Heltall på tallinjen
På en tallinje er heltallene punktene med lik avstand som du lander på når du teller forover eller bakover fra 0. Tall som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellomrommene, og derfor er de ikke heltall. Her ser du hvordan du skiller dem fra hverandre, hvorfor null også er et heltall, og hvordan fortegnsreglene egentlig fungerer.
Hvordan vet du om et tall er et heltall?
Et tall er et heltall hvis du kan skrive det uten brøk og uten desimaler. Det kan være positivt, negativt eller null. Læreboka OpenStax Prealgebra 2e (på engelsk) sier det enkelt, heltallene er telletallene, de motsatte tallene og null. Altså er 7, −7 og 0 heltall, mens 7,5 ikke er det.
Eksempel
Prøv disse raske sjekkene.
- −12 er et heltall, fordi det er det motsatte tallet av telletallet 12.
- 0 er et heltall.
- 3,5 er ikke et heltall, fordi det har desimaler.
- 1/2 er ikke et heltall.
- 8/2 er et heltall, fordi 8/2 = 4.
- √9 er et heltall, fordi √9 = 3.
- √2 er ikke et heltall, fordi det er omtrent 1,41.
De siste eksemplene viser en nyttig vane. Regn ut verdien først, og bestem deg etterpå. Et tall kan se ut som en brøk eller en rot og likevel være et heltall.
Er 0 et heltall?
Ja, 0 er et heltall. Det står midt på tallinjen, mellom de negative og de positive heltallene. Null er verken positivt eller negativt, slik OpenStax også skriver. Men null er et partall, fordi 0 = 2 · 0, så det kan deles på 2 uten rest.
Er negative tall heltall?
Negative tall er heltall bare når de ikke har brøkdel eller desimaler. −5 og −100 er heltall. −2,5 og −3/4 er negative, men de er ikke heltall. Den samme testen fungerer for alle tall, uansett fortegn.
Hva er forskjellen på heltall og naturlige tall?
I norsk skole er de naturlige tallene telletallene 1, 2, 3 og så videre, uten negative tall. Noen bøker regner også med 0. Heltallene inneholder alle de naturlige tallene, null og i tillegg de negative tallene −1, −2, −3 og så videre. Så −4 er et heltall, men ikke et naturlig tall. Er du usikker på om 0 hører med, kan du sjekke hvilken definisjon læreboka til barnet ditt bruker.
Eksempel
Slik passer de viktigste tallmengdene inni hverandre.
- Naturlige tall: 1, 2, 3, 4, …
- Naturlige tall med null: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Heltall: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rasjonale tall: alle tall som kan skrives som en brøk av to heltall, som 1/2, −3/4 og 7 (som er 7/1)
Matematikere skriver mengden av heltall som ℤ. Bokstaven kommer fra det tyske ordet Zahlen, som betyr «tall». Du kan også se ℕ for de naturlige tallene. Som du så ovenfor, er ikke alle enige om dem heller, fordi noen bøker starter på 0 og andre på 1.
Hvor ser du heltall i hverdagen?
Heltall dukker opp når du teller opp og ned fra et nullpunkt. Kuldegrader, etasjer under bakkenivå, dybder under havoverflaten og målforskjellen til et fotballag er alle heltall som kan være negative. I hvert tilfelle er 0 et referansepunkt, ikke «ingenting».
Eksempel
Om morgenen er det −4 °C, og til lunsj har temperaturen steget med 7 grader. Start på −4 og tell 7 steg opp tallinjen, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Til lunsj er det 3 °C, så −4 + 7 = 3.
En måke flyr 5 meter over havet, og en dykker svømmer 2 meter under havoverflaten, altså på −2 meter. Avstanden mellom dem er 7 meter, fordi 5 − (−2) = 7.
Hvordan legger du sammen og trekker fra heltall?
For å legge sammen heltall kan du se for deg en tallinje. Å legge til et positivt tall flytter deg mot høyre, og å legge til et negativt tall flytter deg mot venstre. Subtraksjon er det motsatte av addisjon, så å trekke fra et negativt tall flytter deg mot høyre. Derfor blir svaret større når du trekker fra et negativt tall.
Eksempel
Regn ut −3 + 5. Start på −3 og ta 5 steg mot høyre. Du passerer −2, −1, 0 og 1, og stopper på 2. Altså er −3 + 5 = 2.
Noen flere å prøve.
- −6 + 2 = −4, fordi 2 steg mot høyre fra −6 gir −4.
- −2 − 5 = −7, fordi 5 steg mot venstre fra −2 gir −7.
- 4 − (−3) = 7, fordi å trekke fra −3 er det samme som å legge til 3.
Hvorfor blir svaret større når du trekker fra et negativt tall?
Å trekke fra betyr å spørre «hva er forskjellen?». Forskjellen mellom 4 og −3 på tallinjen er 7 steg, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den generelle regelen som a − (−b) = a + b. Mange barn står fast på −5 + 4 fordi de ser et plusstegn og venter et større tall. Starter du på −5 og går 4 steg mot høyre, ser du at svaret er −1.
Hvorfor blir minus ganger minus pluss?
Når du ganger to heltall, blir svaret positivt hvis fortegnene er like, og negativt hvis de er ulike. Et negativt tall ganger et negativt tall blir positivt på grunn av et mønster. Hver gang det første tallet blir 1 mindre, endrer svaret seg like mye, og mønsteret fortsetter bare hvis svaret blir positivt.
Eksempel
Se hva som skjer med 3 · (−2) når det første tallet blir 1 mindre hver gang.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Hvert svar er 2 mer enn det forrige. Skal mønsteret fortsette forbi null, må (−1) · (−2) være 2. En annen måte å se det på er at å gange med −1 snur deg på tallinjen. Snur du deg to ganger, ser du samme vei igjen.
Gjelder de samme fortegnsreglene for divisjon?
Ja. (−12) : 3 = −4 og (−12) : (−3) = 4, med den samme regelen om like og ulike fortegn. Men det er én forskjell. Når du legger sammen, trekker fra eller ganger to heltall, får du alltid et heltall, men det gjør du ikke alltid når du deler. 8 : 2 = 4 er et heltall, mens 7 : 2 = 3,5 ikke er det.
Hvordan blir du raskere med heltall?
Fart med heltall kommer av å gjøre mange små regnestykker, helt til tallinjen sitter i hodet. I spillet med negative tall er hvert angrep et raskt regnestykke med negative tall, så barna øver på fortegnsreglene mens de er opptatt med å vinne kampen.
I runden over er det å trekke fra −17 det samme som å legge til 17, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Avstanden fra et tall til null kalles tallverdien eller absoluttverdien, så absoluttverdien til −5 er 5. Det er den neste ideen de fleste elever møter etter heltall, og spillet med absoluttverdi gjør den om til en rekke raske runder.
Heltall er tallene du kan telle deg fram til, forover eller bakover
Hvert heltall er et steg du kan nå ved å telle fra 0, mot høyre for positive tall og mot venstre for negative. Null står i midten og hører også med. Hvis et barn kan se for seg den tallinjen, slutter reglene for addisjon, subtraksjon og multiplikasjon å være regler som må pugges, og begynner å gi mening.
Tren disse videre