Если вам кажется, что это неправда, вы в хорошей компании. Тысячи людей, среди них и кандидаты наук, сначала отказывались в это верить. Ниже сама задача, а за ней несколько разных способов понять, почему менять выбор выгодно. Какой-нибудь из них наверняка всё расставит по местам.
В чём суть парадокса Монти Холла?
Вы участник телеигры, перед вами три закрытые двери. За одной стоит автомобиль, за двумя другими козы. Вы выбираете дверь. Ведущий, который знает, где машина, открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает козу. Потом он спрашивает, останетесь ли вы при своей двери или смените её на последнюю закрытую.
Большинство пожимает плечами и говорит, что разницы нет. Осталось две двери, значит, шансы 50 на 50. Это не так. Если сменить дверь, машина достаётся в 2 случаях из 3.
Задача названа в честь Монти Холла, ведущего телеигры Let's Make a Deal. Знаменитый ответ держится на трёх правилах.
- Ведущий всегда открывает дверь, которую вы не выбрали.
- Ведущий всегда показывает козу и никогда машину.
- Ведущий всегда предлагает вам сменить дверь.
Почему смена двери выигрывает в 2 случаях из 3?
Ваш первый выбор ошибочен в 2 случаях из 3. Каждый раз, когда он ошибочен, у ведущего нет выбора. Он должен открыть другую дверь с козой, и тогда машина остаётся за той дверью, на которую можно перейти. Значит, смена выигрывает всякий раз, когда первая догадка была неверной, и проигрывает только тогда, когда вы сразу угадали машину.
Пример
Допустим, вы всегда выбираете дверь 1. Машина может быть только в трёх местах, и все они равновероятны.
- Машина за дверью 1. Ведущий открывает дверь 2 или дверь 3. Если остаться, вы выигрываете. Если сменить, проигрываете.
- Машина за дверью 2. Ведущий должен открыть дверь 3. Если остаться, вы проигрываете. Если сменить, выигрываете.
- Машина за дверью 3. Ведущий должен открыть дверь 2. Если остаться, вы проигрываете. Если сменить, выигрываете.
Посчитайте. Оставаясь, вы выигрываете один раз, меняя дверь, дважды. С какой бы двери вы ни начали, всё работает так же.
Можно представить это и по-другому. У вашей двери сначала шанс 1 из 3, а две другие двери делят оставшиеся 2 из 3. Когда ведущий открывает одну из них, машина никуда не перемещается. Он лишь показывает, какая из этих двух дверей теперь держит все 2 из 3.
Почему при двух оставшихся дверях это не 50 на 50?
Потому что ведущий открывает дверь не наугад. Он знает, где машина, и всегда её обходит, так что дверь, которую он оставляет закрытой, выбрана с этим знанием. Вашу дверь вы выбрали вслепую, и у неё остаётся шанс 1 из 3. Другой закрытой двери достаётся всё остальное, 2 из 3.
Статья о задаче в Scientific American объясняет эту ошибку тем, что психологи называют склонностью к равновероятности. Мы привыкли считать, что все варианты перед нами одинаково вероятны. Две двери похожи на подбрасывание монетки, и мы перестаём думать.
Вторая ловушка в том, что действие ведущего вроде бы ничего не сообщает. На самом деле оно сообщает очень многое. Каждый раз, когда за вашей дверью коза, ведущий вынужден оставить дверь с машиной закрытой. Этот вынужденный выбор и есть скрытая информация.
Проще ли понять версию со 100 дверями?
Многим да. Представьте 100 дверей и одну машину. Вы выбираете одну, а ведущий, который знает, где машина, открывает 98 других и показывает 98 коз. Одна дверь остаётся закрытой. У вашей двери был шанс 1 из 100. У двери, которую ведущий старательно пропустил, теперь остальные 99 из 100.
Пример
Вы выбираете дверь 37. Ведущий открывает все двери с 1 по 100, кроме 37 и 82. Вы правда думаете, что ваш случайный первый выбор оказался счастливым? Гораздо вероятнее, что он пропустил дверь 82, потому что за ней машина.
Мэрилин вос Савант, которая прославила эту задачу, использовала ещё более крупную версию с миллионом дверей. С тремя дверями идея та же, просто её труднее почувствовать. Если 100 дверей не помогают, попробуйте думать об ошибке. Ваш первый выбор ошибочен в 2 случаях из 3, а смена двери превращает каждый неверный выбор в выигрыш.
Что будет, если ведущий не знает, где машина?
Тогда смена двери перестаёт помогать. Если ведущий открывает дверь наугад и за ней случайно оказывается коза, то и оставаясь, и меняя дверь, вы выигрываете в половине случаев. Ответ 2 из 3 верен только тогда, когда ведущий знает, где машина, всегда открывает дверь с козой и всегда предлагает сменить выбор.
Пример
Вы выбираете дверь 1, а ведущий, который ничего не знает, наугад открывает дверь 2 или дверь 3. Иногда он случайно показывает машину, и такие игры испорчены. В тех играх, где появляется коза, машина стоит за вашей дверью ровно в половине случаев.
Настоящий Монти Холл указывал на тот же подвох. В статье в New York Times 1991 года он предупреждал, что участнику стоит насторожиться, если ведущий сам решает, предлагать ли смену вообще. В настоящей телеигре само предложение может оказаться ловушкой.
Как проверить парадокс Монти Холла самому?
Нужны только три игральные карты и друг. Туз будет машиной, две другие карты козами. Друг перемешивает их рубашкой вверх, вы указываете на одну, а друг переворачивает козу, которую вы не выбирали. Сыграйте 30 раундов и каждый раз меняйте выбор. Вы должны выиграть примерно 20 из них.
Потом сыграйте ещё 30 раундов и каждый раз оставайтесь при своём. На этот раз вы должны выиграть около 10. При таком малом числе раундов цифры немного гуляют, но разница видна быстро.
Даже знаменитым математикам нужно было увидеть это своими глазами. Scientific American упоминает, что на этой задаче споткнулся и невероятно плодовитый математик Пал Эрдёш. Так что если вам всё ещё кажется, что тут что-то не так, возьмите карты.
На самом деле задача учит честно пересчитывать все возможные случаи. Игра на вероятность задаёт такие вопросы в каждом раунде. В бою ниже, например, нужно посчитать, сколькими способами на 4 монетах может выпасть ровно 1 орёл. Ответ 4, потому что орёл может выпасть на любой из четырёх монет.
Почему так многие ошибаются в парадоксе Монти Холла?
Две закрытые двери просто похожи на выбор 50 на 50, а то, что ведущий знает больше вас, легко упустить. Вероятно, свою роль играет и сожаление. Проиграть, отказавшись от двери с машиной, обиднее, чем проиграть, оставшись при своём, поэтому многие держатся за первую дверь, даже когда понимают математику.
Впервые задача появилась в 1975 году в письмах статистика Стива Селвина. Знаменитой она стала в 1990 году, когда Мэрилин вос Савант ответила на неё в своей колонке Ask Marilyn в журнале Parade и посоветовала читателям менять дверь. По данным Scientific American, она получила около 10 000 писем о том, что она ошибается. New York Times добавила, что почти 1000 из них подписали люди с учёной степенью.
Разумеется, она была права. Эти письма теперь стали частью истории и лучше всего напоминают о том, что уверенное чутьё в вопросах случая может полностью подвести.
Меняйте дверь, если ведущий знает и всегда открывает дверь с козой
При обычных правилах смена двери удваивает шанс на выигрыш, с 1 из 3 до 2 из 3. Если изменить правила, может измениться и ответ, например если ведущий открывает двери наугад или предлагает смену, только когда ему это выгодно. Этот урок выходит далеко за пределы телеигр. Прежде чем доверять какой-то вероятности, спросите себя, как была отобрана информация, которая перед вами.
Потренируй дальше это