Как найти длину окружности по радиусу или диаметру?
Чтобы найти длину окружности, умножьте диаметр на π, примерно 3,14, то есть C = πd. Диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр. Если известен только радиус, то есть расстояние от центра до края, сначала удвойте его или воспользуйтесь формулой C = 2πr. Оба способа дают одну и ту же длину.
Пример
Найдите длину окружности радиусом 4 см.
- Удвойте радиус, чтобы получить диаметр. 2 · 4 = 8 см
- Умножьте на π. 8 · π ≈ 25,13
- Допишите единицы. Длина окружности примерно 25,13 см
Ответ можно оставить и в виде 8π см. Такая точная запись обычна в старших классах, потому что в ней нет округления.
Если известен диаметр, хватит одного действия. У круглого стола диаметром 1,2 м длина края равна 1,2 · π ≈ 3,77 м, поэтому кромочная лента для него должна быть чуть короче 4 м.
Брать 3,14 или кнопку π?
Подойдёт и то и другое, если следовать условию задачи. Число π иррациональное, поэтому его десятичные знаки никогда не заканчиваются и не повторяются, а Britannica отмечает, что в быту обычно используют приближения 3,14 или 22/7. С 3,14 первый пример даёт 8 · 3,14 = 25,12 см. С кнопкой π на калькуляторе получается 25,13 см. Небольшая разница возникает только из-за округления π.
Самая частая ошибка
Больше всего баллов на контрольных теряют, когда подставляют диаметр в формулу C = 2πr. При диаметре 10 см получится 2 · π · 10 ≈ 62,83 см, то есть вдвое больше, чем нужно. Правильный ответ: 10 · π ≈ 31,42 см. Если дан диаметр, используйте πd. Если дан радиус, используйте 2πr.
Почему длина окружности равна π, умноженному на диаметр?
Число π по определению равно отношению длины окружности к её диаметру. Все окружности, от края монеты до экватора планеты, имеют одинаковую форму, поэтому это отношение никогда не меняется. Вот почему формула C = πd верна для любой окружности. Прокатите круг по прямой на один полный оборот, и он пройдёт чуть больше трёх диаметров.
Пример
Представьте монету диаметром 2 см. Отметьте точку на её краю и прокатите монету вдоль линейки ровно на один оборот. Отметка снова коснётся линейки примерно на 6,28 см, потому что 2 · π ≈ 6,28. Три диаметра дают 6 см, а небольшой лишний отрезок и есть те 0,28 см, которые превращают 3 в 3,14.
Это можно проверить дома с круглой банкой, ниткой и линейкой или с любым круглым предметом и сантиметровой лентой. Измерьте длину окружности и диаметр, затем разделите одно на другое. Результат всегда близок к 3,14, а небольшие погрешности возникают из-за измерения вручную.
Греческую букву π впервые использовал для этого отношения Уильям Джонс в 1706 году, как пишет Britannica. В той же статье описано, как Архимед зажал π между 223/71 и 22/7, рисуя многоугольники внутри и снаружи окружности.
Как найти диаметр или радиус по длине окружности?
Чтобы найти диаметр по длине окружности, разделите её на π, то есть d = C : π. Чтобы найти радиус, разделите на 2π, то есть r = C : (2π). Это работает, потому что вы просто применяете формулу длины окружности в обратную сторону. Измерьте длину по кругу, и вы узнаете размер поперёк.
Пример
Обхват ствола дерева 150 см. Его диаметр равен 150 : π ≈ 47,75 см, а радиус вдвое меньше, примерно 23,87 см.
Это удобный приём для всего, что нельзя измерить поперёк, например для дерева, колонны или трубы. Сантиметровая лента вокруг и одно деление дают диаметр.
Как найти длину окружности по площади круга?
Чтобы найти длину окружности по площади круга, сначала найдите радиус. Разделите площадь на π и извлеките квадратный корень, то есть r = √(A : π). Затем используйте C = 2πr. Держите полный радиус в калькуляторе и округляйте только в конце, чтобы мелкие ошибки округления не накапливались.
Пример
Площадь круга 100 см².
- Найдите радиус. 100 : π ≈ 31,83, и √31,83 ≈ 5,64 см
- Найдите длину окружности. 2 · π · 5,642 ≈ 35,45 см
Есть и формула в одно действие, C = 2√(πA). Для 100 см² она даёт 2 · √(π · 100) ≈ 35,45 см, тот же ответ. Если квадратные корни даются медленно, несколько раундов с квадратными корнями заметно ускорят этот шаг.
Какое расстояние проходит колесо за один оборот?
За каждый полный оборот колесо проходит одну длину окружности, если катится без проскальзывания. Значит, путь за один оборот равен π, умноженному на диаметр колеса. Велосипедное колесо диаметром 70 см проходит примерно 2,2 м за оборот, а за 1000 оборотов около 2,2 км.
Пример
Для колеса 70 см один оборот составляет 70 · π ≈ 219,9 см, или примерно 2,2 м. Чтобы проехать 1 км, то есть 100 000 см, колесо сделает 100 000 : 219,9 ≈ 455 оборотов.
Именно так многие велокомпьютеры и шагомеры оценивают расстояние. Они считают обороты или шаги и умножают на известную длину. Это ещё и хороший способ показать детям, что π не просто школьное число.
Формула запоминается лучше всего, когда вы часто ею пользуетесь, с разными числами. В игре по геометрии каждая атака в бою является вопросом о фигуре, поэтому умение быстро вспомнить C = πd помогает выиграть раунд. В игре π считается равным 3, поэтому каждый ответ получается целым числом, которое можно найти в уме. Короткие частые раунды работают лучше, чем одно долгое занятие.
Чему равен периметр полукруга?
Периметр полукруга равен половине длины окружности плюс прямая сторона, то есть P = πr + 2r. Частая ошибка состоит в том, чтобы остановиться на πr и забыть про диаметр внизу. При радиусе 5 см дуга равна 5π ≈ 15,71 см, а вместе с 10 см получается примерно 25,71 см.
Как длина окружности связана с единичной окружностью?
Радиус единичной окружности равен 1, поэтому её длина ровно 2π. Вот почему в тригонометрии полный оборот составляет 2π радиан. Единичная окружность использует эту идею, чтобы измерять углы как расстояния вдоль края.
Зная радиус или диаметр, вы найдёте длину окружности
Почти любая задача на длину окружности сводится к одному умножению, если известен радиус или диаметр. Этот список поможет выбрать нужный шаг.
- Дан радиус r: C = 2πr
- Дан диаметр d: C = πd
- Дана длина окружности, нужен диаметр: d = C : π
- Дана длина окружности, нужен радиус: r = C : (2π)
- Дана площадь круга A: r = √(A : π), затем C = 2πr
- Полукруг: P = πr + 2r
Ответ всегда выражает длину, поэтому записывайте его в см, м или других единицах длины, но никогда в квадратных единицах.
Потренируй дальше это