Równanie prostej przechodzącej przez punkt i kiedy je stosować

Jak zapisać równanie prostej przechodzącej przez punkt?

Wstaw współczynnik kierunkowy w miejsce a, a współrzędne znanego punktu w miejsce x₁ i y₁. Litery x i y zostaw bez zmian. Oznaczają one każdy inny punkt prostej. Z równania prostej przechodzącej przez punkt korzystasz wtedy, gdy znasz jeden punkt prostej i jej współczynnik kierunkowy.

Przykład

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (2, 3) o współczynniku kierunkowym 2.

1. Z punktu masz x₁ = 2 i y₁ = 3.
2. Ze współczynnika masz a = 2.
3. Podstaw: y − 3 = 2(x − 2).

Gotowe, nie trzeba niczego upraszczać. Jeśli chcesz mieć pewność, sprawdź drugi punkt. Jeden krok w prawo i dwa w górę od (2, 3) prowadzą do (3, 5). Podstaw te liczby: po lewej stronie 5 − 3 = 2, po prawej 2(3 − 2) = 2. Zgadza się.

Zauważ, że punkt (2, 3) widać od razu w równaniu. Gdy rysujesz wykres, możesz najpierw postawić ołówek w tym punkcie i od niego zacząć.

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Najpierw oblicz współczynnik kierunkowy ze wzoru a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Potem weź jeden z dwóch punktów i podstaw go razem z tym współczynnikiem do y − y₁ = a(x − x₁). Nie ma znaczenia, który punkt wybierzesz. Równania wyglądają inaczej, ale po uproszczeniu opisują tę samą prostą.

Przykład

Wyznacz prostą przechodzącą przez punkty (1, −2) i (4, 7).

1. Współczynnik kierunkowy: a = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Dla (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), czyli y + 2 = 3(x − 1)
3. Dla (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Po wymnożeniu każdego z nich dostajesz y = 3x − 5. Warto o tym pamiętać, zanim sprawdzisz pracę domową z odpowiedziami. Uczeń, który użył (4, 7), i odpowiedzi, w których użyto (1, −2), pokażą dwa różne równania, i żadne z nich nie jest błędne.

Dlaczego ujemne współrzędne zmieniają znaki?

Wzór odejmuje współrzędne punktu. Jeśli współrzędna jest ujemna, odejmujesz liczbę ujemną, a to daje plus. Dlatego punkt (−4, −1) daje y + 1 oraz x + 4. Najprostszy sposób, żeby znak nie zmienił się w złą stronę, to zapisać najpierw pełne nawiasy, a dopiero potem upraszczać.

Przykład

Zapisz prostą przechodzącą przez (−4, −1) o współczynniku kierunkowym 1/2.

1. Z nawiasami: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Po uproszczeniu: y + 1 = 1/2(x + 4)

Działa to też w drugą stronę. Z równania y + 5 = −2(x − 6) odczytasz punkt (6, −5), a nie (6, 5). Jaki znak widzisz w równaniu, współrzędna ma znak przeciwny.

Jak przejść do postaci kierunkowej y = ax + b?

Wymnóż nawias, a potem przenieś liczbę z lewej strony tak, żeby y zostało samo. To, co dostajesz, to postać kierunkowa, y = ax + b. Współczynnik kierunkowy się nie zmienia, a liczba, która zostaje sama na końcu, to wyraz wolny b, czyli miejsce, w którym prosta przecina oś y.

Przykład

Przekształć y − 3 = 2(x − 2).

1. Wymnóż nawias: y − 3 = 2x − 4
2. Dodaj 3 do obu stron: y = 2x − 1

Współczynnik kierunkowy to nadal 2, a prosta przecina oś y w punkcie (0, −1). Ten punkt widać na wykresie powyżej. W drugą stronę idzie równie szybko. Weź y = −3x + 5, wybierz x = 1, a dostaniesz y = 2. Punkt (1, 2) i współczynnik −3 dają y − 2 = −3(x − 1).

Którą postać wybrać?

Wybierz tę postać, która pasuje do tego, co już wiesz.

• Równanie prostej przechodzącej przez punkt, gdy masz punkt i współczynnik kierunkowy albo dwa punkty.
• Postać kierunkowa, gdy chcesz odczytać współczynnik kierunkowy i wyraz wolny albo narysować wykres.
• Postać ogólna, Ax + By = C, gdy potrzebujesz punktów przecięcia prostej z obiema osiami.

Wielu nauczycieli chce wyniku końcowego w postaci y = ax + b. Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby zacząć od równania prostej przechodzącej przez punkt i na końcu je przekształcić.

Skąd się bierze ten wzór?

To przekształcony wzór na współczynnik kierunkowy. Wybierz stały punkt (x₁, y₁) na prostej i dowolny inny punkt (x, y) tej samej prostej. Współczynnik kierunkowy między nimi to a = (y − y₁) : (x − x₁). Pomnóż obie strony przez (x − x₁) i masz y − y₁ = a(x − x₁).

Przykład

Zostańmy przy prostej przez (2, 3) o współczynniku 2 i sprawdźmy punkt (5, 9). Współczynnik kierunkowy od (2, 3) do (5, 9) wynosi (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Ten sam współczynnik, więc (5, 9) leży na prostej. Dokładnie to mówi równanie: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Darmowy podręcznik OpenStax Elementary Algebra 2e wyprowadza wzór w ten sam sposób. Potem stosuje go do prostych przechodzących przez dwa punkty oraz do prostych równoległych i prostopadłych, i właśnie tym zajmuje się następna część.

Jak wyznaczyć prostą równoległą i prostopadłą przechodzącą przez punkt?

Prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta wyjściowa. Prosta prostopadła ma współczynnik przeciwny do odwrotności, czyli odwracasz ułamek i zmieniasz znak. Współczynnik 2 zamienia się w −1/2, a −3/4 w 4/3. Gdy masz już nowy współczynnik, wstawiasz go do równania razem z podanym punktem.

Przykład

Wyznacz prostą przechodzącą przez (2, 3), prostopadłą do y = 2x − 1.

1. Wyjściowy współczynnik to 2, czyli 2/1.
2. Odwróć ułamek i zmień znak: −1/2.
3. Równanie przez punkt: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Postać kierunkowa: y = −1/2x + 4

Szybkie sprawdzenie dla x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, a to jest współrzędna y naszego punktu. Dla prostej równoległej przechodzącej przez (6, 0) zostaw współczynnik 2: y − 0 = 2(x − 6), czyli y = 2x − 12.

Czy każdą prostą da się tak zapisać?

Prawie każdą. Wyjątkiem jest prosta pionowa. Wszystkie jej punkty mają tę samą współrzędną x, więc przyrost x wynosi 0, a współczynnik kierunkowy oznaczałby dzielenie przez zero. Prostą pionową przez (3, 1) zapisujesz więc jako x = 3. Proste poziome nie sprawiają żadnego kłopotu, bo ich współczynnik kierunkowy to po prostu 0.

Przykład

Weź prostą poziomą przechodzącą przez (1, 4). Równanie przez punkt to y − 4 = 0(x − 1). Zero razy cokolwiek daje zero, więc równanie skraca się do y − 4 = 0, czyli y = 4.

Jak ćwiczyć równanie prostej?

Szybkość w zadaniach z prostymi przychodzi wtedy, gdy widzisz ich dużo. W grze o funkcji liniowej walczysz pytaniami o proste. Jedna runda może zapytać o współczynnik kierunkowy od (−2, 2) do (0, −6), a dobra odpowiedź to trafiony atak. Tu wynik to (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Przekształcanie to za każdym razem małe równanie. Jeśli właśnie tu idzie ci wolniej, pomoże kilka rund w grze z równaniami. Tych samych ruchów używasz za każdym razem, gdy przekształcasz wzór.

Litera oznaczająca współczynnik kierunkowy też zależy od kraju. W polskich szkołach to a, w podręcznikach angielskich m, a w niektórych krajach k. Bez względu na literę liczba przed nawiasem to współczynnik kierunkowy, a liczby w nawiasach pochodzą z punktu na prostej.

Punkt i współczynnik kierunkowy wyznaczają prostą

Jeden punkt i współczynnik kierunkowy wyznaczają prostą w całości, a równanie prostej przechodzącej przez punkt zapisuje to wprost. Podstawiaj uważnie, trzymaj nawiasy, dopóki znaki nie są jasne, i sprawdź wynik drugim punktem. Potem do y = ax + b zostają tylko dwa krótkie kroki.