Jak obliczyć obwód koła z promienia lub średnicy?
Aby obliczyć obwód koła, pomnóż średnicę przez π, czyli około 3,14, więc C = πd. Średnica to odległość na wprost przez środek. Jeśli znasz tylko promień, czyli odległość od środka do brzegu, najpierw go podwój albo użyj wzoru C = 2πr. Obie drogi dają tę samą długość.
Przykład
Oblicz obwód koła o promieniu 4 cm.
- Podwój promień, aby otrzymać średnicę. 2 · 4 = 8 cm
- Pomnóż przez π. 8 · π ≈ 25,13
- Dopisz jednostkę. Obwód wynosi około 25,13 cm
Możesz też zostawić wynik w postaci 8π cm. Ta dokładna postać jest częsta w starszych klasach, bo pozwala uniknąć zaokrągleń.
Gdy znasz średnicę, wystarczy jeden krok. Okrągły stół o średnicy 1,2 m ma obwód 1,2 · π ≈ 3,77 m, więc listwa na jego brzeg musi mieć trochę mniej niż 4 m.
Używać 3,14 czy klawisza π?
Jedno i drugie jest w porządku, jeśli robisz to, czego wymaga zadanie. π jest liczbą niewymierną, więc jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza, a Britannica podaje, że 3,14 lub 22/7 to zwykłe przybliżenia na co dzień. Z 3,14 pierwszy przykład daje 8 · 3,14 = 25,12 cm. Z klawiszem π na kalkulatorze wychodzi 25,13 cm. Ta mała różnica wynika tylko z zaokrąglenia π.
Najczęstszy błąd
Błąd, przez który na sprawdzianach traci się najwięcej punktów, to wstawienie średnicy do wzoru C = 2πr. Przy średnicy 10 cm daje to 2 · π · 10 ≈ 62,83 cm, czyli dwa razy za dużo. Poprawny wynik to 10 · π ≈ 31,42 cm. Jeśli masz średnicę, użyj πd. Jeśli masz promień, użyj 2πr.
Dlaczego obwód koła to π razy średnica?
Liczba π jest zdefiniowana jako obwód koła podzielony przez jego średnicę. Każde koło, od monety po planetę, ma ten sam kształt, więc ten stosunek nigdy się nie zmienia. Dlatego wzór C = πd działa dla każdego koła. Przetocz koło wzdłuż prostej o jeden pełny obrót, a pokona odcinek nieco dłuższy niż trzy średnice.
Przykład
Wyobraź sobie monetę o średnicy 2 cm. Zaznacz punkt na jej brzegu i przetocz ją wzdłuż linijki dokładnie o jeden obrót. Znak znów dotknie linijki przy około 6,28 cm, bo 2 · π ≈ 6,28. Trzy średnice to 6 cm, a mały dodatkowy kawałek to te 0,28 cm, które zmieniają 3 w 3,14.
Możesz to sprawdzić w domu za pomocą okrągłej puszki, kawałka sznurka i linijki albo dowolnego okrągłego przedmiotu i miarki krawieckiej. Zmierz obwód i średnicę, a potem podziel jedno przez drugie. Wynik zawsze jest bliski 3,14, a drobne błędy biorą się z pomiaru ręcznego.
Grecką literę π po raz pierwszy użył dla tego stosunku William Jones w 1706 roku, jak podaje Britannica. Ten sam artykuł opisuje, jak Archimedes zamknął π między 223/71 a 22/7, rysując wielokąty wewnątrz koła i na zewnątrz niego.
Jak obliczyć średnicę lub promień z obwodu?
Aby obliczyć średnicę z obwodu, podziel obwód przez π, czyli d = C : π. Aby obliczyć promień, podziel zamiast tego przez 2π, czyli r = C : (2π). To działa, bo po prostu stosujesz wzór na obwód w odwrotną stronę. Zmierz długość dookoła, a z niej wynika szerokość na wprost.
Przykład
Pień drzewa ma 150 cm obwodu. Jego średnica to 150 : π ≈ 47,75 cm, a promień to połowa tego, około 23,87 cm.
To przydatny sposób na wszystko, czego nie da się zmierzyć na wprost, na przykład drzewo, kolumnę czy rurę. Miarka owinięta dookoła i jedno dzielenie dają ci średnicę.
Jak obliczyć obwód koła z pola?
Aby obliczyć obwód z pola, najpierw znajdź promień. Podziel pole przez π, a potem wyciągnij pierwiastek kwadratowy, czyli r = √(A : π). Następnie użyj wzoru C = 2πr. Trzymaj pełny promień w kalkulatorze i zaokrąglaj dopiero na końcu, żeby drobne błędy zaokrągleń się nie sumowały.
Przykład
Koło ma pole 100 cm².
- Oblicz promień. 100 : π ≈ 31,83, a √31,83 ≈ 5,64 cm
- Oblicz obwód. 2 · π · 5,642 ≈ 35,45 cm
Jest też wzór na jeden krok, C = 2√(πA). Dla 100 cm² daje on 2 · √(π · 100) ≈ 35,45 cm, czyli ten sam wynik. Jeśli pierwiastki idą ci wolno, kilka rund z pierwiastkami kwadratowymi bardzo przyspieszy ten krok.
Jaką drogę pokonuje koło roweru w jednym obrocie?
Koło pokonuje jeden obwód przy każdym pełnym obrocie, o ile toczy się bez poślizgu. Droga w jednym obrocie to więc π razy średnica koła. Koło rowerowe o średnicy 70 cm przejeżdża około 2,2 m na obrót, a po 1000 obrotów około 2,2 km.
Przykład
Dla koła 70 cm jeden obrót to 70 · π ≈ 219,9 cm, czyli około 2,2 m. Aby przejechać 1 km, czyli 100 000 cm, koło musi obrócić się 100 000 : 219,9 ≈ 455 razy.
Właśnie tak wiele liczników rowerowych i krokomierzy szacuje dystans. Liczą obroty lub kroki i mnożą je przez znaną długość. To także dobry sposób, żeby pokazać dzieciom, że π to nie tylko szkolna liczba.
Wzór zapamiętuje się najlepiej, gdy często go używasz, z różnymi liczbami. W grze z geometrii każdy atak w walce to pytanie o figurę, więc szybkie przypominanie sobie C = πd staje się częścią wygrywania rundy. W grze π liczy się jako 3, więc każdy wynik jest liczbą całkowitą, którą obliczysz w pamięci. Krótkie, częste rundy działają lepiej niż jedna długa sesja.
Jaki jest obwód półkola?
Obwód półkola to połowa obwodu koła plus prosty brzeg, czyli P = πr + 2r. Częsty błąd to zatrzymanie się na πr i pominięcie średnicy na dole. Dla promienia 5 cm część łukowa ma 5π ≈ 15,71 cm, a po dodaniu 10 cm wychodzi około 25,71 cm.
Jak obwód koła łączy się z okręgiem jednostkowym?
Okrąg jednostkowy ma promień 1, więc jego długość wynosi dokładnie 2π. Dlatego jeden pełny obrót to w trygonometrii 2π radianów. Okrąg jednostkowy wykorzystuje tę ideę, żeby mierzyć kąty jako odległości wzdłuż brzegu.
Znasz promień lub średnicę, więc znasz obwód
Prawie każde zadanie o obwodzie koła sprowadza się do jednego mnożenia, gdy znasz promień lub średnicę. Ta lista pomoże ci wybrać właściwy krok.
- Dany promień r: C = 2πr
- Dana średnica d: C = πd
- Dany obwód, szukana średnica: d = C : π
- Dany obwód, szukany promień: r = C : (2π)
- Dane pole A: r = √(A : π), potem C = 2πr
- Półkole: P = πr + 2r
Wynik jest zawsze długością, więc zapisz go w cm, m lub innej jednostce długości, nigdy w jednostkach kwadratowych.
Potrenuj teraz to