Odchylenie standardowe wyjaśnione prosto, z przykładem krok po kroku

Jak obliczyć odchylenie standardowe krok po kroku?

Aby obliczyć odchylenie standardowe, znajdź średnią, odejmij ją od każdej wartości, podnieś każdą różnicę do kwadratu i dodaj kwadraty. Podziel tę sumę przez liczbę wartości, a otrzymasz wariancję. Na koniec wyciągnij pierwiastek kwadratowy z wariancji. Wynik to odchylenie standardowe, wyrażone w tych samych jednostkach co dane.

Przykład

Dwie drużyny po 8 graczy rozwiązują ten sam quiz z 10 pytaniami. Weźmy drużynę B, która zdobyła punkty 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 i 9.

1. Znajdź średnią. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, a 40 : 8 = 5
2. Odejmij średnią od każdej wartości. Otrzymujesz −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Podnieś każdą różnicę do kwadratu. Otrzymujesz 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Dodaj kwadraty. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Podziel przez liczbę wartości. 32 : 8 = 4, czyli wariancja
6. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy. √4 = 2, więc odchylenie standardowe wynosi 2

Te same obliczenia rozpisane wartość po wartości łatwiej śledzić.

• 2 − 5 = −3, a (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, a (−1)² = 1, trzy razy
• 5 − 5 = 0, a 0² = 0, dwa razy
• 7 − 5 = 2, a 2² = 4
• 9 − 5 = 4, a 4² = 16

Zauważ, że same różnice, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 i 4, sumują się do 0. Tak jest zawsze i właśnie to wyjaśnia, po co podnosimy je do kwadratu, co pokazuje następna część. Ostatni krok wymaga pierwiastka, a kilka rund z pierwiastkami kwadratowymi sprawia, że szacuje się je w pamięci dużo szybciej.

Jaki jest wzór na odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe populacji to σ = √(Σ(x − μ)² : N). Tutaj x to każda wartość, μ to średnia, N to liczba wartości, a Σ oznacza „dodaj je wszystkie”. Dla próby pobranej z większej grupy dzielimy przez n − 1 zamiast przez N. Tę wersję oznacza się literą s.

Przykład

Jeśli drużyna B to cała grupa, która cię interesuje, użyj N. Wariancja wynosi 32 : 8 = 4, a σ = √4 = 2.

Jeśli 8 graczy to próba wybrana tak, by reprezentowała całą szkołę, użyj n − 1. Wariancja wynosi 32 : 7 ≈ 4,57, a s = √4,57 ≈ 2,14.

Dlaczego dla próby dzielimy przez n − 1?

Próba zwykle pomija część najbardziej skrajnych wartości z całej grupy, więc rozrzut wychodzi w niej nieco za mały. Dzielenie przez n − 1, czyli nieco mniejszą liczbę, trochę zwiększa wynik i to koryguje. Przy dużych próbach różnica między obiema wersjami staje się znikoma.

Kalkulatory i arkusze kalkulacyjne często mają obie wersje. Przycisk lub funkcja oznaczona σ albo „populacja” dzieli przez N, a oznaczona s albo „próba” dzieli przez n − 1. Sprawdź, której oczekuje nauczyciel lub podręcznik, bo obie są poprawne w swojej sytuacji.

Dlaczego w odchyleniu standardowym podnosi się różnice do kwadratu?

Różnice od średniej zawsze sumują się do zera, bo wartości powyżej średniej równoważą wartości poniżej niej. Podniesienie do kwadratu sprawia, że każda różnica jest dodatnia, więc przestają się znosić. Pierwiastek na końcu przywraca wynikowi pierwotne jednostki, więc rozrzut punktów mierzy się w punktach.

Przykład

Dla drużyny B różnice wynosiły −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 i 4. Ich suma to 0, więc ich zwykła średnia też wynosi 0, co nic nie mówi o rozrzucie. Po podniesieniu do kwadratu stają się 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 i 16, a ich suma to 32.

Podnoszenie do kwadratu daje też większą wagę wartościom odległym. NIST Engineering Statistics Handbook pokazuje to wyraźnie. Punkt oddalony o 2 jednostki od średniej dodaje do sumy 4, a punkt oddalony o 10 jednostek dodaje 100. Przez to odchylenie standardowe jest wrażliwe na pojedynczą skrajną wartość, na przykład jeden wynik 0 w grupie, która poza tym wypadła dobrze.

Istnieje prostsza miara, która pomija podnoszenie do kwadratu. Odchylenie przeciętne bierze odległość każdej wartości od średniej, pomija znaki minus i liczy średnią z tych odległości. Dla drużyny B odległości 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 i 4 sumują się do 12, a 12 : 8 = 1,5. Łatwiej je obliczyć ręcznie, ale to na odchyleniu standardowym opiera się większość narzędzi i wzorów statystycznych.

Jakie odchylenie standardowe jest duże, a jakie małe?

Nie ma jednej liczby, która oznacza duże lub małe odchylenie standardowe. Zależy to od wielkości wartości i od tego, co mierzą. Odchylenie standardowe 2 punktów jest duże przy wynikach quizu na 10 punktów, ale maleńkie przy wynikach na 1000 punktów. Porównaj je ze średnią i z zakresem możliwych wartości.

Przykład

Teraz porównaj drużynę B z drużyną A z tego samego quizu.

• Drużyna A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Drużyna B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Obie drużyny mają średnią 5, bo każda lista sumuje się do 40, a 40 : 8 = 5. Ale wyniki drużyny A skupiają się wokół 5, a wyniki drużyny B są rozrzucone od 2 do 9. Odchylenie standardowe drużyny A wynosi 1 punkt, a drużyny B 2 punkty.

Sama średnia sprawiłaby, że te drużyny wyglądałyby identycznie. Odchylenie standardowe pokazuje, że drużyna A jest bardzo wyrównana, a w drużynie B są gracze daleko z przodu i daleko z tyłu.

Kolejny przykład

Dwie piekarnie sprzedają bochenki o średniej masie 500 g. W pierwszej odchylenie standardowe wynosi 5 g, więc prawie każdy bochenek waży blisko 500 g. W drugiej wynosi 40 g, więc niektóre bochenki są wyraźnie lżejsze, a inne cięższe. Średnie są takie same, ale pierwsza piekarnia piecze znacznie bardziej równo.

Małe odchylenie standardowe nie zawsze jest lepsze. W klasie duże odchylenie standardowe wyników sprawdzianu może po prostu pokazywać, że dzieci są na bardzo różnych etapach, a to przydatna wiedza dla nauczyciela. W fabryce małe odchylenie standardowe zwykle oznacza, że maszyny działają niezawodnie. Liczba opisuje rozrzut, a kontekst decyduje, czy ten rozrzut to dobra wiadomość.

Odchylenie standardowe nigdy nie może być ujemne, bo powstaje z pierwiastka z liczb podniesionych do kwadratu. Wynosi 0 tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są takie same.

Co oznacza reguła 68-95-99,7?

Dla danych o rozkładzie normalnym, czyli znanej krzywej w kształcie dzwonu, około 68% wartości leży w odległości do jednego odchylenia standardowego od średniej. Około 95% leży w odległości do dwóch odchyleń standardowych, a około 99,7% do trzech. Nazywa się to regułą empiryczną, a dzięki niej odchylenie standardowe szybko daje obraz danych.

Przykład

Załóżmy, że czasy biegu na 1 km w dużej grupie układają się w krzywą dzwonową ze średnią 6 minut i odchyleniem standardowym równym 1 minucie. Wtedy około 68% biegaczy kończy bieg w czasie od 5 do 7 minut. Około 95% kończy w czasie od 4 do 8 minut, a prawie wszyscy w czasie od 3 do 9 minut.

Reguła sprawdza się dobrze tylko dla danych o kształcie dzwonu. Małe grupy, takie jak dwie drużyny z quizu, rzadko dokładnie ją spełniają. Dla danych asymetrycznych, takich jak dochody czy czasy oczekiwania, średnia i odchylenie standardowe mogą dawać mylący obraz, a mediana i rozstęp często lepiej opisują dane.

Średnia jest punktem wyjścia każdego odchylenia standardowego, więc warto umieć szybko liczyć średnie. W grze o statystyce każdy atak w walce to pytanie ze statystyki, więc liczenie średniej w pamięci staje się częścią wygrywania rundy. Krótkie, częste rundy budują tę szybkość lepiej niż jedna długa sesja.

Odchylenie standardowe to typowa odległość od średniej

Odchylenie standardowe odpowiada na jedno pytanie. Jak daleko od średniej leży typowa wartość? Korzystaj z tych kroków zawsze, gdy musisz obliczyć je ręcznie.

1. Znajdź średnią.
2. Odejmij średnią od każdej wartości.
3. Podnieś każdą różnicę do kwadratu.
4. Dodaj kwadraty.
5. Podziel przez N dla całej populacji albo przez n − 1 dla próby.
6. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy.

Mały wynik oznacza, że wartości leżą blisko siebie, a duży, że są rozrzucone. Zawsze odczytuj go razem ze średnią i jednostkami, bo rozrzut ma sens tylko w kontekście.