Что такое целые числа? Простое объяснение с примерами

Целые числа на числовой прямой

На числовой прямой целые числа выглядят как точки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. На них попадаешь, когда считаешь от 0 вперёд или назад. Числа вроде 1/2, 3,5 или √2 лежат в промежутках между ними, поэтому они не целые. Ниже разберём, как их отличить, почему ноль тоже целое число и как на самом деле работают правила знаков.

Как понять, что число целое?

Число целое, если его можно записать без дроби и без цифр после запятой. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю. В учебнике OpenStax Prealgebra 2e (на английском) это сформулировано просто: целые числа состоят из чисел, которые мы используем при счёте, противоположных им чисел и нуля. Значит, 7, −7 и 0 целые числа, а 7,5 нет.

Пример

Попробуйте быстро проверить эти числа.

• −12 целое число, потому что оно противоположно натуральному числу 12.
• 0 целое число.
• 3,5 не целое число, потому что у него есть дробная часть.
• 1/2 не целое число.
• 8/2 целое число, потому что 8/2 = 4.
• √9 целое число, потому что √9 = 3.
• √2 не целое число, потому что оно примерно равно 1,41.

Последние примеры показывают полезную привычку. Сначала найдите значение, потом решайте. Число может выглядеть как дробь или корень и всё равно оказаться целым.

Является ли 0 целым числом?

Да, 0 целое число. Он находится посередине числовой прямой, между отрицательными и положительными целыми числами. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным, и OpenStax говорит об этом прямо. Зато ноль чётный, ведь 0 = 2 · 0, то есть он делится на 2 без остатка.

Отрицательные числа тоже целые?

Отрицательные числа целые, только если у них нет дробной части. −5 и −100 целые числа. −2,5 и −3/4 отрицательные, но не целые. Эта проверка работает для любого числа, какой бы знак у него ни был.

Чем целые числа отличаются от натуральных?

В российской школе натуральными называют числа, которые используются при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Ноль и отрицательные числа к ним не относятся. Целые числа включают все натуральные, ноль и ещё отрицательные числа −1, −2, −3 и так далее. Поэтому −4 целое число, но не натуральное. В некоторых странах и книгах ноль считают натуральным числом, поэтому в зарубежных источниках можно встретить другое определение.

Пример

Вот как основные множества чисел вкладываются одно в другое.

• Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …
• Целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Целые числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Рациональные числа: все числа, которые можно записать дробью из двух целых чисел, например 1/2, −3/4 и 7 (это 7/1)

Математики обозначают множество целых чисел буквой ℤ. Она происходит от немецкого слова Zahlen, что значит «числа». Натуральные числа обозначают буквой ℕ. Как вы уже видели, даже с ними нет полного единства: одни книги начинают их с 0, другие с 1.

Где встречаются целые числа в жизни?

Целые числа появляются всюду, где мы считаем вверх и вниз от нулевой отметки. Мороз ниже нуля, подземные этажи, глубина ниже уровня моря и разница мячей футбольной команды выражаются целыми числами, которые могут быть отрицательными. В каждом случае 0 служит точкой отсчёта, а не означает «ничего».

Пример

Утром на улице −4 °C, а к обеду температура поднимается на 7 градусов. Начните с −4 и отсчитайте 7 шагов вверх по числовой прямой: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. В обед уже 3 °C, то есть −4 + 7 = 3.

Чайка летит на высоте 5 метров над морем, а аквалангист плывёт на глубине 2 метров, то есть на отметке −2. Расстояние между ними 7 метров, потому что 5 − (−2) = 7.

Как складывать и вычитать целые числа?

Чтобы складывать целые числа, представьте числовую прямую. Прибавление положительного числа сдвигает вас вправо, а прибавление отрицательного влево. Вычитание обратно сложению, поэтому вычитание отрицательного числа сдвигает вас вправо. Именно поэтому, если вычесть отрицательное число, ответ получается больше.

Пример

Вычислим −3 + 5. Начните с −3 и сделайте 5 шагов вправо. Вы пройдёте −2, −1, 0 и 1 и остановитесь на 2. Значит, −3 + 5 = 2.

Ещё несколько примеров для тренировки.

• −6 + 2 = −4, потому что 2 шага вправо от −6 приводят к −4.
• −2 − 5 = −7, потому что 5 шагов влево от −2 приводят к −7.
• 4 − (−3) = 7, потому что вычесть −3 значит прибавить 3.

Почему при вычитании отрицательного числа ответ растёт?

Вычитание отвечает на вопрос «какая разница?». На числовой прямой между 4 и −3 ровно 7 шагов, поэтому 4 − (−3) = 7. OpenStax записывает общее правило так: a − (−b) = a + b. Многие дети спотыкаются на −5 + 4: они видят плюс и ждут большего числа. Если начать с −5 и пройти 4 шага вправо, видно, что ответ −1.

Почему минус на минус даёт плюс?

При умножении двух целых чисел ответ положительный, если знаки одинаковые, и отрицательный, если разные. Отрицательное число, умноженное на отрицательное, даёт положительное число изза закономерности. Каждый раз, когда первое число уменьшается на 1, ответ меняется на одну и ту же величину, и эта закономерность сохраняется, только если ответ становится положительным.

Пример

Посмотрите, что происходит с 3 · (−2), когда первое число каждый раз уменьшается на 1.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Каждый ответ на 2 больше предыдущего. Чтобы закономерность продолжилась за нулём, (−1) · (−2) должно равняться 2. Можно представить это и по-другому: умножение на −1 разворачивает вас на числовой прямой. Развернитесь дважды, и вы снова смотрите в ту же сторону.

Действует ли то же правило знаков при делении?

Да. (−12) : 3 = −4 и (−12) : (−3) = 4, по тому же правилу одинаковых и разных знаков. Но есть одно отличие. Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда целые, а частное не всегда. 8 : 2 = 4 целое число, а 7 : 2 = 3,5 нет.

Как научиться быстрее считать с целыми числами?

Скорость приходит, когда решаешь много коротких примеров, пока числовая прямая не закрепится в голове. В игре с отрицательными числами каждая атака это быстрый пример с отрицательными числами, поэтому дети тренируют правила знаков, пока стараются выиграть бой.

В этом раунде вычесть −17 значит прибавить 17, поэтому −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Расстояние от числа до нуля называется модулем числа, так что модуль −5 равен 5. Это следующая тема, которую обычно изучают после целых чисел, а игра на модуль числа превращает её в серию быстрых раундов.

Целые числа можно получить, считая вперёд или назад

Каждое целое число это шаг, до которого можно досчитать от 0: вправо для положительных чисел и влево для отрицательных. Ноль стоит посередине и тоже входит в эту группу. Если ребёнок может представить себе такую числовую прямую, правила сложения, вычитания и умножения перестают быть правилами для заучивания и начинают обретать смысл.