Paradoks Monty'ego Halla wyjaśniony bez bólu głowy

Jeśli brzmi to dla ciebie podejrzanie, nie jesteś sam. Tysiące ludzi, w tym osoby z doktoratem, początkowo nie chciały w to uwierzyć. Poniżej znajdziesz zagadkę, a potem kilka różnych sposobów, by zobaczyć, dlaczego zmiana się opłaca. Któryś z nich pewnie sprawi, że wszystko stanie się jasne.

Na czym polega paradoks Monty'ego Halla?

Jesteś uczestnikiem teleturnieju i stoisz przed trzema zamkniętymi drzwiami. Za jednymi jest samochód, za dwoma pozostałymi kozy. Wybierasz jedne drzwi. Prowadzący, który wie, gdzie jest samochód, otwiera jedne z dwóch pozostałych drzwi i pokazuje ci kozę. Potem pyta, czy zostajesz przy swoich drzwiach, czy zmieniasz na ostatnie zamknięte.

Większość ludzi wzrusza ramionami i mówi, że to bez znaczenia. Zostały dwoje drzwi, więc szanse muszą być pół na pół. Wcale nie. Zmiana daje samochód 2 razy na 3.

Zagadka nosi imię Monty'ego Halla, prowadzącego teleturniej Let's Make a Deal (w Polsce „Idź na całość”). Słynna odpowiedź opiera się na trzech zasadach.

• Prowadzący zawsze otwiera drzwi, których nie wybrałeś.
• Prowadzący zawsze pokazuje kozę, nigdy samochód.
• Prowadzący zawsze proponuje ci zmianę.

Dlaczego zmiana wygrywa 2 razy na 3?

Twój pierwszy wybór jest zły 2 razy na 3. Za każdym razem, gdy jest zły, prowadzący nie ma wyboru. Musi otworzyć drugie drzwi z kozą, a wtedy samochód zostaje za drzwiami, na które możesz zmienić. Zmiana wygrywa więc zawsze wtedy, gdy pierwszy strzał był chybiony, a przegrywa tylko wtedy, gdy od razu trafiłeś w samochód.

Przykład

Załóżmy, że zawsze wybierasz drzwi 1. Samochód może być tylko w trzech miejscach i każde z nich jest tak samo prawdopodobne.

1. Samochód jest za drzwiami 1. Prowadzący otwiera drzwi 2 albo 3. Zostając, wygrywasz. Zmieniając, przegrywasz.
2. Samochód jest za drzwiami 2. Prowadzący musi otworzyć drzwi 3. Zostając, przegrywasz. Zmieniając, wygrywasz.
3. Samochód jest za drzwiami 3. Prowadzący musi otworzyć drzwi 2. Zostając, przegrywasz. Zmieniając, wygrywasz.

Policz. Pozostanie wygrywa raz, zmiana wygrywa dwa razy. Działa to tak samo bez względu na to, od których drzwi zaczynasz.

Można to sobie wyobrazić jeszcze inaczej. Twoje drzwi mają na początku szansę 1 na 3, a dwoje pozostałych dzieli między siebie resztę, czyli 2 na 3. Kiedy prowadzący otwiera jedne z nich, samochód się nie przesuwa. Prowadzący pokazuje ci tylko, które z tych dwojga drzwi mają teraz całe 2 na 3.

Dlaczego przy dwojgu drzwiach to nie jest pół na pół?

Bo prowadzący nie otwiera drzwi na chybił trafił. Wie, gdzie jest samochód, i zawsze go omija, więc drzwi, które zostawia zamknięte, wybrał z tą wiedzą. Twoje drzwi zostały wybrane w ciemno i zachowują szansę 1 na 3. Drugie zamknięte drzwi dostają resztę, czyli 2 na 3.

Artykuł o tej zagadce w Scientific American tłumaczy ten błąd zjawiskiem, które psychologowie nazywają złudzeniem równego prawdopodobieństwa. Zakładamy, że wszystkie wyniki, które mamy przed oczami, są jednakowo prawdopodobne. Dwoje drzwi wygląda jak rzut monetą, więc przestajemy myśleć.

Druga pułapka polega na tym, że ruch prowadzącego zdaje się nic nie mówić. Tak naprawdę mówi bardzo dużo. Za każdym razem, gdy za twoimi drzwiami jest koza, prowadzący musi zostawić zamknięte drzwi z samochodem. Ten wymuszony wybór to właśnie ukryta informacja.

Czy wersja ze 100 drzwiami jest łatwiejsza?

Dla wielu osób tak. Wyobraź sobie 100 drzwi i jeden samochód. Wybierasz jedne, a prowadzący, który wie, gdzie jest samochód, otwiera 98 pozostałych i pokazuje 98 kóz. Jedne drzwi zostają zamknięte. Twoje drzwi miały szansę 1 na 100. Drzwi, które prowadzący starannie ominął, mają teraz pozostałe 99 na 100.

Przykład

Wybierasz drzwi 37. Prowadzący otwiera wszystkie drzwi od 1 do 100 oprócz 37 i 82. Naprawdę myślisz, że twój przypadkowy pierwszy wybór był tym szczęśliwym? Dużo bardziej prawdopodobne jest to, że ominął drzwi 82, bo stoi za nimi samochód.

Marilyn vos Savant, która rozsławiła zagadkę, posłużyła się jeszcze większą wersją z milionem drzwi. Przy trojgu drzwiach zasada jest ta sama, tylko trudniej ją poczuć. Jeśli 100 drzwi ci nie pomaga, spróbuj pomyśleć o tym, jak często się mylisz. Twój pierwszy wybór jest zły 2 razy na 3, a zmiana zamienia każdy zły wybór w wygraną.

Co się dzieje, jeśli prowadzący nie wie, gdzie jest samochód?

Wtedy zmiana przestaje pomagać. Jeśli prowadzący otwiera drzwi na chybił trafił i akurat pokazuje się koza, to zarówno pozostanie, jak i zmiana wygrywają w połowie przypadków. Odpowiedź 2 na 3 obowiązuje tylko wtedy, gdy prowadzący wie, gdzie jest samochód, zawsze otwiera drzwi z kozą i zawsze proponuje zmianę.

Przykład

Wybierasz drzwi 1, a prowadzący, który nic nie wie, otwiera losowo drzwi 2 albo 3. Czasem przez przypadek odsłania samochód i taka gra jest zepsuta. W grach, w których pojawia się koza, samochód jest za twoimi drzwiami dokładnie w połowie przypadków.

Prawdziwy Monty Hall zwrócił uwagę na ten sam haczyk. W artykule w New York Times z 1991 roku ostrzegał, że uczestnik powinien uważać, jeśli prowadzący może sam zdecydować, czy w ogóle zaproponować zmianę. W prawdziwym teleturnieju sama propozycja może być pułapką.

Jak samodzielnie sprawdzić paradoks Monty'ego Halla?

Wystarczą trzy karty do gry i ktoś do pomocy. As to samochód, dwie inne karty to kozy. Pomocnik tasuje je i kładzie koszulkami do góry, ty wskazujesz jedną, a pomocnik odkrywa kozę, której nie wybrałeś. Zagraj 30 rund i za każdym razem zmieniaj. Powinieneś wygrać około 20 z nich.

Potem zagraj kolejne 30 rund i za każdym razem zostawaj przy swoim wyborze. Tym razem powinieneś wygrać około 10. Przy tak małej liczbie rund wyniki trochę się wahają, ale różnica szybko wychodzi na jaw.

Nawet słynni matematycy musieli to zobaczyć na własne oczy. Scientific American wspomina, że na zagadce potknął się także niezwykle płodny matematyk Paul Erdős. Jeśli więc nadal coś ci nie pasuje, sięgnij po karty.

Tak naprawdę zagadka uczy uczciwego liczenia wszystkich możliwych przypadków. Gra o prawdopodobieństwie zadaje takie pytania w każdej rundzie. W pojedynku poniżej trzeba na przykład policzyć, na ile sposobów na 4 monetach może wypaść dokładnie 1 orzeł. Odpowiedź to 4, bo orzeł może wypaść na dowolnej z czterech monet.

Dlaczego tak wielu ludzi myli się w paradoksie Monty'ego Halla?

Dwoje zamkniętych drzwi po prostu wygląda na wybór pół na pół, a łatwo przeoczyć to, co wie prowadzący. Pewnie swoją rolę odgrywa też żal. Przegrana po tym, jak zrezygnowałeś z samochodu, boli bardziej niż przegrana, gdy zostałeś przy swoim, więc wiele osób trzyma się pierwszych drzwi, nawet gdy rozumie matematykę.

Zagadka pojawiła się po raz pierwszy w 1975 roku w listach statystyka Steve'a Selvina. Sławna stała się w 1990 roku, gdy Marilyn vos Savant odpowiedziała na nią w swojej rubryce Ask Marilyn w magazynie Parade i poradziła czytelnikom, żeby zmieniali drzwi. Scientific American podaje, że dostała około 10 000 listów od ludzi przekonanych, że się myli. New York Times dodał, że blisko 1000 z nich podpisały osoby z doktoratem.

Oczywiście miała rację. Te listy są dziś częścią całej historii i najlepiej przypominają, że pewne siebie przeczucie w sprawach przypadku może być zupełnie błędne.

Zmieniaj, o ile prowadzący wie i zawsze otwiera drzwi z kozą

Przy zwykłych zasadach zmiana podwaja twoją szansę na wygraną, z 1 na 3 do 2 na 3. Gdy zmienią się zasady, odpowiedź też może się zmienić, na przykład gdy prowadzący otwiera drzwi losowo albo proponuje zmianę tylko wtedy, gdy mu to pasuje. To lekcja, która sięga daleko poza teleturnieje. Zanim zaufasz jakiemuś prawdopodobieństwu, zapytaj, w jaki sposób wybrano informacje, które masz przed sobą.