Phi, o número com uma grande fama
Os matemáticos o escrevem com a letra grega φ (fi), e ele tem fama de se esconder em girassóis, prédios famosos e rostos bonitos. Parte dessa fama é merecida, mas boa parte não é. Primeiro vem a matemática, depois a versão honesta de onde o número de ouro aparece de verdade.
Como calcular a proporção áurea?
A proporção áurea é calculada com a fórmula φ = (1 + √5) ÷ 2. A raiz quadrada de 5 é cerca de 2,236, então você soma 1, divide por 2 e obtém cerca de 1,618. As casas decimais nunca terminam e nunca se repetem, porque φ é um número irracional. Para quase todos os usos do dia a dia, 1,618 já é preciso o suficiente.
Exemplo
Faça a conta na calculadora em três passos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 ÷ 2 = 1,618
Portanto, φ ≈ 1,618. Se precisar de mais precisão, φ = 1,6180339887 com dez casas decimais.
De onde vem a fórmula de φ?
Pegue um segmento e divida-o em uma parte maior a e uma parte menor b. A divisão é áurea quando o segmento inteiro está para a parte maior assim como a parte maior está para a menor. Em símbolos, (a + b) ÷ a = a ÷ b. Esse valor comum é φ.
Agora faça a parte menor medir 1, de modo que a parte maior mede φ. A regra vira (φ + 1) ÷ φ = φ. Multiplique os dois lados por φ e você obtém φ² = φ + 1, ou seja, φ² − φ − 1 = 0. É uma equação do segundo grau, e sua solução positiva é (1 + √5) ÷ 2. A Britannica (em inglês) descreve a mesma transformação até chegar a x² − x − 1 = 0.
Por que 1,618, 0,618 e 2,618 são tão parecidos?
Como φ² = φ + 1, elevar φ ao quadrado é o mesmo que somar 1. Assim, φ² ≈ 2,618. Se você dividir a mesma equação por φ, obtém φ = 1 + 1 ÷ φ, o que significa que 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618. Por isso três números diferentes têm as mesmas casas decimais.
Por que a proporção áurea é tão especial?
A proporção áurea é especial porque φ é o único número positivo cujo quadrado é o próprio número mais um e cujo inverso é o próprio número menos um. Ela também liga a geometria à contagem. O mesmo valor aparece quando você divide um segmento de forma equilibrada, quando desenha um pentágono regular e quando divide números de Fibonacci vizinhos.
Exemplo
Em um pentágono regular de lado 1, cada diagonal (o segmento que liga um vértice a outro não vizinho) mede exatamente φ, cerca de 1,618. Por isso a estrela de cinco pontas desenhada dentro de um pentágono, o pentagrama, está cheia de proporções áureas. Cada ponta da estrela é cortada pelas outras linhas na proporção áurea.
A ideia é muito antiga. A Britannica a atribui a Euclides, que nos seus Elementos a chamou de divisão em "média e extrema razão".
A proporção áurea é a mesma coisa que pi?
Não. Pi (π ≈ 3,14) é a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, enquanto a proporção áurea (φ ≈ 1,618) vem da divisão de um segmento. Os dois são números irracionais com infinitas casas decimais, e provavelmente é por isso que as pessoas os confundem. Eles têm valores diferentes e vêm de figuras diferentes.
Proporção áurea e sequência de Fibonacci são a mesma coisa?
A proporção áurea e a sequência de Fibonacci não são a mesma coisa, mas estão muito ligadas. A sequência de Fibonacci é uma lista de números naturais em que cada número é a soma dos dois anteriores. Se você dividir cada número de Fibonacci pelo anterior, os resultados ficam cada vez mais perto da proporção áurea.
Exemplo
Pegue números vizinhos da sequência de Fibonacci e divida.
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Os resultados ficam ora acima, ora abaixo de 1,618 e se estabilizam rapidinho. Em 144 ÷ 89, o resultado já coincide com φ em três casas decimais. É uma ótima atividade com calculadora para crianças, porque elas veem um padrão surgir de divisões simples.
Descobrir a regra por trás de uma lista de números é uma habilidade que vai muito além de Fibonacci. No jogo de sequências numéricas, cada ataque é uma sequência com um número faltando, e você precisa descobrir a regra antes do seu adversário.
Na rodada acima, cada número é 5 a mais que o anterior, então o número que falta é 24.
Como desenhar um retângulo áureo?
Um retângulo áureo tem o lado maior cerca de 1,618 vezes o lado menor. Para desenhar um, multiplique o lado menor por 1,618, ou divida o lado maior por 1,618 para achar o lado menor. Você também pode construí-lo de forma exata com um compasso, partindo de um quadrado, sem medir nenhuma casa decimal.
Exemplo
Se o lado menor mede 10 cm, o lado maior mede 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se uma página tem 1.000 pixels de largura e você quer uma divisão áurea, divida por φ. Você obtém uma coluna principal de cerca de 618 pixels e uma coluna lateral de cerca de 382 pixels.
Para desenhá-lo com compasso, siga estes passos.
- Desenhe um quadrado de lado 1 (por exemplo, 1 decímetro).
- Marque o ponto médio do lado de baixo.
- Coloque a ponta seca do compasso nesse ponto médio e abra até o vértice de cima do lado oposto. Essa distância é √5 ÷ 2, cerca de 1,118.
- Gire o compasso até o prolongamento do lado de baixo. O novo comprimento é 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Complete o retângulo. Os lados medem 1 e φ.
Se você tirar o quadrado de um retângulo áureo, o pedaço que sobra é outro retângulo áureo. Repita isso, desenhe um quarto de circunferência em cada quadrado e você terá a espiral que costuma aparecer nas imagens da proporção áurea. Esse tipo de geometria também faz parte do jogo de geometria, em que formas, ângulos e áreas viram desafios rápidos.
Onde a proporção áurea aparece na natureza?
O exemplo mais claro na natureza é o jeito como muitas plantas organizam folhas e sementes. Cada nova semente de um girassol cresce girada mais ou menos o mesmo ângulo em relação à anterior, cerca de 137,5°. Esse ângulo áureo encaixa as sementes bem juntinhas, sem espaços vazios, e produz espirais cuja quantidade costuma ser um número de Fibonacci.
Exemplo
O ângulo áureo sai diretamente de φ. Divida uma volta completa por φ² e você obtém 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5°. Outra forma de ver isso é que o giro divide a circunferência em dois arcos, de cerca de 222,5° e 137,5°, na proporção áurea.
Uma revisão de 2022 feita por pesquisadores da Universidade de Nottingham, The Golden Ratio in Nature (em inglês), reúne exemplos em escalas muito diferentes e descreve a "tendência de aparecer em muitos campos científicos e artísticos diferentes". Tendência é a palavra certa. Muitas plantas seguem outros padrões, então não se trata de uma lei da natureza.
A concha do náutilo é uma espiral áurea?
Normalmente não. O náutilo cresce em uma espiral logarítmica, que mantém a forma à medida que fica maior, e isso já é bonito por si só. As medições de conchas reais costumam dar uma razão de crescimento diferente de φ. Uma espiral áurea desenhada sobre a foto de um náutilo é uma imagem bonita, não uma medição.
A proporção áurea está mesmo na arte, nos prédios e nos rostos?
Na maioria das vezes, não. As afirmações de que o Partenon, pinturas famosas ou rostos atraentes seguem a proporção áurea não se sustentam quando as pessoas medem com cuidado. Em um artigo de 2022 no The Conversation (em inglês), o matemático Thomas Britz, da UNSW, explica que φ aparece muito raramente na arte e na arquitetura da Grécia antiga.
Exemplo
A afirmação mais conhecida sobre o Partenon é que a sua fachada cabe em um retângulo áureo. Britz escreve que cálculos cuidadosos mostram que isso é falso. O mesmo vale para os "testes de rosto da proporção áurea" que dão notas a celebridades. A máscara facial em que eles se baseiam já foi desmentida, e não existe um número único que decida se um rosto é bonito.
Um motivo comum para o mito sobreviver é escolher só os exemplos que confirmam a ideia. Quase todo prédio ou rosto tem algum par de medidas cuja razão fica perto de 1,6, principalmente se você puder escolher onde medir. Proporções como 3 ÷ 2 = 1,5 ou 16 ÷ 9 ≈ 1,78 também são agradáveis e muito mais comuns em telas e fotos. Um teste justo analisa muitos objetos e conta tanto os erros quanto os acertos.
Artistas e designers usam a proporção áurea de propósito?
Alguns usam. Designers às vezes usam 1,618 como ponto de partida para layouts, molduras ou tamanhos de fonte, porque dá uma divisão que não é nem igual demais nem desequilibrada demais. É uma escolha de design, não uma prova de que a proporção está escondida em tudo o que é bonito. Funciona como qualquer outra proporção harmoniosa.
A proporção áurea é matemática de verdade, não uma regra de beleza
A proporção áurea é um número preciso, (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618, com propriedades que fazem os matemáticos sorrir. Elevá-la ao quadrado soma 1, dividir 1 por ela subtrai 1, e os números de Fibonacci se aproximam cada vez mais dela. Ela dá forma às espirais de sementes de muitas plantas, enquanto a maioria das histórias sobre rostos e prédios famosos é medição feita com vontade de que dê certo.
Uma boa maneira de explorá-la com uma criança é colocar a mão na massa. Divida números de Fibonacci na calculadora, desenhe um retângulo áureo com compasso ou conte as espirais de uma pinha. Cada atividade mostra um padrão real, e nenhuma precisa de mitos para ser interessante.