Как найти площадь круга?
Чтобы найти площадь круга, возведите в квадрат радиус, то есть расстояние от центра до окружности, и умножьте результат на π, примерно 3,14. Записывайте ответ в квадратных единицах, например в см² или м², потому что площадь измеряет поверхность, а не длину.
Пример
Найдите площадь круга с радиусом 5 см.
- Возведите радиус в квадрат. 5 · 5 = 25
- Умножьте на π. 25 · π ≈ 78,54
- Добавьте квадратные единицы. Площадь примерно равна 78,54 см²
Ответ можно оставить и в виде 25π см². Такая точная запись часто встречается в старших классах, потому что позволяет обойтись без округления.
Использовать 3,14 или кнопку π?
Подходит и то и другое, если вы делаете так, как просит учитель или условие задачи. Число π иррациональное, поэтому его десятичные знаки никогда не заканчиваются и не повторяются, как объясняет Britannica. С 3,14 получается 25 · 3,14 = 78,5 см², а с кнопкой π выходит 78,54 см². Небольшая разница возникает только из-за округления π.
Частые ошибки в формуле
Самая частая ошибка состоит в том, чтобы умножить радиус на 2, вместо того чтобы возвести его в квадрат. При радиусе 5 см получается 5 · 2 = 10, но 5² = 25. Ещё одна ошибка в том, чтобы сначала умножить π на радиус, а потом возвести в квадрат весь результат. Порядок действий говорит, что степень вычисляется первой, поэтому возведите радиус в квадрат, прежде чем умножать на π.
Как найти площадь круга через диаметр?
Чтобы найти площадь через диаметр, разделите диаметр пополам, чтобы получить радиус, а затем используйте A = πr². Диаметр проходит через весь круг и его центр, поэтому он в два раза больше радиуса. Одной формулой это A = πd² : 4, и ответ получается точно такой же.
Пример
Диаметр круга 10 см. Разделите его пополам и получите радиус 5 см. Тогда 5² · π = 25π ≈ 78,54 см².
По формуле в один шаг 10² = 100, затем 100 · π : 4 = 25π ≈ 78,54 см². Оба способа дают один ответ.
Очень частая ошибка состоит в том, чтобы подставить диаметр прямо в πr². Для 10 см это даёт 100π ≈ 314,16 см², что в четыре раза больше нужного. Если ответ кажется неожиданно большим, проверьте, не взяли ли вы случайно диаметр.
Как найти площадь круга через длину окружности?
Чтобы найти площадь через длину окружности, сначала найдите радиус, разделив длину окружности на 2π. Затем используйте A = πr². Длина окружности показывает расстояние вокруг круга и равна 2πr. Если удобнее одним шагом, формула такая: A = C² : (4π), где C обозначает длину окружности.
Пример
Длина окружности круглой клумбы 30 м. Найдите её площадь.
- Найдите радиус. 30 : (2 · π) ≈ 4,77 м
- Найдите площадь. Оставьте в калькуляторе полное значение радиуса. π · 4,7746² ≈ 71,6 м²
- Проверьте по формуле в один шаг. 30² : (4 · π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 м²
Если сначала округлить радиус до 4,77, получится π · 4,77² ≈ 71,5 м². Из-за такой небольшой разницы лучше округлять только в самом конце.
Почему площадь круга равна πr²?
Разрежьте круг на много одинаковых секторов, как пиццу, и выложите их в ряд, поочерёдно остриём вверх и вниз. Секторы образуют фигуру, которая почти совпадает с прямоугольником. Её высота равна радиусу r, а длина равна половине длины окружности, πr. Значит, её площадь равна πr · r, то есть πr².
Пример
Представьте круг с радиусом 5 см, разрезанный на 16 секторов. Половина секторов смотрит вверх, половина вниз. Ряд такой же длины, как половина длины окружности, π · 5 ≈ 15,7 см, и такой же высоты, как радиус, 5 см. Значит, площадь примерно равна 15,7 · 5 ≈ 78,5 см², как и по формуле.
При 16 секторах края ещё немного волнистые. При 100 или 1000 секторах фигура всё ближе к идеальному прямоугольнику. В этом и состоит идея формулы, и такую картинку запомнить гораздо легче, чем одну формулу.
Греческий математик Архимед занимался этой задачей более 2000 лет назад. Britannica рассказывает, как он доказал, что площадь круга, делённая на квадрат радиуса, всегда равна одному и тому же числу, и как с помощью многоугольников, вписанных в окружность и описанных около неё, показал, что π лежит между 223/71 и 22/7.
Быстрый способ проверить ответ
Круг точно вписывается в квадрат, сторона которого равна диаметру. Площадь этого квадрата 2r · 2r = 4r². Круг занимает чуть больше трёх четвертей квадрата, около 78,5%, потому что π : 4 ≈ 0,785. Поэтому если круг с радиусом 5 см лежит в квадрате со стороной 10 см и площадью 100 см², его площадь должна быть чуть меньше 80 см². Она равна 78,54 см².
Формула лучше всего запоминается, когда ею часто пользуются с разными числами. В игре по геометрии каждая атака в бою является вопросом о фигуре, поэтому умение быстро вспомнить πr² становится частью победы в раунде. В игре π считается равным 3, поэтому каждый ответ получается целым числом, которое можно найти в уме. Короткие и частые раунды работают лучше, чем одно длинное занятие.
Как найти радиус, если известна площадь?
Чтобы найти радиус по площади, пройдите формулу в обратном порядке. Разделите площадь на π, а затем извлеките квадратный корень из результата. В виде формулы это r = √(A : π). Если нужен диаметр, удвойте радиус.
Пример
Площадь круга 50 см². Разделите на π. 50 : π ≈ 15,92. Затем извлеките квадратный корень. √15,92 ≈ 3,99, значит, радиус примерно 3,99 см, а диаметр примерно 7,98 см.
Для проверки подставьте радиус обратно в формулу. π · 3,99² ≈ 50,0 см². Если с квадратными корнями вы давно не работали, несколько раундов квадратных корней заметно ускорят этот шаг.
Одна большая пицца больше двух маленьких?
Часто да. Радиус возводится в квадрат, поэтому если увеличить диаметр круга в два раза, его площадь станет в четыре раза больше. Пицца диаметром 30 см имеет площадь около 707 см². Две пиццы диаметром 20 см вместе дают около 628 см², так что одна большая пицца больше.
Пример
У пиццы 30 см радиус 15 см, поэтому площадь равна π · 15² ≈ 706,9 см². У одной пиццы 20 см радиус 10 см, поэтому площадь равна π · 10² ≈ 314,2 см². Две такие пиццы дают около 628,3 см², примерно на 79 см² меньше, чем одна большая.
Такое сравнение помогает показать детям, почему возведение в квадрат так важно. Круг, который лишь немного шире, занимает гораздо больше места.
Чему равна площадь полукруга?
Полукруг составляет половину круга, поэтому его площадь равна половине πr², то есть πr² : 2. Для полукруга с радиусом 5 см площадь равна 25π : 2 ≈ 39,27 см². Не забудьте взять радиус, а не длину прямой стороны, ведь это диаметр.
Сначала найдите радиус, а остальное получится
Почти любая задача на площадь круга становится простой, когда известен радиус. Этот список поможет выбрать правильный первый шаг.
- Известен радиус r: A = πr²
- Известен диаметр d: r = d : 2 или A = πd² : 4
- Известна длина окружности C: r = C : (2π) или A = C² : (4π)
- Известна площадь, нужен радиус: r = √(A : π)
- Полукруг: A = πr² : 2
В конце запишите единицы как квадратные и с помощью проверки через квадрат убедитесь, что ответ примерно нужного размера.
Потренируй дальше это