Desafios matemáticos e enigmas para crianças, com soluções

Aqui não vai encontrar adivinhas que dependam de trocadilhos. Os desafios estão agrupados por idades, mais ou menos dos 5 aos 14 anos, e as soluções aparecem no fim de cada grupo, com o raciocínio, para que as possa explicar e não apenas confirmar. Depois dos desafios há algumas rotinas de sala de aula que funcionam bem.

Que desafios matemáticos são bons dos 5 aos 7 anos?

Dos 5 aos 7 anos, os melhores desafios matemáticos usam números pequenos e coisas que as crianças conseguem imaginar ou pegar, como pássaros, patas ou morangos. Deixe-as usar fichas, os dedos ou um desenho rápido. Nesta idade, o importante é reparar num padrão e explicá-lo, não chegar depressa à resposta.

Leia cada desafio em voz alta. Se uma criança der uma resposta errada, pergunte-lhe como lá chegou antes de dizer alguma coisa. Muitas vezes é ela própria que descobre o engano.

1. Qual é o número seguinte? 2, 4, 6, ?, 10
2. Estão 5 pássaros numa vedação. Voam 2 e pousam mais 3. Quantos pássaros estão agora na vedação?
3. Quantas patas têm, ao todo, 2 cães e 3 pássaros?
4. Divide 12 morangos de forma justa por 3 amigos. Quantos recebe cada um?
5. Qual é o número seguinte? 1, 1, 2, 2, 3, 3, ?
6. Estou a pensar num número. Se lhe somares 3, dá 10. Qual é o meu número?

Soluções dos 5 aos 7 anos

1. 8, porque os números vão aumentando de 2 em 2.
2. 1. Depois de voarem 2 ficam 3, e com mais 3 são 6.
3. 1. Dois cães têm 8 patas e três pássaros têm 6, e 8 + 6 = 14.
4. 4 cada um. Distribui os morangos um a um, como quem dá cartas, e cada amigo fica com 4.
5. 1. Cada número aparece duas vezes antes de começar o seguinte.
6. 1. Conta pelos dedos do 7 até ao 10 e verás que somaste exatamente 3.

Que desafios matemáticos são indicados dos 8 aos 10 anos?

Dos 8 aos 10 anos, as crianças já estão prontas para desafios com mais do que um passo, em que um primeiro palpite pode ser testado e melhorado. Quadrados mágicos, sequências numéricas e sinais em falta são uma boa escolha. Com eles treinam adições, subtrações e tabuada, mas as crianças tendem a vê-los como um desafio e não como um exercício.

1. Quadrado mágico. Coloca os números de 1 a 9 numa grelha de 3 × 3 de forma que cada linha, cada coluna e as duas diagonais somem 15. O 5 fica no meio.
2. Qual é o número seguinte? 1, 4, 9, 16, ?, 36
3. Qual é o número seguinte? 1, 1, 2, 3, 5, 8, ?
4. Escreve os sinais que faltam. Podes usar +, −, × e :. 6 ? 3 ? 2 = 4
5. Numa quinta há galinhas e vacas. Ao todo têm 10 cabeças e 28 patas. Quantas vacas há?
6. Um livro e uma caneta custam 110 moedas no total. O livro custa mais 100 moedas do que a caneta. Quanto custa a caneta?

Soluções dos 8 aos 10 anos

1. Uma solução tem as linhas 2, 7, 6, depois 9, 5, 1 e depois 4, 3, 8. Qualquer rotação ou reflexo deste quadrado também serve. Se uma criança encravar, diga-lhe que os números pares ficam nos cantos.
2. 1. São números quadrados, 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 e assim por diante, por isso o que falta é 5 × 5.
3. 13, porque cada número é a soma dos dois anteriores. As crianças que gostarem deste vão gostar da sequência de Fibonacci, que aparece nos girassóis e nas pinhas.
4. Há duas respostas, 6 : 3 + 2 = 4 e 6 : 3 × 2 = 4. Descobrir a segunda é um bom extra para quem acaba mais cedo.
5. 4 vacas. Se os 10 animais fossem todos galinhas, contavas 20 patas. As 8 patas a mais são das vacas, e cada vaca tem mais 2 patas do que uma galinha, por isso há 4 vacas e 6 galinhas.
6. 5 moedas. Quase toda a gente diz 10 primeiro. Mas então o livro custava 110 e os dois juntos 120, o que é demasiado. Uma caneta de 5 e um livro de 105 dão 110, com uma diferença de 100.

O quadrado mágico é antigo. Uma lenda chinesa conta que uma tartaruga saiu do rio Luo com este mesmo padrão na carapaça. Na China, o quadrado ainda é conhecido como Lo Shu.

Que desafios matemáticos puxam pelos alunos dos 11 aos 14 anos?

Dos 11 aos 14 anos, os desafios podem ter muitas respostas certas ou premiar um atalho engenhoso em vez de contas compridas. Os quatro quatros, os problemas dos apertos de mão e os padrões em números grandes funcionam bem. Os alunos têm de testar ideias, procurar a estrutura e explicar o método, e numa turma heterogénea todos podem trabalhar o mesmo desafio a níveis muito diferentes.

1. Os quatro quatros. Usa exatamente quatro 4 e qualquer um dos sinais +, −, × e :, com parênteses, para obter todos os números de 1 a 10. Também podes juntar dois 4 para formar 44.
2. Dez pessoas encontram-se e cada uma aperta a mão uma vez a cada uma das outras. Quantos apertos de mão há?
3. Soma todos os números inteiros de 1 a 100. Consegues fazê-lo sem os somar um a um?
4. Três números seguidos, como 4, 5 e 6, somam 48. Que números são?
5. Qual é o último algarismo de 2 multiplicado por si próprio 20 vezes?

Soluções dos 11 aos 14 anos

1. Aqui fica uma série possível. Há muitas outras, e compará-las é metade da graça.
   • 1 = 44 : 44
   • 2 = 4 : 4 + 4 : 4
   • 3 = (4 + 4 + 4) : 4
   • 4 = 4 × (4 − 4) + 4
   • 5 = (4 × 4 + 4) : 4
   • 6 = 4 + (4 + 4) : 4
   • 7 = 44 : 4 − 4
   • 8 = 4 + 4 + 4 − 4
   • 9 = 4 + 4 + 4 : 4
   • 10 = (44 − 4) : 4
2. 1. Cada uma das 10 pessoas dá 9 apertos de mão, o que dá 10 × 9 = 90. Mas assim cada aperto de mão é contado duas vezes, uma de cada lado, por isso a resposta é 90 : 2 = 45.
3. 1. Junta os números aos pares, de fora para dentro. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, e assim por diante. Isso dá 50 pares, e 50 × 101 = 5050.
4. 15, 16 e 17. Três números seguidos somam sempre 3 vezes o do meio, por isso o do meio é 48 : 3 = 16.
5. 1. Os últimos algarismos de 2, 4, 8, 16, 32 e assim por diante repetem-se num ciclo de quatro, 2, 4, 8, 6. Como 20 é múltiplo de 4, o último algarismo é 6. O número completo é 1 048 576.

Os quatro quatros andam por aí há bem mais de cem anos e continuam a resultar porque ninguém fica encravado logo no início. Quase toda a gente descobre o 1 e o 2 depressa. As discussões começam no 7 e no 9.

Como usar desafios matemáticos na sala de aula?

Os desafios resultam melhor como uma rotina curta que volta todas as semanas do que como um prémio para a última aula antes das férias. Um aquecimento de cinco minutos, um desafio da semana afixado na parede ou uma caixa de desafios para quem acaba mais cedo são fáceis de pôr em prática. Deixe os alunos pensar primeiro sozinhos e depois comparar ideias com um colega.

A professora Donna Paul descreve rotinas como estas num artigo da Edutopia sobre desafios de lógica nas aulas de matemática. Os alunos dela trabalhavam sozinhos no primeiro minuto e depois partilhavam o raciocínio com um colega. Tinha também um desafio da semana num pequeno quadro, para que os alunos pudessem escolher se lhe pegavam.

Algumas dicas práticas de professores fazem uma grande diferença.

• Use um temporizador visível nos aquecimentos, para que o desafio não ocupe a aula toda.
• Quem acaba mais cedo costuma querer outro tipo de trabalho, não mais do mesmo. Uma caixa de desafios dá-lhes isso.
• Termine com dois ou três alunos a explicar métodos diferentes. É nessa conversa curta que se aprende mais.

As sequências numéricas dão um aquecimento rápido, porque basta uma linha de números no quadro para começar uma discussão. Para continuar, algumas rondas do jogo das sequências numéricas pedem aos alunos que encontrem o número que falta num padrão, como a ronda 30, 40, ?, 60, 70 da imagem abaixo. Os professores podem usá-lo com a turma toda através do Math Max para escolas e não passar dos mesmos cinco minutos.

Algumas escolas querem todas as atividades ligadas ao programa, e é fácil associar os desafios por tema. As sequências trabalham os padrões, o problema da quinta trabalha a multiplicação e os quatro quatros são uma forma disfarçada de treinar a prioridade das operações.

Deve dar a resposta quando a criança fica encravada?

Dê primeiro uma pista, não a resposta. Uma boa pista aponta para um primeiro passo, como desenhar o problema ou experimentar com números mais pequenos. Se duas ou três pistas não chegarem, resolvam juntos a solução passo a passo e, uns dias depois, dê-lhe um desafio parecido para que a criança experimente a ideia sozinha.

Uma escada simples de pistas funciona para a maioria dos desafios.

1. Pergunte o que já experimentou até agora.
2. Sugira uma estratégia, como fazer um desenho, tentar e verificar ou experimentar com números mais pequenos.
3. Dê uma parte da resposta, por exemplo «o 5 fica no meio».
4. Resolvam juntos e depois dê-lhe um desafio parecido.

Os professores não estão todos de acordo sobre quanto tempo as crianças devem lutar sozinhas com um problema. Uma luta longa sem qualquer orientação tende a acabar em frustração, ou em crianças convencidas de uma resposta errada. Um esforço curto, depois pistas e por fim uma discussão em turma evitam as duas coisas.

Os desafios matemáticos ajudam as crianças a aprender matemática?

Os desafios dão às crianças prática numa coisa que as fichas raramente pedem. Têm de escolher um método, testá-lo e explicá-lo. Os bons desafios deixam qualquer criança começar e ainda assim são um desafio a sério. Os professores chamam a estas tarefas de chão baixo e teto alto, e adaptam-se muito bem a turmas heterogéneas.

As provas são encorajadoras, mas modestas. O guia da Education Endowment Foundation para melhorar a matemática dos 7 aos 14 anos recomenda ensinar estratégias de resolução de problemas, mas nota que os resultados da investigação variam. Por isso, encare os desafios como um bom hábito entre outros, não como uma solução mágica.

Um teste simples ajuda a escolher um desafio. Se ninguém na turma o consegue começar, é demasiado difícil. Se ninguém fica encravado, é demasiado fácil.

O melhor desafio é aquele que todas as crianças conseguem começar e onde mesmo assim encravam

Escolha desafios que todas as crianças consigam começar e guarde os mais difíceis para mais tarde. Reserve tempo para as crianças explicarem como os resolveram, porque ouvir dois métodos ensina mais do que uma única resposta certa. Mantenha um ambiente leve, para que ficar encravado pareça parte do jogo.