Уравнение прямой с угловым коэффициентом (y = kx + b) шаг за шагом

Чем удобно уравнение y = kx + b

Когда уравнение записано в таком виде, наклон и начальную точку можно прочитать прямо по нему и построить прямую за несколько секунд. Ниже разберём, как читать это уравнение, как составить его по двум точкам или из другой формы и какие ошибки встречаются чаще всего.

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Чтобы составить уравнение y = kx + b, нужны два числа: угловой коэффициент k и свободный член b. Угловой коэффициент находят по двум точкам по формуле k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Затем подставляют одну точку и k в y = kx + b и находят b. Остаётся записать уравнение, поставив свои числа вместо k и b.

Пример

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки (1; 5) и (3; 9).

1. Угловой коэффициент: k = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Подставляем точку (1; 5): 5 = 2 · 1 + b, значит, b = 3
3. Уравнение: y = 2x + 3
4. Проверяем по второй точке (3; 9): 2 · 3 + 3 = 9. Всё сходится.

Такая проверка занимает десять секунд и ловит большинство ошибок, поэтому её стоит сделать привычкой.

А если угловой коэффициент получился дробью?

Дроби здесь совершенно нормальны, и дробь в ответе не означает, что вы ошиблись. Возьмём точки (4; 0) и (−2; 4). Угловой коэффициент равен (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Из 0 = −2/3 · 4 + b получаем b = 8/3, то есть y = −2/3x + 8/3. Проверка по точке (−2; 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Оставляйте угловой коэффициент в виде обыкновенной дроби, а не округлённой десятичной, потому что дробь точна и проверка сойдётся идеально. Если тормозят именно дроби, несколько раундов в игре с дробями помогут гораздо быстрее приводить дроби к общему знаменателю и сокращать их.

В раунде выше 7/10 = 70/100, потому что числитель и знаменатель умножили на 10.

Что означают k и b в уравнении y = kx + b?

В уравнении y = kx + b число k называют угловым коэффициентом, а b свободным членом. Угловой коэффициент показывает, на сколько меняется y, когда x увеличивается на 1, то есть насколько прямая поднимается на каждый шаг вправо. Свободный член равен значению y при x = 0, это точка (0; b), в которой прямая пересекает ось Oy.

Пример

В уравнении y = 3x − 2 угловой коэффициент равен 3, а свободный член равен −2. Прямая пересекает ось Oy в точке (0; −2), и каждый шаг на 1 вправо поднимает её на 3. В уравнении y = −2x + 4 угловой коэффициент равен −2, поэтому прямая опускается на 2 при каждом шаге вправо и пересекает ось Oy в точке (0; 4).

Учебник OpenStax College Algebra 2e (на английском) описывает наклон как «rise over run», то есть подъём, делённый на шаг по горизонтали, а точку пересечения с осью Oy как точку, где значение аргумента равно нулю. При положительном k прямая идёт вверх слева направо, при отрицательном вниз, и чем больше число по модулю, тем круче прямая.

Как представить k и b в жизни

Свеча высотой 20 cm сгорает на 2 cm каждый час. Её высота через t часов равна h = −2t + 20. Число 20 показывает, с чего всё начинается (b), а −2 показывает, как высота меняется каждый час (k). Через 3 часа высота свечи 14 cm, а через 10 часов она сгорает полностью. Многим ученикам проще думать о b как о начальном значении, а о k как об изменении на каждом шаге.

Как построить график функции y = kx + b?

Чтобы построить y = kx + b, начните с точки (0; b) на оси Oy. Оттуда используйте угловой коэффициент как подъём, делённый на шаг по горизонтали. Сдвиньтесь вправо на шаг по горизонтали и вверх на подъём (или вниз, если k отрицательный), и вы найдёте вторую точку. Проведите через обе точки прямую и продлите её.

Пример

Постройте график y = 2x + 1.

1. Отметьте точку (0; 1) на оси Oy.
2. Угловой коэффициент 2 означает 2/1, поэтому сдвиньтесь на 1 вправо и на 2 вверх. Получится точка (1; 3).
3. Проведите прямую через (0; 1) и (1; 3).

При угловом коэффициенте −2/3 сдвигайтесь на 3 вправо и на 2 вниз. Если брать знаменатель как шаг по горизонтали, вы всегда попадаете в узлы клеток, и прямую легче провести точно.

Как перейти от общего уравнения прямой к виду y = kx + b?

Чтобы привести уравнение вроде 2x + 3y = 6 к виду с угловым коэффициентом, выразите из него y. Перенесите слагаемое с x в другую часть, а затем разделите каждое слагаемое на число перед y. Число перед x и будет угловым коэффициентом, а отдельно стоящее число окажется свободным членом.

Пример

Преобразуйте 2x + 3y = 6.

1. Вычтите 2x из обеих частей: 3y = −2x + 6
2. Разделите каждое слагаемое на 3: y = −2/3x + 2

Угловой коэффициент равен −2/3, свободный член равен 2. Частая ошибка состоит в том, чтобы прочитать угловой коэффициент как 2 прямо из 2x + 3y = 6. Числа означают угловой коэффициент и свободный член, только когда y стоит в одной части уравнения один.

Уравнение прямой через точку или y = kx + b?

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, y − y₁ = k(x − x₁), удобно, когда известны точка и наклон, потому что его можно записать сразу. Для точки (1; 5) и k = 2 получаем y − 5 = 2(x − 1). Раскрываем скобки и упрощаем, y = 2x − 2 + 5, и снова приходим к y = 2x + 3. Обе записи задают одну и ту же прямую.

Какие прямые нельзя записать в виде y = kx + b?

Вертикальные прямые нельзя записать в виде y = kx + b. У всех точек вертикальной прямой одинаковый x, поэтому шаг по горизонтали равен 0, и для углового коэффициента пришлось бы делить на ноль. Поэтому у вертикальной прямой углового коэффициента нет. Вертикальная прямая, проходящая через x = 3, записывается просто как x = 3.

Пример

Точки (3; 1) и (3; 6) лежат на вертикальной прямой. Угловой коэффициент был бы равен (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, а это не имеет смысла. Значит, прямая задаётся уравнением x = 3. К тому же вертикальная прямая никогда не пересекает ось Oy, если только сама ею не является, так что подставить вместо b нечего.

С горизонтальными прямыми проблем нет. Точки (−1; 4) и (5; 4) дают угловой коэффициент 0 : 6 = 0, поэтому прямая имеет вид y = 0x + 4, то есть просто y = 4.

Какие ошибки с уравнением y = kx + b встречаются чаще всего?

Большинство ошибок с уравнением y = kx + b связаны с невнимательностью, а не с непониманием. Ученики путают координаты точки, вычитают в разном порядке в числителе и знаменателе формулы для k или читают k и b до того, как выразили y. Проверка готового уравнения по одной из исходных точек ловит почти все такие ошибки.

Быстрые способы избежать каждой ошибки

Вот ошибки, которые повторяются снова и снова, и быстрый способ справиться с каждой.

• Путаница x и y в точке. (5; 7) означает x = 5 и y = 7. Читая, говорите себе «сначала вбок, потом вверх».
• Разный порядок вычитания. Если сверху считаете 9 − 5, то снизу считайте 3 − 1, оба раза начиная с одной и той же точки.
• Путаница k и b. В y = 4 + 3x угловой коэффициент всё равно равен 3, потому что k стоит при x, где бы он ни находился.
• Потерянный минус. В y = −x + 2 угловой коэффициент равен −1, а не 1.
• Уверенность, что дробь обязательно ошибка. Коэффициенты вроде 3/4 или −2/3 так же верны, как 2.

Тренируйтесь с y = kx + b, пока всё не станет автоматическим

Быстро читать прямые получается, когда их видишь много. В игре с линейной функцией каждая атака представляет собой вопрос о прямой, так что вы много тренируетесь находить угловые коэффициенты и свободные члены, и это совсем не похоже на домашнее задание.

Найти b тоже значит решить маленькое уравнение в одно действие. Если застреваете именно здесь, хорошей разминкой станет игра с уравнениями.

Буквы в разных странах разные. В российских школах пишут y = kx + b, а в англоязычных странах ту же идею записывают как y = mx + b. Во Франции и Польше пишут y = ax + b, в Швеции y = kx + m, а в Италии y = mx + q. Какими бы ни были буквы, число перед x всегда задаёт наклон, а отдельно стоящее число показывает, где прямая пересекает ось Oy.

Два числа описывают любую невертикальную прямую

Любую невертикальную прямую можно записать как y = kx + b, поэтому двух чисел достаточно, чтобы описать её полностью. Угловой коэффициент говорит, насколько она крутая и куда направлена, а свободный член говорит, откуда она начинается. Найдите эти два числа, проверьте уравнение по точке, и остальное получится само.