,5 cm
- Finn volumet. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Regn om til liter. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 liter, eller omtrent 385 ml
Et større eksempel er en vanntank med radius 0,5 m og høyde 1,2 m. Volumet er 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Gang med 1000, så rommer tanken omtrent 942 liter.
Et vanlig problem er blandede enheter, for eksempel radius i centimeter og høyde i meter. Gjør om alt til én enhet først. Det går mye raskere å veksle mellom cm³, m³, milliliter og liter etter noen runder med omgjøring av enheter.
Hvordan finner du høyden eller radiusen til en sylinder ut fra volumet?
For å finne høyden deler du volumet på arealet av grunnflaten, altså h = V : (πr²). For å finne radiusen deler du volumet på π ganger høyden og tar kvadratroten, altså r = √(V : (πh)). Begge formlene er bare V = πr²h regnet baklengs, ett steg om gangen.
Eksempel
En sylinderformet mugge skal romme 1 liter, som er 1000 cm³, og radiusen er 5 cm. Høyden må være 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Nå andre veien. En sylinder med høyde 10 cm rommer 500 cm³. Radiusen er √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
For å sjekke svaret setter du tallene tilbake inn i V = πr²h. For muggen blir π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, så høyden stemmer.
Formelen sitter best når du bruker den ofte, med ulike tall. I geometrispillet er hvert angrep i en kamp et spørsmål om figurer, så å huske πr²h raskt blir en del av å vinne en runde. I spillet regnes π som 3, så hvert svar blir et helt tall du kan regne ut i hodet. Korte, hyppige runder fungerer bedre enn én lang økt.
Hvordan finner du volumet av en hul sylinder?
En hul sylinder, for eksempel et rør, er en stor sylinder der en mindre sylinder er fjernet fra midten. Finn volumet av den ytre sylinderen, trekk fra volumet av hullet, og det som er igjen, er materialet. Som formel er det V = π(R² − r²)h, der R er den ytre radiusen og r er den indre radiusen.
Eksempel
Et rør er 100 cm langt, med ytre radius 5 cm og indre radius 4 cm.
- Kvadrer begge radiene. 5² = 25 og 4² = 16
- Trekk fra. 25 − 16 = 9
- Gang med π og lengden. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
En vanlig feil er å trekke fra radiene før du kvadrerer dem. Det gir (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, som er altfor lite. Kvadrer hver radius først, og trekk så fra.
Finn grunnflaten først, og gang så med høyden
Alle oppgaver om volumet av en sylinder koker ned til de samme to stegene. Finn arealet av den sirkelformede grunnflaten, og gang så med høyden. Bruk denne listen til å velge riktig startpunkt.
- Gitt radius r og høyde h: V = πr²h
- Gitt diameter d: r = d : 2, eller V = πd²h : 4
- For å finne høyden: h = V : (πr²)
- For å finne radiusen: r = √(V : (πh))
- Hul sylinder: V = π(R² − r²)h
- Liter: cm³ : 1000, eller m³ · 1000
Skriv svaret i kubikkenheter, og regn om til liter først helt til slutt, når volumet er riktig.