Ciąg Fibonacciego: czym jest i gdzie występuje w przyrodzie

Jak zbudować ciąg Fibonacciego?

Żeby zbudować ciąg Fibonacciego, zapisz 0 i 1, a potem dodaj dwie ostatnie liczby, żeby otrzymać następną, i powtarzaj ten krok. Każda nowa liczba zależy tylko od dwóch poprzednich, więc ciąg może trwać bez końca. Liczby zapisane w ten sposób nazywamy liczbami Fibonacciego.

Przykład

Zbuduj ciąg krok po kroku. Zacznij od 0 i 1.

1. 0 + 1 = 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 3 = 5
5. 3 + 5 = 8
6. 5 + 8 = 13
7. 8 + 13 = 21

Każda nowa liczba potrzebuje tylko dwóch ostatnich. Dlatego to dobre ćwiczenie z dodawania w pamięci dla dzieci, bo liczby szybko rosną, a zasada nigdy się nie zmienia. Zasada jest tak prosta, że zrozumie ją małe dziecko, a mimo to te same liczby pojawiają się w słonecznikach, szyszkach i złotym podziale.

Czy ciąg zaczyna się od 0 czy od 1?

Obie wersje są popularne. Wiele książek zaczyna od 0, 1, 1, 2, 3, a inne od 1, 1, 2, 3. Kolejne liczby są w obu przypadkach takie same. Matematycy zwykle zapisują tę zasadę jako Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, gdzie F₀ = 0 i F₁ = 1, co oznacza „każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich”.

Ukryte wzory w ciągu

W ciągu kryją się małe regularności, które dzieci lubią odkrywać. Co trzecia liczba jest parzysta (0, 2, 8, 34, 144, 610), a wszystkie pozostałe są nieparzyste. Co piąta liczba jest podzielna przez 5 (0, 5, 55, 610). Poproś dziecko, żeby sprawdziło te regularności dalej w ciągu. To zabawny sposób na ćwiczenie dodawania i dostrzeganie struktury jednocześnie.

Skąd się wziął ciąg Fibonacciego?

Ciąg zawdzięcza nazwę Leonardowi z Pizy, znanemu jako Fibonacci, włoskiemu matematykowi. Opisał go w swojej księdze Liber abaci, napisanej w 1202 roku, za pomocą zagadki o królikach. Według Britanniki jest to pierwszy znany w Europie ciąg rekurencyjny, czyli taki, w którym każdy wyraz powstaje z wcześniejszych wyrazów.

Przykład

Zagadka o królikach wygląda tak. Zaczynasz od jednej pary nowo narodzonych królików. Para potrzebuje miesiąca, żeby dorosnąć, a od tej pory każda dorosła para co miesiąc wydaje na świat jedną nową parę. Żaden królik nigdy nie znika. Policz pary na początku każdego miesiąca.

• Miesiąc 1: 1 para (nowo narodzona)
• Miesiąc 2: 1 para (już dorosła)
• Miesiąc 3: 2 pary (dorosłe i ich pierwsze młode)
• Miesiąc 4: 3 pary
• Miesiąc 5: 5 par
• Miesiąc 6: 8 par

Suma w każdym miesiącu to suma z poprzedniego miesiąca plus liczba dorosłych par, a dorosłych par jest dokładnie tyle, ile wynosiła suma dwa miesiące wcześniej. To jest właśnie zasada Fibonacciego. Prawdziwe króliki oczywiście nie zachowują się tak porządnie. Zagadka była sposobem na opisanie wzoru, a nie badaniem zwierząt.

Jak znaleźć następną liczbę w ciągu Fibonacciego?

Żeby znaleźć następną liczbę Fibonacciego, dodaj dwie ostatnie liczby ciągu. Po 21 i 34 jest 21 + 34 = 55, a po 34 i 55 jest 89. Żeby znaleźć liczbę daleko w ciągu, wypisuj kolejne wyrazy albo użyj wzoru Bineta, który oblicza dowolny wyraz bezpośrednio za pomocą złotej liczby.

Przykład

Znajdź dziesiątą liczbę Fibonacciego, licząc od F₀ = 0. Po wypisaniu ciągu otrzymujesz 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, więc F₁₀ = 55.

Wzór Bineta daje tę samą odpowiedź bez wypisywania ciągu. Podnieś złotą liczbę φ (około 1,618) do dziesiątej potęgi i podziel przez √5. Wychodzi około 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, a po zaokrągleniu do najbliższej liczby całkowitej otrzymujesz 55. Dla starszych uczniów to miła niespodzianka, bo liczba zbudowana z pierwiastków za każdym razem wypada tak blisko liczby całkowitej.

Dostrzeganie zasady ukrytej w ciągu liczb to umiejętność, która przydaje się daleko poza Fibonaccim. Gra z ciągami liczbowymi zamienia ją w walkę, w której każdy atak to ciąg, a ty musisz znaleźć brakującą liczbę. To szybki sposób na ćwiczenie dostrzegania wzorów takich jak „dodaj dwie ostatnie” bez zapisywania czegokolwiek.

Jaki jest związek ciągu Fibonacciego ze złotym podziałem?

Jeśli podzielisz każdą liczbę Fibonacciego przez poprzednią, wyniki będą coraz bliższe złotej liczbie, czyli około 1,618. Na przykład 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625, a 89 : 55 ≈ 1,618. Sama złota liczba to (1 + √5) : 2, liczba, której rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza.

Przykład

Zobacz, jak ilorazy się stabilizują, gdy liczby rosną.

• 3 : 2 = 1,5
• 5 : 3 ≈ 1,667
• 8 : 5 = 1,6
• 13 : 8 = 1,625
• 21 : 13 ≈ 1,615
• 34 : 21 ≈ 1,619
• 55 : 34 ≈ 1,618

Wyniki skaczą raz powyżej, raz poniżej 1,618 i za każdym razem są bliżej. Britannica podaje, że ten związek opisał matematyk Robert Simson w 1753 roku.

Czym jest spirala Fibonacciego?

Narysuj kwadrat o boku 1, obok niego drugi kwadrat o boku 1, potem kwadrat o boku 2, potem 3, potem 5, potem 8, a każdy dostawiaj do prostokąta, który masz do tej pory. Połącz przeciwległe rogi każdego kwadratu ćwiartką okręgu, a otrzymasz spiralę Fibonacciego. To bardzo dobre przybliżenie złotej spirali, która rośnie o złotą liczbę przy każdej ćwiartce obrotu.

Gdzie ciąg Fibonacciego występuje w przyrodzie?

Liczby Fibonacciego często pojawiają się u roślin. Nasiona słonecznika układają się w dwa zestawy spiral, a liczba spiral w każdym kierunku to zwykle dwie sąsiednie liczby Fibonacciego, na przykład 34 i 55 albo 55 i 89. Szyszki mają podobne spirale, a wiele kwiatów ma 3, 5, 8, 13 lub 21 płatków.

Przykład

Weź szyszkę albo zdjęcie słonecznika i policz spirale, które skręcają zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Potem policz spirale skręcające w drugą stronę. Strony o Fibonaccim w przyrodzie dr. Rona Knotta z University of Surrey pokazują słoneczniki z 55 spiralami w jedną stronę i 34 w drugą, a większe z 89 i 55.

Te same strony wymieniają kwiaty według liczby płatków, na przykład ostróżkę z 8, starca jakubka i niektóre stokrotki z 13 oraz astry z 21. Wspólne liczenie to świetne praktyczne zajęcie, które pokazuje dzieciom, że liczby opisują prawdziwe rzeczy wokół nich.

Dlaczego rośliny rosną w spiralach Fibonacciego?

Wiele roślin umieszcza każde nowe nasiono lub liść pod mniej więcej tym samym kątem obrotu względem poprzedniego, około 137,5°. Ten kąt, związany ze złotym podziałem, pozwala ciasno upakować nasiona bez pustych miejsc, a spirale, które możesz policzyć, są skutkiem ubocznym tego równego obracania się. Druga część przewodnika Rona Knotta pokazuje, dlaczego ten kąt tak dobrze się sprawdza.

Czy ciąg Fibonacciego naprawdę jest wszędzie w przyrodzie?

Nie. Liczby Fibonacciego są częste u roślin, ale nie są prawem natury. Strony Rona Knotta z Surrey zwracają uwagę, że nie zawsze znajdziesz liczby Fibonacciego w płatkach czy koszyczkach z nasionami, a niektóre kwiaty, na przykład fuksje, mają 4 płatki. Wiele twierdzeń w internecie, zwłaszcza o muszlach, twarzach i słynnych budowlach, posuwa się za daleko w stosunku do dowodów.

Przykład

Muszlę łodzika często pokazuje się z narysowaną na niej złotą spiralą. Muszla rzeczywiście rośnie według spirali logarytmicznej, czyli krzywej, która zachowuje ten sam kształt, gdy się powiększa. Ale strony Knotta zaznaczają, że jej współczynnik wzrostu się zmienia i może nie być złotą liczbą, a nazywanie jej złotą spiralą jest błędem. Łodzik to więc piękna spirala, ale nie dowód na Fibonacciego.

To przydatna lekcja także dla starszych dzieci. Wzór, który pojawia się często, warto zauważyć, ale uczciwe pytanie zawsze brzmi „jak często i jak dokładnie?”. Policzenie spiral na prawdziwej szyszce to lepszy test niż jakiekolwiek zdjęcie w internecie.

Dwie liczby początkowe i jedna zasada tworzą cały ciąg

Każda liczba Fibonacciego powstaje w ten sam sposób, przez dodanie dwóch poprzednich liczb. Oto pierwsze 21 wyrazów, zaczynając od F₀ = 0, żebyś mógł sprawdzić własną listę.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
• 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
• 1 597, 2 584, 4 181, 6 765

Jeśli dziecko się pogubi, wróćcie do dwóch ostatnich liczb, których jest pewne, i dodajcie je jeszcze raz. Zasada nigdy się nie zmienia, więc błąd zawsze łatwo naprawić.