Числа Фибоначчи: что это за последовательность и где она встречается в природе

Как построить последовательность Фибоначчи?

Чтобы построить последовательность Фибоначчи, запишите 0 и 1, затем сложите два последних числа, чтобы получить следующее, и повторяйте этот шаг снова и снова. Каждое новое число зависит только от двух предыдущих, поэтому последовательность может продолжаться бесконечно. Числа, которые вы так записываете, называются числами Фибоначчи.

Пример

Постройте последовательность шаг за шагом. Начните с 0 и 1.

1. 0 + 1 = 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 3 = 5
5. 3 + 5 = 8
6. 5 + 8 = 13
7. 8 + 13 = 21

Для каждого нового числа нужны только два последних. Поэтому это хорошее упражнение на устное сложение для детей: числа растут быстро, а правило никогда не меняется. Правило настолько простое, что его поймёт маленький ребёнок, и всё же те же числа встречаются в подсолнухах, шишках и золотом сечении.

Последовательность начинается с 0 или с 1?

Оба варианта встречаются часто. Во многих книгах последовательность начинается с 0, 1, 1, 2, 3, а в других с 1, 1, 2, 3. Дальше числа в обоих случаях одинаковые. Математики обычно записывают правило так: Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, где F₀ = 0 и F₁ = 1. Это означает «каждый член равен сумме двух предыдущих».

Скрытые закономерности в последовательности

В последовательности есть небольшие закономерности, которые дети любят находить. Каждое третье число чётное (0, 2, 8, 34, 144, 610), а все остальные нечётные. Каждое пятое число делится на 5 (0, 5, 55, 610). Попросите ребёнка проверить эти закономерности дальше по списку. Это весёлый способ потренировать сложение и одновременно увидеть структуру.

Откуда взялась последовательность Фибоначчи?

Последовательность названа в честь итальянского математика Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи. Он описал её в своей книге Liber abaci, написанной в 1202 году, с помощью задачи про кроликов. По данным Британники, это первая известная в Европе рекуррентная числовая последовательность, то есть каждый её член строится из предыдущих.

Пример

Задача про кроликов устроена так. В начале есть одна пара новорождённых кроликов. Паре нужен один месяц, чтобы повзрослеть, а потом каждая взрослая пара каждый месяц приносит одну новую пару. Ни один кролик никуда не девается. Посчитайте пары в начале каждого месяца.

• Месяц 1: 1 пара (новорождённая)
• Месяц 2: 1 пара (уже взрослая)
• Месяц 3: 2 пары (взрослые и их первые крольчата)
• Месяц 4: 3 пары
• Месяц 5: 5 пар
• Месяц 6: 8 пар

Итог каждого месяца равен итогу прошлого месяца плюс число взрослых пар, а взрослых пар ровно столько, сколько было всего два месяца назад. Это и есть правило Фибоначчи. Конечно, настоящие кролики ведут себя не так аккуратно. Задача была способом описать закономерность, а не исследованием животных.

Как найти следующее число в последовательности Фибоначчи?

Чтобы найти следующее число Фибоначчи, сложите два последних числа списка. После 21 и 34 идёт 21 + 34 = 55, а после 34 и 55 идёт 89. Чтобы найти число далеко в последовательности, продолжайте список или воспользуйтесь формулой Бине, которая вычисляет любой член сразу через золотое сечение.

Пример

Найдите 10-е число Фибоначчи, считая началом F₀ = 0. Если выписать список, получится 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, значит, F₁₀ = 55.

Формула Бине даёт тот же ответ без списка. Возведите золотое сечение φ (примерно 1,618) в 10-ю степень и разделите на √5. Получится примерно 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, а после округления до ближайшего целого числа получается 55. Для старшеклассников это приятный сюрприз: число, построенное из квадратных корней, каждый раз оказывается так близко к целому.

Умение видеть правило за рядом чисел пригодится далеко не только для Фибоначчи. Игра на числовые последовательности превращает его в бой: каждая атака здесь в виде последовательности, и нужно найти пропущенное число. Это быстрый способ научиться замечать закономерности вроде «сложи два последних», ничего не записывая.

Как связаны числа Фибоначчи и золотое сечение?

Если разделить каждое число Фибоначчи на предыдущее, ответы будут всё ближе к золотому сечению, то есть примерно к 1,618. Например, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625, а 89 : 55 ≈ 1,618. Само золотое сечение равно (1 + √5) : 2. У этого числа десятичные знаки никогда не заканчиваются и не повторяются.

Пример

Посмотрите, как отношения стабилизируются по мере роста чисел.

• 3 : 2 = 1,5
• 5 : 3 ≈ 1,667
• 8 : 5 = 1,6
• 13 : 8 = 1,625
• 21 : 13 ≈ 1,615
• 34 : 21 ≈ 1,619
• 55 : 34 ≈ 1,618

Ответы оказываются то выше, то ниже 1,618 и с каждым разом подходят ближе. Британника отмечает, что эту связь описал математик Роберт Симсон в 1753 году.

Что такое спираль Фибоначчи?

Нарисуйте квадрат со стороной 1, рядом ещё один квадрат со стороной 1, затем квадрат со стороной 2, потом 3, 5 и 8, приставляя каждый к уже получившемуся прямоугольнику. Соедините противоположные углы каждого квадрата четвертью окружности, и получится спираль Фибоначчи. Она очень близка к золотой спирали, которая с каждой четвертью оборота растёт в золотое сечение раз.

Где в природе встречается последовательность Фибоначчи?

Числа Фибоначчи часто встречаются у растений. Семена подсолнуха образуют два набора спиралей, и число спиралей в каждую сторону обычно равно двум соседним числам Фибоначчи, например 34 и 55 или 55 и 89. Похожие спирали есть у шишек, а у многих цветов 3, 5, 8, 13 или 21 лепесток.

Пример

Возьмите шишку или фотографию подсолнуха и посчитайте спирали, закрученные по часовой стрелке. Потом посчитайте спирали, закрученные в другую сторону. На страницах доктора Рона Нотта о Фибоначчи в природе из Суррейского университета показаны подсолнухи с 55 спиралями в одну сторону и 34 в другую, а также более крупные с 89 и 55.

Там же перечислены цветы по числу лепестков, например дельфиниум с 8, крестовник и некоторые ромашки с 13 и астры с 21. Считать вместе очень приятно, и такое занятие показывает детям, что числа описывают настоящие вещи вокруг.

Почему растения растут по спиралям Фибоначчи?

Многие растения располагают каждое новое семя или лист под примерно одним и тем же углом поворота относительно предыдущего, около 137,5°. Этот угол, связанный с золотым сечением, позволяет плотно уложить семена без пустых промежутков, а спирали, которые можно посчитать, появляются как побочный эффект этого равномерного поворота. Вторая часть руководства Рона Нотта показывает, почему этот угол так хорошо работает.

Правда ли последовательность Фибоначчи есть в природе повсюду?

Нет. Числа Фибоначчи часто встречаются у растений, но это не закон природы. На страницах Рона Нотта из Суррея подчёркивается, что числа Фибоначчи не всегда находятся в лепестках или соцветиях, а у некоторых цветов, например у фуксий, 4 лепестка. Многие утверждения в интернете, особенно о раковинах, лицах и знаменитых зданиях, сильно преувеличивают то, что показывают факты.

Пример

Раковину наутилуса часто показывают с нарисованной поверх золотой спиралью. Раковина действительно растёт по логарифмической спирали, то есть по кривой, которая сохраняет форму при увеличении. Но на страницах Нотта сказано, что её коэффициент роста меняется и может не совпадать с золотым сечением, и называть её золотой спиралью неверно. Так что наутилус красивая спираль, но не доказательство Фибоначчи.

Это полезный урок и для детей постарше. Закономерность, которая встречается часто, заслуживает внимания, но честный вопрос всегда звучит так: «как часто и насколько точно?». Посчитать спирали на настоящей шишке гораздо надёжнее, чем верить любой картинке из интернета.

Два начальных числа и одно правило строят всю последовательность

Каждое число Фибоначчи получается одним и тем же шагом, сложением двух предыдущих чисел. Вот первые 21 член, начиная с F₀ = 0, чтобы вы могли проверить свой список.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
• 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
• 1 597, 2 584, 4 181, 6 765

Если ребёнок сбился, вернитесь к двум последним числам, в которых он уверен, и сложите их снова. Правило никогда не меняется, поэтому ошибку всегда легко исправить.