Тренировка математики · переосмысленная
Игра на метод Гаусса
Здесь метод Гаусса приходит по одному элементу: число, которое оставляет преобразование строк, неизвестное со ступенек или ранг целой матрицы. Соперник видит ту же матрицу, так что чем чище твои вычисления, тем раньше бьёт твой боец.
Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков
Что такое метод Гаусса?
Метод Гаусса — это способ решить систему линейных уравнений, приводя её матрицу, таблицу коэффициентов, в порядок строка за строкой. Можно поменять две строки местами, умножить строку на число или вычесть из строки кратное другой. Шаг за шагом под ступеньками копятся нули, а потом ответы читаются снизу вверх.
Пример: R₂ − 5·R₁ для [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- Вопрос — a₂₂, новый элемент во 2-й строке и 2-м столбце после R₂ − 5·R₁.
- В этом столбце во 2-й строке стоит 4, а в 1-й строке стоит 2.
- Вычти пять раз элемент 1-й строки: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- Новый элемент равен −6, поэтому вводишь его со знаком минус.
Шаг за шагом
Метод Гаусса приводит матрицу в порядок строка за строкой. Чаще всего он делает такой ход: взять строку и вычесть из неё несколько копий другой строки. Запись R₂ − 3·R₁ означает: новая строка 2 = строка 2 минус строка 1, умноженная на 3.
Делается это поэлементно, столбец за столбцом. Чтобы найти новый элемент в строке 2, столбце 3, возьми старый элемент строки 2 в столбце 3 и вычти из него элемент строки 1 в столбце 3, умноженный на 3. Если это 7 и 4, новый элемент равен 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. Число k подбирают так, чтобы первый элемент строки стал 0, — в этом смысл хода, — но тебе нужен только тот элемент, который назван в задаче.
Найди два элемента в нужном столбце, умножь верхний на k, вычти и введи новый элемент.
Советы и частые ошибки
- Читай a₃₂ как место в кинотеатре: сначала ряд, потом кресло. Строка 3, столбец 2, никогда наоборот.
- Частая ошибка — менять обе строки. R₂ − 5·R₁ переписывает только 2-ю строку; 1-я остаётся прежней и лишь одалживает свои числа.
- Запиши на бумаге маленькую систему, например x + y = 5 и x − y = 1, и соревнуйтесь, кто первым исключит x.
Как играть
Каждый раунд показывает матрицу с вопросом рядом: преобразование строк и элемент, который оно меняет, неизвестное из треугольной системы или ранг. Введи число раньше соперника, и Чеснок нанесёт удар, тем сильнее, чем быстрее ты ответил. Неверный ответ ненадолго оглушает.
— Быстрые ответы —
Метод Гаусса: короткий FAQ
- Что такое обратный ход метода Гаусса?
- Обратный ход решает треугольную систему от последнего уравнения вверх. В нижней строке одно неизвестное, поэтому её решают первой. Найденное значение подставляют в строку выше, где остаётся одно неизвестное, и так до самого верха. Если последняя строка — 2x₄ = 10, то x₄ = 5, и строка выше использует эту пятёрку.
- Как найти ранг матрицы?
- Чтобы найти ранг матрицы, приведи её к ступенчатому виду и посчитай строки, которые не состоят из одних нулей. Строка, ставшая нулевой, была комбинацией остальных и ничего нового не добавляет. У матрицы 3×3, третья строка которой равна сумме первых двух, ранг 2.
- Почему у меня получается неверный знак при преобразованиях строк?
- Неверный знак при преобразованиях строк почти всегда появляется при вычитании отрицательного элемента. Если в 1-й строке стоит −3, а преобразование — R₂ − 2·R₁, ты вычитаешь 2 × (−3) = −6, то есть прибавляешь 6. Запиши каждое произведение в скобках со знаком до вычитания, и ошибка исчезнет.
- Когда изучают метод Гаусса?
- Во многих школьных системах метод Гаусса появляется на первом университетском курсе линейной алгебры, хотя в некоторых старших классах его показывают на системах 3×3. Здесь уровни рассчитаны на 18-летних. Любой, кто уверенно обращается с отрицательными числами и простыми уравнениями, может начать с первого уровня.
- Эта игра на приведение к ступенчатому виду бесплатна и подходит для класса?
- Да, она бесплатна в любом браузере на ноутбуке, планшете или телефоне, ничего устанавливать не нужно. Для тренировки преобразований строк дай каждой команде систему 3×3 и попроси вслух называть каждый новый элемент по ходу исключения. Первая команда с чистыми ступеньками объясняет свои шаги остальным. Тариф для школ с оплатой за ученика добавляет панель учителя, которая показывает, кто становится быстрее.
Больше математики для освоения