Phi, o número com uma grande fama
Os matemáticos escrevem-no com a letra grega φ (fi), e tem fama de se esconder nos girassóis, em edifícios famosos e em rostos bonitos. Parte dessa fama é merecida, mas grande parte não é. Primeiro vem a matemática, depois a versão honesta de onde a proporção áurea aparece realmente.
Como se calcula o número de ouro?
O número de ouro calcula-se com a fórmula φ = (1 + √5) : 2. A raiz quadrada de 5 é aproximadamente 2,236, por isso somas 1, divides por 2 e obténs cerca de 1,618. As casas decimais nunca acabam e nunca se repetem, porque φ é um número irracional. Para quase todos os usos do dia a dia, 1,618 é suficientemente preciso.
Exemplo
Faz a conta na calculadora em três passos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Portanto, φ ≈ 1,618. Se precisares de mais precisão, φ = 1,6180339887 com dez casas decimais.
De onde vem a fórmula de φ?
Pega num segmento de reta e divide-o numa parte maior a e numa parte menor b. A divisão é áurea quando o segmento inteiro está para a parte maior como a parte maior está para a parte menor. Em símbolos, (a + b) : a = a : b. Esse valor comum é φ.
Agora faz com que a parte menor meça 1, de modo que a parte maior mede φ. A regra fica (φ + 1) : φ = φ. Multiplica os dois membros por φ e obténs φ² = φ + 1, ou seja, φ² − φ − 1 = 0. É uma equação do segundo grau, e a sua solução positiva é (1 + √5) : 2. A Britannica (em inglês) descreve a mesma transformação até chegar a x² − x − 1 = 0.
Porque é que 1,618, 0,618 e 2,618 são tão parecidos?
Como φ² = φ + 1, elevar φ ao quadrado é o mesmo que somar 1. Assim, φ² ≈ 2,618. Se dividires a mesma equação por φ, obténs φ = 1 + 1 : φ, o que significa que 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. É por isso que três números diferentes têm as mesmas casas decimais.
Porque é que o número de ouro é tão especial?
O número de ouro é especial porque φ é o único número positivo cujo quadrado é o próprio número mais um e cujo inverso é o próprio número menos um. Além disso, liga a geometria à contagem. O mesmo valor aparece quando divides um segmento de forma equilibrada, quando desenhas um pentágono regular e quando divides números de Fibonacci consecutivos.
Exemplo
Num pentágono regular de lado 1, cada diagonal (o segmento que une um vértice a outro não adjacente) mede exatamente φ, cerca de 1,618. É por isso que a estrela de cinco pontas desenhada dentro de um pentágono, o pentagrama, está cheia de proporções áureas. Cada ponta da estrela é cortada pelas outras linhas na proporção áurea.
A ideia é muito antiga. A Britannica fá-la remontar a Euclides, que nos seus Elementos lhe chamou divisão em "média e extrema razão".
O número de ouro é o mesmo que pi?
Não. Pi (π ≈ 3,14) é a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro, enquanto o número de ouro (φ ≈ 1,618) resulta da divisão de um segmento. Ambos são números irracionais com infinitas casas decimais, e provavelmente é por isso que se confundem. Têm valores diferentes e vêm de figuras diferentes.
O número de ouro e a sucessão de Fibonacci são a mesma coisa?
O número de ouro e a sucessão de Fibonacci não são a mesma coisa, mas estão muito ligados. A sucessão de Fibonacci é uma lista de números naturais em que cada número é a soma dos dois anteriores. Se dividires cada número de Fibonacci pelo anterior, os resultados aproximam-se cada vez mais do número de ouro.
Exemplo
Pega em números consecutivos da sucessão de Fibonacci e divide.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Os resultados ficam ora acima, ora abaixo de 1,618 e estabilizam depressa. Com 144 : 89, o resultado já coincide com φ em três casas decimais. É uma atividade muito gira para fazer com calculadora com as crianças, porque veem surgir um padrão a partir de simples divisões.
Descobrir a regra por trás de uma lista de números é uma competência que vai muito além de Fibonacci. No jogo de sequências numéricas, cada ataque é uma sequência à qual falta um número, e tens de descobrir a regra antes do teu adversário.
Na ronda da imagem, cada número é mais 5 do que o anterior, por isso o número que falta é 24.
Como se desenha um retângulo de ouro?
Num retângulo de ouro, o lado maior mede cerca de 1,618 vezes o lado menor. Para o desenhar, multiplica o lado menor por 1,618, ou divide o lado maior por 1,618 para encontrar o lado menor. Também o podes construir de forma exata com um compasso, a partir de um quadrado, sem medir nenhuma casa decimal.
Exemplo
Se o lado menor medir 10 cm, o lado maior mede 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se uma página tiver 1000 píxeis de largura e quiseres uma divisão áurea, divide por φ. Obténs uma coluna principal com cerca de 618 píxeis e uma coluna lateral com cerca de 382 píxeis.
Para o desenhar com compasso, segue estes passos.
- Desenha um quadrado de lado 1 (por exemplo, 1 decímetro).
- Marca o ponto médio do lado de baixo.
- Coloca a ponta seca do compasso nesse ponto médio e abre-o até ao vértice de cima do lado oposto. Essa distância é √5 : 2, cerca de 1,118.
- Roda o compasso até ao prolongamento do lado de baixo. O novo comprimento é 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa o retângulo. Os lados medem 1 e φ.
Se retirares o quadrado a um retângulo de ouro, o pedaço que sobra é outro retângulo de ouro. Repete o processo, desenha um quarto de circunferência em cada quadrado e obténs a espiral que aparece muitas vezes nas imagens do número de ouro. Este tipo de geometria também faz parte do jogo de geometria, onde figuras, ângulos e áreas se transformam em desafios rápidos.
Onde aparece o número de ouro na natureza?
O exemplo mais claro na natureza é a forma como muitas plantas dispõem as folhas e as sementes. Cada nova semente de um girassol cresce rodada mais ou menos o mesmo ângulo em relação à anterior, cerca de 137,5°. Este ângulo de ouro arruma as sementes muito juntas, sem espaços vazios, e produz espirais cujo número é muitas vezes um número de Fibonacci.
Exemplo
O ângulo de ouro resulta diretamente de φ. Divide uma volta completa por φ² e obténs 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Outra forma de o ver é que a rotação divide a circunferência em dois arcos, de cerca de 222,5° e 137,5°, na proporção áurea.
Uma revisão de 2022 feita por investigadores da Universidade de Nottingham, The Golden Ratio in Nature (em inglês), reúne exemplos em escalas muito diferentes e descreve a "tendência para aparecer em muitos campos científicos e artísticos diferentes". Tendência é a palavra certa. Muitas plantas seguem outros padrões, por isso não é uma lei da natureza.
A concha do náutilo é uma espiral de ouro?
Normalmente não. O náutilo cresce segundo uma espiral logarítmica, que mantém a forma à medida que aumenta, e isso já é bonito por si só. As medições de conchas reais costumam dar uma razão de crescimento diferente de φ. Uma espiral de ouro desenhada por cima da fotografia de um náutilo é uma imagem bonita, não uma medição.
O número de ouro está mesmo na arte, nos edifícios e nos rostos?
Quase nunca. As afirmações de que o Pártenon, quadros famosos ou rostos atraentes seguem o número de ouro não resistem quando se mede com cuidado. Num artigo de 2022 no The Conversation (em inglês), o matemático Thomas Britz, da UNSW, explica que φ aparece muito raramente na arte e na arquitetura da Grécia antiga.
Exemplo
A afirmação mais popular sobre o Pártenon é que a sua fachada cabe num retângulo de ouro. Britz escreve que cálculos cuidadosos mostram que isso é falso. O mesmo acontece com os "testes de beleza do número de ouro" que dão pontuações a celebridades. A máscara facial em que se baseiam foi desmentida, e não existe um número único que decida se um rosto é bonito.
Uma razão frequente para o mito sobreviver é escolher apenas os exemplos que dão jeito. Quase qualquer edifício ou rosto tem algum par de medidas cuja razão fica perto de 1,6, sobretudo se pudermos escolher onde medir. Proporções como 3 : 2 = 1,5 ou 16 : 9 ≈ 1,78 também são agradáveis e muito mais comuns em ecrãs e fotografias. Um teste justo analisa muitos objetos e conta tanto as falhas como os acertos.
Os artistas e designers usam o número de ouro de propósito?
Alguns, sim. Os designers às vezes usam 1,618 como ponto de partida para paginações, molduras ou tamanhos de letra, porque dá uma divisão nem demasiado igual nem demasiado desequilibrada. É uma escolha de design, não uma prova de que a proporção está escondida em tudo o que é belo. Funciona como qualquer outra proporção harmoniosa.
O número de ouro é matemática a sério, não uma regra de beleza
O número de ouro é um número preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, com propriedades que fazem sorrir os matemáticos. Elevá-lo ao quadrado soma 1, dividir 1 por ele subtrai 1, e os números de Fibonacci aproximam-se cada vez mais dele. Dá forma às espirais de sementes de muitas plantas, enquanto a maioria das histórias sobre rostos e edifícios famosos são medições feitas com vontade de que dê certo.
Uma boa maneira de o explorar com uma criança é pôr mãos à obra. Dividam números de Fibonacci na calculadora, desenhem um retângulo de ouro com compasso ou contem as espirais de uma pinha. Cada atividade mostra um padrão real, e nenhuma precisa de mitos para ser interessante.