Kolejność wykonywania działań, czyli PEMDAS i BODMAS po polsku

Jak krok po kroku stosować kolejność wykonywania działań?

Zgodnie z kolejnością wykonywania działań (po angielsku PEMDAS) przechodzisz przez obliczenie w czterech rundach. Najpierw to, co jest w nawiasach, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a na samym końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Po każdej rundzie przepisz całą linijkę, wtedy łatwo później wyłapać błąd.

Przykład

Oblicz 3 + 4 · (6 − 2)² : 8.

1. Nawiasy: 6 − 2 = 4, zostaje 3 + 4 · 4² : 8
2. Potęgi: 4² = 16, zostaje 3 + 4 · 16 : 8
3. Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej: 4 · 16 = 64, potem 64 : 8 = 8, zostaje 3 + 8
4. Dodawanie i odejmowanie: 3 + 8 = 11

Przepisywanie linijki od nowa wydaje się powolne. Mimo to najlepiej chroni przed błędami. Typowa pomyłka to dodanie 3 i 4 na samym początku. Wychodzi wtedy 7 i wynik końcowy jest zły.

Czy w PEMDAS mnożenie jest przed dzieleniem?

Nie. Mnożenie i dzielenie są na tym samym poziomie, tak samo jak dodawanie i odejmowanie. W obrębie każdej pary po prostu idziesz od lewej do prawej. PEMDAS stawia M przed D tylko dlatego, że w słowie litery muszą stać w jakiejś kolejności. Traktowanie liter jak sztywnego rankingu to jeden z najczęstszych błędów w kolejności wykonywania działań.

Przykład

Oblicz 24 : 4 · 2.

1. Dzielenie jest pierwsze od lewej: 24 : 4 = 6
2. Potem mnożenie: 6 · 2 = 12

Jeśli najpierw pomnożysz, dostaniesz 24 : 8 = 3, a to błąd. Z dodawaniem i odejmowaniem jest tak samo. W 10 − 4 + 3 od lewej do prawej wychodzi 6 + 3 = 9. Dodawanie na początku daje 10 − 7 = 3, co też jest błędem.

Darmowy podręcznik OpenStax Prealgebra 2e mówi to wprost. Mnożenie i dzielenie wykonuje się po kolei od lewej do prawej, bo mają ten sam priorytet. Wielu dorosłych nie pamięta tego szczegółu ze szkoły, a właśnie on stoi za wieloma kłótniami o matematyczne zagadki w internecie.

Czym różnią się PEMDAS, BODMAS i BIDMAS?

Reguły są identyczne, różnią się tylko słowa. PEMDAS zaczyna się od P jak parentheses (nawiasy), a BODMAS i BIDMAS od B jak brackets. E (exponents), O (orders) i I (indices) oznaczają potęgi i pierwiastki. Każda wersja stawia mnożenie i dzielenie na jednym poziomie, a dodawanie i odejmowanie na następnym.

Przykład

Oblicz 2 + 3 · 4², myśląc o każdej z wersji.

1. Najpierw potęgi: 4² = 16
2. Potem mnożenie: 3 · 16 = 48
3. Potem dodawanie: 2 + 48 = 50

BODMAS akurat zapisuje D przed M, a PEMDAS M przed D. Obie dają tu 50, a obie wersje dają ten sam wynik w każdym obliczeniu. Jeśli kolejność liter wciąż myli, pomaga zapisanie reguły jako czterech poziomów zamiast sześciu liter: nawiasy, potęgi, mnożenie lub dzielenie, dodawanie lub odejmowanie.

Po co nam kolejność wykonywania działań?

Bez ustalonej kolejności zapis 2 + 3 · 4 mógłby znaczyć dwie różne rzeczy. Jeśli najpierw dodasz, wyjdzie 20. Jeśli najpierw pomnożysz, wyjdzie 14. Umowa mówi, że mnożenie jest pierwsze, więc wynik to 14. Cały sens tej reguły polega po prostu na tym, żeby każdy, kto czyta to samo obliczenie, dostał ten sam wynik.

Przykład

Kolega kupuje 3 zeszyty po 4 monety i jeden długopis za 2 monety. Razem to 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 monet. Dodawanie na początku dałoby 5 · 4 = 20, tak jakby długopis kupił cztery razy.

Ta umowa jest dużo starsza niż skróty. Według MacTutor, archiwum historii matematyki na University of St Andrews, mnożenie przed dodawaniem i odejmowaniem było regułą już w najwcześniejszych książkach o algebrze symbolicznej w XVI wieku. Ta sama strona cytuje historyka, który pod koniec lat 20. XX wieku pisał, że wciąż nie ma zgody co do tego, czy pierwsze powinno być ÷, czy ×.

Ile wynosi 8 ÷ 2(2 + 2)?

Jeśli stosujesz kolejność wykonywania działań tak, jak uczy się jej w szkole, 8 ÷ 2(2 + 2), czyli po naszemu 8 : 2(2 + 2), daje 16. Najpierw nawias, który daje 4. Dwójka zapisana tuż przy nawiasie oznacza mnożenie, a dzielenie i mnożenie wykonuje się od lewej do prawej, więc 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16.

Przykład

Oto oba odczytania obok siebie.

1. Od lewej do prawej: 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16
2. Z 2(2 + 2) jako jednym blokiem: 8 : (2 · 4) = 8 : 8 = 1

Prawdziwy problem tkwi w tym, jak zapisano obliczenie. Notatka na stronie wydziału matematyki w Berkeley zwraca uwagę, że dla takich wyrażeń nie ma jednej przyjętej konwencji, bo liczba zapisana tuż przy nawiasie sugeruje, że oba elementy tworzą całość. Matematycy unikają całego sporu, dopisując nawiasy: (8 : 2)(2 + 2) albo 8 : (2(2 + 2)).

Kreska ułamkowa grupuje w ten sam sposób. Jeśli nad kreską ułamkową stoi 6 + 4, a pod nią 2, najpierw dodajesz, więc wynik to 10 : 2 = 5.

Jakie są najczęstsze błędy w kolejności wykonywania działań?

Większość błędów bierze się z czytania skrótu jako sześciu osobnych kroków w stałej kolejności. Przez to ludzie mnożą przed dzieleniem albo dodają przed odejmowaniem. Inne pomyłki to zapominanie, że kreska ułamkowa grupuje to, co nad nią i pod nią, oraz podnoszenie liczby ujemnej do kwadratu bez nawiasu. Przepisywanie linijki po każdym kroku wyłapuje większość z nich.

Pomyłki, które wciąż wracają

• Mnożenie przed dzieleniem. W 24 : 4 · 2 idź od lewej do prawej: 6 · 2 = 12.
• Dodawanie przed odejmowaniem. W 10 − 4 + 3 idź od lewej do prawej: 6 + 3 = 9.
• Podnoszenie liczby ujemnej do kwadratu. −3² oznacza −(3²) = −9, ale (−3)² = 9. To nawias decyduje, czy minus też jest podnoszony do kwadratu.
• Zaczynanie od zewnętrznego nawiasu. W 2 · [5 + (3 − 1)²] zacznij od środka: 3 − 1 = 2, potem 2² = 4, potem 5 + 4 = 9, a na końcu 2 · 9 = 18.
• Pomijanie kreski ułamkowej. Najpierw osobno oblicz licznik i mianownik, a dopiero potem podziel.

Jak ćwiczyć kolejność wykonywania działań?

Krótkie i częste obliczenia to najlepszy sposób, żeby przećwiczyć tę regułę. W grze o kolejności wykonywania działań każdy atak to mieszane działanie, na przykład (5 + 3) · 7. Liczysz nawias, mnożysz i wpisujesz 56, żeby zadać cios.

Potęgi spowalniają wiele osób, zwłaszcza przy liczbach ujemnych. Jeśli to tam się zacinasz, spróbuj najpierw gry o potęgach. Potem dłuższe obliczenia z potęgami idą dużo łatwiej.

Nazwa reguły zależy od tego, gdzie się jej uczysz. W USA to PEMDAS, a w Wielkiej Brytanii BODMAS albo BIDMAS. Inne języki mają własne krótkie nazwy, ale reguła pod spodem jest wszędzie ta sama. W polskiej szkole mówimy po prostu o kolejności wykonywania działań.

Jedna wspólna reguła sprawia, że każdy dostaje ten sam wynik

Kolejność wykonywania działań to umowa, a nie prawo natury, i działa tylko dlatego, że wszyscy stosują tę samą. Najpierw nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a na końcu dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Jeśli obliczenie wciąż da się odczytać na dwa sposoby, dopisz nawiasy i spór się kończy.