Стандартное отклонение простыми словами, с пошаговым примером

Как вычислить стандартное отклонение по шагам?

Чтобы найти стандартное (среднеквадратическое) отклонение, найдите среднее, вычтите его из каждого значения, возведите каждую разность в квадрат и сложите квадраты. Разделите эту сумму на количество значений, и вы получите дисперсию. Наконец, извлеките квадратный корень из дисперсии. Результат и есть стандартное отклонение, выраженное в тех же единицах, что и исходные данные.

Пример

Две команды по 8 игроков отвечают на одну и ту же викторину из 10 вопросов. Возьмём команду B, которая набрала 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 баллов.

1. Найдите среднее. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, и 40 : 8 = 5
2. Вычтите среднее из каждого значения. Получится −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Возведите каждую разность в квадрат. Получится 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Сложите квадраты. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Разделите на количество значений. 32 : 8 = 4, это дисперсия
6. Извлеките квадратный корень. √4 = 2, значит, стандартное отклонение равно 2

Если расписать те же вычисления по каждому значению, за ними легче следить.

• 2 − 5 = −3, и (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, и (−1)² = 1, три раза
• 5 − 5 = 0, и 0² = 0, два раза
• 7 − 5 = 2, и 2² = 4
• 9 − 5 = 4, и 4² = 16

Обратите внимание, что сами разности, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 и 4, в сумме дают 0. Так бывает всегда, и именно поэтому их возводят в квадрат, как показано в следующем разделе. Для последнего шага нужен квадратный корень, и несколько раундов с квадратными корнями помогут гораздо быстрее прикидывать их в уме.

Какова формула стандартного отклонения?

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно σ = √(Σ(x − μ)² : N). Здесь x означает каждое значение, μ означает среднее, N означает количество значений, а Σ означает «сложить всё». Для выборки из большей группы делят на n − 1, а не на N. Эту версию обозначают s.

Пример

Если команда B и есть вся интересующая вас группа, используйте N. Дисперсия равна 32 : 8 = 4, а σ = √4 = 2.

Если 8 игроков составляют выборку, которая должна представлять всю школу, используйте n − 1. Дисперсия равна 32 : 7 ≈ 4,57, а s = √4,57 ≈ 2,14.

Почему для выборки делят на n − 1?

Выборка обычно не захватывает некоторые самые крайние значения всей группы, поэтому разброс в ней получается немного заниженным. Деление на n − 1, чуть меньшее число, немного увеличивает результат и исправляет это. Для больших выборок разница между двумя версиями становится совсем маленькой.

Калькуляторы и электронные таблицы часто предлагают обе версии. Кнопка или функция с обозначением σ или «генеральная совокупность» делит на N, а с обозначением s или «выборка» делит на n − 1. Уточните, какую версию ожидает учитель или учебник, потому что обе верны в своей ситуации.

Зачем в стандартном отклонении возводить разности в квадрат?

Разности между значениями и средним всегда в сумме дают ноль, потому что значения выше среднего уравновешивают значения ниже него. Возведение в квадрат делает каждую разность положительной, и они больше не взаимно уничтожаются. Квадратный корень в конце возвращает результат к исходным единицам, так что разброс в баллах измеряется в баллах.

Пример

Для команды B разности были −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 и 4. Их сумма равна 0, поэтому их обычное среднее тоже равно 0, и это ничего не говорит о разбросе. После возведения в квадрат они становятся 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 и 16, а их сумма равна 32.

Возведение в квадрат также придаёт больший вес далёким значениям. В NIST Engineering Statistics Handbook есть наглядная иллюстрация. Точка на расстоянии 2 единиц от среднего добавляет к сумме 4, а точка на расстоянии 10 единиц добавляет 100. Поэтому стандартное отклонение чувствительно к одному крайнему значению, например к одному результату 0 в группе, где остальные справились хорошо.

Есть более простая мера, без возведения в квадрат. Среднее абсолютное отклонение берёт расстояние от каждого значения до среднего, отбрасывает знаки минус и находит среднее этих расстояний. Для команды B расстояния 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 и 4 в сумме дают 12, и 12 : 8 = 1,5. Его проще посчитать вручную, но именно на стандартном отклонении строится большинство статистических инструментов и формул.

Какое стандартное отклонение считается большим или маленьким?

Нет одного числа, которое считалось бы большим или маленьким стандартным отклонением. Всё зависит от величины значений и от того, что они измеряют. Стандартное отклонение в 2 балла большое для результатов викторины из 10 баллов, но крошечное для результатов из 1000. Сравнивайте его со средним и с диапазоном возможных значений.

Пример

Теперь сравним команду B с командой A из той же викторины.

• Команда A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Команда B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

У обеих команд среднее равно 5, потому что каждый список в сумме даёт 40, а 40 : 8 = 5. Но баллы команды A собираются вокруг 5, а баллы команды B разбросаны от 2 до 9. Стандартное отклонение команды A равно 1 баллу, а команды B равно 2 баллам.

Если смотреть только на среднее, эти команды покажутся одинаковыми. Стандартное отклонение показывает, что команда A очень ровная, а в команде B есть игроки, которые сильно впереди, и игроки, которые сильно отстают.

Ещё один пример

Две пекарни продают буханки со средним весом 500 г. В первой стандартное отклонение равно 5 г, поэтому почти каждая буханка весит около 500 г. Во второй оно равно 40 г, поэтому одни буханки заметно легче, а другие тяжелее. Средние совпадают, но первая пекарня гораздо стабильнее.

Маленькое стандартное отклонение не всегда лучше. В классе большое стандартное отклонение результатов контрольной может просто означать, что дети находятся на очень разных этапах, и учителю полезно это знать. На заводе маленькое стандартное отклонение обычно значит, что станки работают надёжно. Число описывает разброс, а контекст решает, хорошая ли это новость.

Стандартное отклонение никогда не бывает отрицательным, потому что это квадратный корень из чисел, возведённых в квадрат. Оно равно 0, только когда все значения одинаковы.

Что означает правило 68-95-99,7?

Для данных с нормальным распределением, той самой знакомой колоколообразной кривой, около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Около 95% лежат в пределах двух стандартных отклонений, а около 99,7% в пределах трёх. Это называют эмпирическим правилом, и оно превращает стандартное отклонение в быструю картину данных.

Пример

Допустим, время бега на 1 км в большой группе распределено по колоколообразной кривой со средним 6 минут и стандартным отклонением 1 минута. Тогда около 68% бегунов финишируют за время от 5 до 7 минут. Около 95% финишируют за время от 4 до 8 минут, и почти все финишируют за время от 3 до 9 минут.

Правило хорошо работает только для данных колоколообразной формы. Небольшие группы, вроде двух команд из викторины, редко точно ему следуют. Для несимметричных данных, таких как доходы или время ожидания, среднее и стандартное отклонение могут давать обманчивую картину, а медиана и размах часто описывают данные лучше.

Среднее служит отправной точкой для любого стандартного отклонения, поэтому полезно быстро находить средние. В игре по статистике каждая атака в бою является вопросом по статистике, поэтому умение находить среднее в уме становится частью победы в раунде. Короткие частые раунды развивают эту скорость лучше, чем одно длинное занятие.

Стандартное отклонение показывает типичное расстояние от среднего

Стандартное отклонение отвечает на один вопрос. Насколько далеко от среднего находится типичное значение? Используйте эти шаги всякий раз, когда нужно найти его вручную.

1. Найдите среднее.
2. Вычтите среднее из каждого значения.
3. Возведите каждую разность в квадрат.
4. Сложите квадраты.
5. Разделите на N для всей генеральной совокупности или на n − 1 для выборки.
6. Извлеките квадратный корень.

Маленький ответ означает, что значения лежат близко друг к другу, а большой означает, что они разбросаны. Всегда смотрите на него вместе со средним и единицами измерения, потому что разброс имеет смысл только в контексте.