Порядок действий в математике, PEMDAS и BODMAS простыми словами

Как пошагово соблюдать порядок действий?

Порядок действий (по-английски PEMDAS) означает, что пример решается в четыре прохода. Сначала всё, что в скобках, потом степени, затем умножение и деление слева направо и в самом конце сложение и вычитание слева направо. После каждого прохода переписывайте всю строку целиком, тогда ошибку потом легко найти.

Пример

Вычислите 3 + 4 · (6 − 2)² : 8.

1. Скобки: 6 − 2 = 4, остаётся 3 + 4 · 4² : 8
2. Степени: 4² = 16, остаётся 3 + 4 · 16 : 8
3. Умножение и деление слева направо: 4 · 16 = 64, потом 64 : 8 = 8, остаётся 3 + 8
4. Сложение и вычитание: 3 + 8 = 11

Переписывать строку заново кажется долгим делом. Но это лучшая защита от ошибок. Типичный промах: сразу сложить 3 и 4. Получается 7, и ответ выходит неверным.

Умножение в PEMDAS идёт раньше деления?

Нет. Умножение и деление стоят на одной ступени, так же как сложение и вычитание. Внутри каждой пары вы просто идёте слева направо. В PEMDAS буква M стоит перед D только потому, что в слове буквы должны идти в каком-то порядке. Считать буквы строгой иерархией значит допускать одну из самых частых ошибок в порядке действий.

Пример

Вычислите 24 : 4 · 2.

1. Деление стоит первым слева: 24 : 4 = 6
2. Потом умножение: 6 · 2 = 12

Если сначала умножить, получится 24 : 8 = 3, а это неверно. Со сложением и вычитанием то же самое. В 10 − 4 + 3 слева направо получается 6 + 3 = 9. Если сначала сложить, выйдет 10 − 7 = 3, и это тоже неверно.

Бесплатный учебник OpenStax Prealgebra 2e говорит об этом прямо. Умножение и деление выполняются по порядку слева направо, потому что у них одинаковый приоритет. Многие взрослые не помнят эту деталь со школы, и именно из-за неё в интернете столько споров о математических головоломках.

Чем отличаются PEMDAS, BODMAS и BIDMAS?

Правила одни и те же, отличаются только слова. PEMDAS начинается с P от parentheses (скобки), а BODMAS и BIDMAS начинаются с B от brackets. E (exponents), O (orders) и I (indices) означают степени и корни. Во всех вариантах умножение и деление стоят на одной ступени, а сложение и вычитание на следующей.

Пример

Вычислите 2 + 3 · 4², держа в голове каждый вариант.

1. Сначала степени: 4² = 16
2. Потом умножение: 3 · 16 = 48
3. Потом сложение: 2 + 48 = 50

В BODMAS так вышло, что D стоит перед M, а в PEMDAS M стоит перед D. Оба дают здесь 50, и оба варианта дают одинаковый ответ в любом примере. Если порядок букв всё время путает, помогает записать правило как четыре ступени вместо шести букв: скобки, степени, умножение или деление, сложение или вычитание.

Зачем нужен порядок действий?

Без общего порядка запись 2 + 3 · 4 могла бы означать две разные вещи. Если сначала сложить, получится 20. Если сначала умножить, получится 14. По договорённости умножение идёт первым, поэтому ответ 14. Смысл правила просто в том, чтобы все, кто читает один и тот же пример, получали один и тот же результат.

Пример

Друг покупает 3 тетради по 4 монеты и одну ручку за 2 монеты. Всего выходит 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 монет. Если сначала сложить, получится 5 · 4 = 20, как будто ручку купили четыре раза.

Эта договорённость гораздо старше всех сокращений. По данным MacTutor, архива по истории математики Сент-Эндрюсского университета, умножение раньше сложения и вычитания было правилом уже в самых ранних книгах по символьной алгебре в XVI веке. На той же странице цитируется историк, который в конце 1920-х годов писал, что до сих пор нет согласия, что должно идти первым, ÷ или ×.

Сколько будет 8 ÷ 2(2 + 2)?

Если соблюдать порядок действий так, как учат в школе, 8 ÷ 2(2 + 2), или в нашей записи 8 : 2(2 + 2), даёт 16. Сначала скобка, она даёт 4. Двойка, записанная вплотную к скобке, означает умножение, а деление и умножение выполняются слева направо, поэтому 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16.

Пример

Вот два прочтения рядом.

1. Слева направо: 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16
2. Если 2(2 + 2) считать одним блоком: 8 : (2 · 4) = 8 : 8 = 1

Настоящая проблема в том, как записан пример. В заметке на сайте математического факультета Беркли указано, что для таких выражений нет общепринятого соглашения, потому что число, записанное вплотную к скобке, наводит на мысль, что они составляют одно целое. Математики обходят весь спор с помощью лишних скобок: (8 : 2)(2 + 2) или 8 : (2(2 + 2)).

Дробная черта группирует так же. Если над дробной чертой стоит 6 + 4, а под ней 2, сначала складываете, и ответ 10 : 2 = 5.

Какие ошибки в порядке действий встречаются чаще всего?

Большинство ошибок возникает, когда сокращение читают как шесть отдельных шагов в жёстком порядке. Из-за этого люди умножают раньше, чем делят, или складывают раньше, чем вычитают. Другие промахи: забыть, что дробная черта группирует то, что над ней и под ней, и возводить отрицательное число в квадрат без скобок. Если переписывать строку после каждого шага, большинство таких ошибок сразу видно.

Промахи, которые повторяются снова и снова

• Умножение раньше деления. В 24 : 4 · 2 идите слева направо: 6 · 2 = 12.
• Сложение раньше вычитания. В 10 − 4 + 3 идите слева направо: 6 + 3 = 9.
• Квадрат отрицательного числа. −3² означает −(3²) = −9, а (−3)² = 9. Именно скобка решает, возводится ли минус в квадрат.
• Начало с внешней скобки. В 2 · [5 + (3 − 1)²] начинайте изнутри: 3 − 1 = 2, потом 2² = 4, потом 5 + 4 = 9 и наконец 2 · 9 = 18.
• Дробная черта без внимания. Сначала отдельно вычислите числитель и знаменатель, а потом делите.

Как потренировать порядок действий?

Короткие и частые примеры лучше всего помогают отработать это правило. В игре на порядок действий каждая атака представляет собой смешанный пример вроде (5 + 3) · 7. Вы считаете скобку, умножаете и вводите 56, чтобы нанести удар.

Степени многих тормозят, особенно с отрицательными числами. Если вы застреваете именно здесь, попробуйте сначала игру на степени. После неё длинные примеры со степенями решаются легче.

Название правила зависит от того, где его изучают. В США это PEMDAS, а в Великобритании BODMAS или BIDMAS. В других языках есть свои короткие названия, но само правило везде одинаковое. В российской школе его называют просто порядком действий.

Одно общее правило даёт всем один и тот же ответ

Порядок действий не закон природы, а договорённость, и работает он только потому, что все пользуются одним и тем же. Сначала скобки, потом степени, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание слева направо. Если пример всё ещё можно прочитать двумя способами, добавьте скобки, и спор окончен.