Czym są liczby całkowite? Proste wyjaśnienie z przykładami

Liczby całkowite na osi liczbowej

Na osi liczbowej liczby całkowite to punkty położone w równych odstępach, do których dochodzisz, licząc od 0 do przodu albo do tyłu. Liczby takie jak 1/2, 3,5 czy √2 leżą w przerwach między nimi, więc nie są całkowite. Poniżej dowiesz się, jak je rozpoznać, dlaczego zero też się liczy i jak naprawdę działają reguły znaków.

Jak sprawdzić, czy liczba jest całkowita?

Liczba jest całkowita, jeśli da się ją zapisać bez ułamka i bez części dziesiętnej. Może być dodatnia, ujemna albo równa zero. Podręcznik OpenStax Prealgebra 2e (po angielsku) ujmuje to prosto, liczby całkowite to liczby, którymi liczymy, liczby do nich przeciwne i zero. Zatem 7, −7 i 0 są liczbami całkowitymi, a 7,5 już nie.

Przykład

Sprawdź te przypadki.

• −12 jest liczbą całkowitą, bo to liczba przeciwna do 12.
• 0 jest liczbą całkowitą.
• 3,5 nie jest liczbą całkowitą, bo ma część dziesiętną.
• 1/2 nie jest liczbą całkowitą.
• 8/2 jest liczbą całkowitą, bo 8/2 = 4.
• √9 jest liczbą całkowitą, bo √9 = 3.
• √2 nie jest liczbą całkowitą, bo wynosi około 1,41.

Ostatnie przykłady uczą dobrego nawyku. Najpierw oblicz wartość, a dopiero potem zdecyduj. Liczba może wyglądać jak ułamek albo pierwiastek, a mimo to okazać się całkowita.

Czy 0 jest liczbą całkowitą?

Tak, 0 jest liczbą całkowitą. Leży na środku osi liczbowej, między liczbami całkowitymi ujemnymi a dodatnimi. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, co OpenStax mówi wprost. Jest za to parzyste, bo 0 = 2 · 0, więc dzieli się przez 2 bez reszty.

Czy liczby ujemne są całkowite?

Liczby ujemne są całkowite tylko wtedy, gdy nie mają części ułamkowej ani dziesiętnej. −5 i −100 są liczbami całkowitymi. −2,5 i −3/4 są ujemne, ale nie są całkowite. Ten sam test działa dla każdej liczby, niezależnie od jej znaku.

Czym różnią się liczby całkowite od liczb naturalnych?

W polskiej szkole liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 i tak dalej, bez liczb ujemnych. Liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, a do tego liczby ujemne −1, −2, −3 i tak dalej. Dlatego −4 jest liczbą całkowitą, ale nie naturalną. W niektórych książkach liczby naturalne zaczynają się od 1, więc warto sprawdzić, jaką definicję stosuje podręcznik dziecka.

Przykład

Tak główne zbiory liczb mieszczą się jeden w drugim.

• Liczby naturalne dodatnie: 1, 2, 3, 4, …
• Liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Liczby całkowite: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Liczby wymierne: wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych, np. 1/2, −3/4 i 7 (czyli 7/1)

Matematycy oznaczają zbiór liczb całkowitych symbolem ℤ. Litera pochodzi od niemieckiego słowa Zahlen, czyli „liczby”. Liczby naturalne oznacza się symbolem ℕ. Nawet co do nich nie ma pełnej zgody, bo jedne książki zaczynają je od 0, a inne od 1.

Gdzie spotykamy liczby całkowite na co dzień?

Liczby całkowite pojawiają się wszędzie tam, gdzie liczymy w górę i w dół od jakiegoś punktu zero. Temperatura poniżej zera, piętra pod ziemią, głębokość poniżej poziomu morza i bilans bramek drużyny piłkarskiej to liczby całkowite, które mogą być ujemne. W każdym z tych przypadków 0 jest punktem odniesienia, a nie „niczym”.

Przykład

Rano jest −4 °C, a do południa temperatura rośnie o 7 stopni. Zacznij od −4 i przejdź 7 kroków w górę osi liczbowej, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. W południe jest 3 °C, więc −4 + 7 = 3.

W windzie parter to zwykle 0, garaż może być na poziomie −2, a piąte piętro to 5. Jadąc z −2 na 5, pokonujesz 7 pięter, bo 5 − (−2) = 7.

Jak dodawać i odejmować liczby całkowite?

Przy dodawaniu liczb całkowitych wyobraź sobie oś liczbową. Dodanie liczby dodatniej przesuwa cię w prawo, a dodanie liczby ujemnej w lewo. Odejmowanie jest odwrotnością dodawania, więc odjęcie liczby ujemnej przesuwa cię w prawo. Dlatego po odjęciu liczby ujemnej wynik jest większy.

Przykład

Oblicz −3 + 5. Zacznij od −3 i zrób 5 kroków w prawo. Mijasz −2, −1, 0 i 1, i zatrzymujesz się na 2. Zatem −3 + 5 = 2.

Kilka kolejnych do sprawdzenia.

• −6 + 2 = −4, bo 2 kroki w prawo od −6 prowadzą do −4.
• −2 − 5 = −7, bo 5 kroków w lewo od −2 prowadzi do −7.
• 4 − (−3) = 7, bo odjęcie −3 to to samo co dodanie 3.

Dlaczego odjęcie liczby ujemnej daje większy wynik?

Odejmowanie to pytanie „ile wynosi różnica?”. Różnica między 4 a −3 na osi liczbowej to 7 kroków, więc 4 − (−3) = 7. OpenStax zapisuje ogólną regułę jako a − (−b) = a + b. Wiele dzieci zacina się na −5 + 4, bo widzą znak plus i spodziewają się większej liczby. Jeśli zaczniesz od −5 i przejdziesz 4 kroki w prawo, zobaczysz, że wynik to −1.

Dlaczego minus razy minus daje plus?

Gdy mnożysz dwie liczby całkowite, wynik jest dodatni, jeśli znaki są takie same, i ujemny, jeśli są różne. Liczba ujemna razy liczba ujemna daje wynik dodatni z powodu pewnego wzoru. Za każdym razem, gdy pierwsza liczba maleje o 1, wynik zmienia się o tyle samo, a ten wzór da się kontynuować tylko wtedy, gdy wynik stanie się dodatni.

Przykład

Zobacz, co się dzieje z 3 · (−2), gdy pierwsza liczba za każdym razem maleje o 1.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Każdy wynik jest o 2 większy od poprzedniego. Żeby wzór działał dalej za zerem, (−1) · (−2) musi wynosić 2. Można to też sobie wyobrazić tak, że mnożenie przez −1 obraca cię na osi liczbowej. Obróć się dwa razy, a znowu patrzysz w tę samą stronę.

Czy dzielenie liczb całkowitych podlega tej samej regule znaków?

Tak. (−12) : 3 = −4 oraz (−12) : (−3) = 4, z tą samą regułą o zgodnych i różnych znakach. Jest jednak jedna różnica. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie dwóch liczb całkowitych zawsze daje liczbę całkowitą, a dzielenie nie zawsze. 8 : 2 = 4 to liczba całkowita, a 7 : 2 = 3,5 już nie.

Jak liczyć szybciej na liczbach całkowitych?

Szybkość w liczbach całkowitych przychodzi z rozwiązywania wielu krótkich działań, aż oś liczbowa zostanie ci w głowie. W grze z liczbami ujemnymi każdy atak to szybkie działanie na liczbach ujemnych, więc dzieci ćwiczą reguły znaków, gdy są zajęte wygrywaniem walki.

W rundzie powyżej odjęcie −17 to to samo co dodanie 17, więc −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Odległość liczby od zera to jej wartość bezwzględna, więc wartość bezwzględna −5 wynosi 5. To kolejne zagadnienie, które większość uczniów poznaje po liczbach całkowitych, a gra z wartością bezwzględną zamienia je w serię szybkich rund.

Liczby całkowite to liczby, do których dojdziesz, licząc do przodu albo do tyłu

Każda liczba całkowita to krok, do którego dochodzisz, licząc od 0, w prawo dla liczb dodatnich i w lewo dla ujemnych. Zero leży na środku i też należy do tej grupy. Jeśli dziecko potrafi wyobrazić sobie taką oś liczbową, zasady dodawania, odejmowania i mnożenia przestają być regułkami do wkucia i zaczynają mieć sens.