Как найти объём цилиндра?
Чтобы найти объём цилиндра, возведите в квадрат радиус основания, умножьте его на π, это примерно 3,14, а затем умножьте на высоту. Это формула V = πr²h. Ответ записывайте в кубических единицах, например в см³ или м³, потому что объём измеряет пространство внутри тела, а не длину и не площадь поверхности.
Пример
Найдите объём цилиндра с радиусом 3 см и высотой 10 см.
- Возведите радиус в квадрат. 3 · 3 = 9
- Умножьте на π, чтобы получить площадь основания. 9 · π ≈ 28,27 см²
- Умножьте на высоту. 9π · 10 = 90π
- Добавьте кубические единицы. Объём равен примерно 282,74 см³
Ответ можно оставить и в виде 90π см³. Такая точная запись обходится без округления и часто встречается в старших классах.
Чаще всего ошибаются так: умножают радиус на 2 вместо того, чтобы возвести его в квадрат. При радиусе 3 см 3 · 2 = 6, но 3² = 9. Другая ошибка в том, что в квадрат возводят ещё и высоту. В квадрат возводится только радиус, потому что кругом является только основание.
Почему объём цилиндра равен πr²h?
Цилиндр можно представить как стопку одинаковых кругов, как столбик монет. Площадь каждого круга равна πr², а высота стопки равна h единицам. Поэтому объём равен площади основания, умноженной на высоту. Для призм действует то же правило, V = площадь основания · высота.
Пример
Представьте стопку тонких круглых крекеров площадью 20 см² каждый. Если высота стопки 5 см, она занимает 20 · 5 = 100 см³ пространства. Цилиндр с площадью основания 20 см² и высотой 5 см имеет такой же объём.
Эта картинка объясняет и то, что происходит, когда цилиндр меняет форму. Если увеличить высоту в два раза, слоёв станет вдвое больше, и объём удвоится. Если увеличить радиус в два раза, каждый слой станет в четыре раза больше, потому что радиус возводится в квадрат. Значит, объём увеличится в четыре раза.
Цилиндр также удобно сравнить с двумя другими телами вращения. Конус с тем же основанием и той же высотой вмещает ровно треть объёма цилиндра. Шар, который плотно входит в цилиндр, занимает две трети его объёма. По данным Britannica, Архимед так гордился этим результатом, что попросил изобразить его на своей могиле.
Как найти объём цилиндра через диаметр?
Чтобы найти объём через диаметр, разделите диаметр пополам, получите радиус и воспользуйтесь формулой V = πr²h. Диаметр соединяет две точки окружности основания и проходит через её центр, поэтому он в два раза больше радиуса. В одно действие формула выглядит так: V = πd²h : 4, и она даёт точно такой же ответ.
Пример
У консервной банки диаметр 8 см, а высота 12 см. Разделите диаметр пополам и получите радиус 4 см. Тогда 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 см³.
По формуле в одно действие 8² = 64, затем 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 см³. Оба способа дают одинаковый ответ.
Очень часто диаметр по ошибке подставляют сразу в πr²h. Для банки выше получится 64 · π · 12 ≈ 2412,74 см³, то есть в четыре раза больше, чем нужно. Если ответ кажется слишком большим, проверьте, разделили ли вы сначала диаметр пополам.
Как перевести объём цилиндра в литры?
Чтобы перевести объём цилиндра в литры, найдите объём в кубических сантиметрах и разделите на 1000, потому что 1 литр равен 1000 см³. Если объём дан в кубических метрах, наоборот, умножьте на 1000, потому что в 1 м³ помещается 1000 литров. Перед началом проверьте, что все измерения даны в одних и тех же единицах.
Пример
У стакана диаметр 7 см и высота 10 см, если измерять изнутри.
- Найдите радиус. 7 : 2 = 3,5 см
- Найдите объём. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 см³
- Переведите в литры. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 литра, или около 385 мл
Пример покрупнее: бак для воды с радиусом 0,5 м и высотой 1,2 м. Его объём равен 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 м³. Умножьте на 1000, и получится, что в бак помещается около 942 литров.
Частая проблема в том, что единицы смешаны, например радиус дан в сантиметрах, а высота в метрах. Сначала переведите всё в одни единицы. Переходить между см³, м³, миллилитрами и литрами становится гораздо проще после нескольких раундов перевода единиц.
Как найти высоту или радиус цилиндра по объёму?
Чтобы найти высоту, разделите объём на площадь основания, то есть h = V : (πr²). Чтобы найти радиус, разделите объём на произведение π и высоты, а затем извлеките квадратный корень, то есть r = √(V : (πh)). Обе формулы получаются из V = πr²h, если пройти её в обратном порядке, шаг за шагом.
Пример
Кувшин в форме цилиндра должен вмещать 1 литр, то есть 1000 см³, а его радиус 5 см. Его высота должна быть 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 см.
Теперь наоборот. Цилиндр высотой 10 см вмещает 500 см³. Его радиус равен √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 см.
Чтобы проверить ответ, подставьте числа обратно в V = πr²h. Для кувшина π · 5² · 12,73 ≈ 1000 см³, значит, высота найдена верно.
Формула лучше всего запоминается, когда ею часто пользуются, с разными числами. В игре по геометрии каждая атака в бою является вопросом о фигурах, поэтому умение быстро вспомнить πr²h становится частью победы в раунде. В игре π считается равным 3, поэтому каждый ответ оказывается целым числом, которое можно посчитать в уме. Короткие частые раунды работают лучше, чем одно долгое занятие.
Как найти объём полого цилиндра?
Полый цилиндр, например труба, представляет собой большой цилиндр, из середины которого вынут цилиндр поменьше. Найдите объём внешнего цилиндра, вычтите объём отверстия, и то, что останется, будет объёмом материала. В виде формулы это V = π(R² − r²)h, где R означает внешний радиус, а r внутренний радиус.
Пример
Длина трубы 100 см, внешний радиус 5 см, внутренний радиус 4 см.
- Возведите оба радиуса в квадрат. 5² = 25 и 4² = 16
- Вычтите. 25 − 16 = 9
- Умножьте на π и на длину. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 см³
Частая ошибка состоит в том, что радиусы вычитают до возведения в квадрат. Тогда получается (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 см³, а это слишком мало. Сначала возведите в квадрат каждый радиус, потом вычитайте.
Сначала площадь основания, потом умножение на высоту
Любая задача на объём цилиндра сводится к одним и тем же двум шагам. Найдите площадь основания, то есть круга, а затем умножьте её на высоту. С помощью этого списка выберите, с чего начать.
- Даны радиус r и высота h: V = πr²h
- Дан диаметр d: r = d : 2 или V = πd²h : 4
- Найти высоту: h = V : (πr²)
- Найти радиус: r = √(V : (πh))
- Полый цилиндр: V = π(R² − r²)h
- Литры: см³ : 1000 или м³ · 1000
Записывайте ответ в кубических единицах и переводите в литры только в самом конце, когда объём уже найден верно.