Jak obliczyć objętość walca?
Aby obliczyć objętość walca, podnieś do kwadratu promień podstawy, która jest kołem, pomnóż przez π, czyli około 3,14, a potem pomnóż przez wysokość. To wzór V = πr²h. Wynik zapisz w jednostkach sześciennych, takich jak cm³ lub m³, bo objętość mierzy przestrzeń wewnątrz bryły, a nie długość ani powierzchnię.
Przykład
Oblicz objętość walca o promieniu 3 cm i wysokości 10 cm.
- Podnieś promień do kwadratu. 3 · 3 = 9
- Pomnóż przez π, aby otrzymać pole podstawy. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Pomnóż przez wysokość. 9π · 10 = 90π
- Dopisz jednostki sześcienne. Objętość wynosi około 282,74 cm³
Możesz też zostawić wynik w postaci 90π cm³. Ta dokładna postać pozwala uniknąć zaokrągleń i jest częsta w starszych klasach.
Najczęstszy błąd to mnożenie promienia przez 2 zamiast podnoszenia go do kwadratu. Dla promienia 3 cm 3 · 2 = 6, ale 3² = 9. Inny błąd to podnoszenie do kwadratu także wysokości. Do kwadratu podnosimy tylko promień, bo tylko podstawa jest kołem.
Dlaczego objętość walca to πr²h?
Walec to stos jednakowych kół, jak słupek monet. Każde koło ma pole πr², a stos ma wysokość h jednostek. Objętość to więc pole podstawy pomnożone przez wysokość. Graniastosłupy podlegają tej samej zasadzie, V = pole podstawy · wysokość.
Przykład
Wyobraź sobie stos cienkich okrągłych krakersów, każdy o polu 20 cm². Jeśli stos ma 5 cm wysokości, zajmuje 20 · 5 = 100 cm³ przestrzeni. Walec o polu podstawy 20 cm² i wysokości 5 cm ma taką samą objętość.
Ten obraz wyjaśnia też, co się dzieje, gdy walec zmienia kształt. Gdy podwoisz wysokość, podwoisz liczbę warstw, więc objętość też się podwoi. Gdy podwoisz promień, każda warstwa stanie się cztery razy większa, bo promień jest podnoszony do kwadratu. Wtedy objętość wzrośnie czterokrotnie.
Walec dobrze pasuje też do dwóch innych brył obrotowych. Stożek o tej samej podstawie i wysokości mieści dokładnie jedną trzecią walca. Kula, która ściśle mieści się w walcu, zajmuje dwie trzecie jego objętości. Według Britannica Archimedes był z tego wyniku tak dumny, że poprosił, by umieszczono go na jego grobie.
Jak obliczyć objętość walca, znając średnicę?
Aby obliczyć objętość ze średnicy, podziel średnicę na pół, aby otrzymać promień, a potem użyj wzoru V = πr²h. Średnica to odcinek łączący dwa punkty brzegu podstawy i przechodzący przez jej środek, więc jest dwa razy dłuższa niż promień. W jednym kroku wzór ma postać V = πd²h : 4 i daje dokładnie ten sam wynik.
Przykład
Puszka ma średnicę 8 cm i wysokość 12 cm. Podziel średnicę na pół, a otrzymasz promień 4 cm. Wtedy 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Ze wzoru jednokrokowego 8² = 64, a następnie 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Oba sposoby dają ten sam wynik.
Wstawianie średnicy wprost do πr²h to bardzo częsty błąd. Dla powyższej puszki daje to 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, czyli cztery razy za dużo. Jeśli wynik wydaje się zaskakująco duży, sprawdź, czy średnica została najpierw podzielona na pół.
Jak zamienić objętość walca na litry?
Aby zamienić objętość walca na litry, oblicz objętość w centymetrach sześciennych i podziel przez 1000, bo 1 litr to 1000 cm³. Jeśli objętość jest w metrach sześciennych, pomnóż ją przez 1000, bo 1 m³ mieści 1000 litrów. Zanim zaczniesz, upewnij się, że wszystkie wymiary są w tej samej jednostce.
Przykład
Szklanka ma średnicę 7 cm i wysokość 10 cm, mierzone od wewnątrz.
- Oblicz promień. 7 : 2 = 3,5 cm
- Oblicz objętość. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Zamień na litry. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 litra, czyli około 385 ml
Większy przykład to zbiornik na wodę o promieniu 0,5 m i wysokości 1,2 m. Jego objętość to 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Po pomnożeniu przez 1000 widać, że zbiornik mieści około 942 litrów.
Częstym problemem są różne jednostki, na przykład promień w centymetrach, a wysokość w metrach. Najpierw zamień wszystko na jedną jednostkę. Przeliczanie cm³, m³, mililitrów i litrów idzie dużo szybciej po kilku rundach zamiany jednostek.
Jak obliczyć wysokość lub promień walca, znając objętość?
Aby obliczyć wysokość, podziel objętość przez pole podstawy, czyli h = V : (πr²). Aby obliczyć promień, podziel objętość przez π razy wysokość, a potem wyciągnij pierwiastek kwadratowy, czyli r = √(V : (πh)). Oba wzory to po prostu wzór V = πr²h przekształcony w drugą stronę, krok po kroku.
Przykład
Dzbanek w kształcie walca ma mieścić 1 litr, czyli 1000 cm³, a jego promień to 5 cm. Jego wysokość musi wynosić 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Teraz w drugą stronę. Walec o wysokości 10 cm mieści 500 cm³. Jego promień to √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Aby sprawdzić wynik, wstaw liczby z powrotem do V = πr²h. Dla dzbanka π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, więc wysokość się zgadza.
Wzór najlepiej zapada w pamięć, gdy często go używasz, z różnymi liczbami. W grze z geometrii każdy atak w walce to pytanie o figury i bryły, więc szybkie przypominanie sobie πr²h staje się częścią wygrywania rundy. W grze π liczy się jako 3, więc każdy wynik to liczba całkowita, którą obliczysz w pamięci. Krótkie, częste rundy działają lepiej niż jedna długa sesja.
Jak obliczyć objętość walca wydrążonego?
Walec wydrążony, na przykład rura, to duży walec, z którego środka usunięto mniejszy walec. Oblicz objętość walca zewnętrznego, odejmij objętość otworu, a to, co zostanie, to materiał. Wzór ma postać V = π(R² − r²)h, gdzie R to promień zewnętrzny, a r to promień wewnętrzny.
Przykład
Rura ma 100 cm długości, promień zewnętrzny 5 cm i promień wewnętrzny 4 cm.
- Podnieś oba promienie do kwadratu. 5² = 25 i 4² = 16
- Odejmij. 25 − 16 = 9
- Pomnóż przez π i długość. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Częsty błąd to odejmowanie promieni przed podniesieniem ich do kwadratu. Daje to (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, czyli o wiele za mało. Najpierw podnieś każdy promień do kwadratu, potem odejmij.
Najpierw pole podstawy, potem mnożenie przez wysokość
Każde zadanie o objętości walca sprowadza się do tych samych dwóch kroków. Oblicz pole podstawy, która jest kołem, a potem pomnóż je przez wysokość. Ta lista pomoże ci wybrać właściwy punkt wyjścia.
- Dane są promień r i wysokość h: V = πr²h
- Dana jest średnica d: r = d : 2 lub V = πd²h : 4
- Aby obliczyć wysokość: h = V : (πr²)
- Aby obliczyć promień: r = √(V : (πh))
- Walec wydrążony: V = π(R² − r²)h
- Litry: cm³ : 1000 lub m³ · 1000
Wynik zapisz w jednostkach sześciennych, a na litry zamieniaj dopiero na końcu, gdy objętość jest już poprawna.