Phi, ünü büyük bir sayı
Matematikçiler onu Yunan harfi φ (fi) ile gösterir ve bu sayının ayçiçeklerinde, ünlü binalarda ve güzel yüzlerde saklı olduğu söylenir. Bu ünün bir kısmı hak edilmiş, ama büyük bir kısmı değil. Önce matematiğe bakalım, sonra da altın oranın gerçekte nerede karşımıza çıktığını dürüstçe anlatalım.
Altın oran nasıl hesaplanır?
Altın oran φ = (1 + √5) ÷ 2 formülüyle hesaplanır. 5'in karekökü yaklaşık 2,236'dır. Buna 1 ekler, 2'ye böler ve yaklaşık 1,618 bulursunuz. φ irrasyonel bir sayı olduğu için ondalık basamakları hiç bitmez ve hiç tekrar etmez. Günlük kullanımların çoğu için 1,618 yeterince hassastır.
Örnek
Hesap makinesiyle üç adımda bulun.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 ÷ 2 = 1,618
Yani φ ≈ 1,618. Daha fazla hassasiyet gerekirse on ondalık basamağa kadar φ = 1,6180339887'dir.
φ formülü nereden geliyor?
Bir doğru parçası alın ve onu uzun bir a parçasına ve kısa bir b parçasına bölün. Bütün doğru parçasının uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşitse bu bölünme altın orana uyar. Sembollerle yazılışı (a + b) ÷ a = a ÷ b şeklindedir. Bu ortak değer φ'dir.
Şimdi kısa parçayı 1 alın, böylece uzun parça φ olur. Kural (φ + 1) ÷ φ = φ haline gelir. İki tarafı da φ ile çarpınca φ² = φ + 1, yani φ² − φ − 1 = 0 elde edersiniz. Bu ikinci dereceden bir denklemdir ve pozitif kökü (1 + √5) ÷ 2'dir. Britannica (İngilizce) aynı düzenlemeyle x² − x − 1 = 0 denklemine ulaşır.
1,618, 0,618 ve 2,618 neden bu kadar benziyor?
φ² = φ + 1 olduğu için φ'nin karesini almak ona sadece 1 eklemek demektir. Bu yüzden φ² ≈ 2,618. Aynı denklemi φ'ye bölünce φ = 1 + 1 ÷ φ bulunur, bu da 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618 demektir. Üç farklı sayının aynı ondalık basamaklara sahip olmasının nedeni budur.
Altın oranı bu kadar özel yapan ne?
Altın oran özeldir çünkü φ, karesi kendisinin bir fazlasına, çarpmaya göre tersi de kendisinin bir eksiğine eşit olan tek pozitif sayıdır. Ayrıca geometriyle saymayı birbirine bağlar. Aynı değer, bir doğru parçasını dengeli biçimde böldüğünüzde, düzgün bir beşgen çizdiğinizde ve ardışık Fibonacci sayılarını birbirine böldüğünüzde ortaya çıkar.
Örnek
Kenarı 1 olan düzgün bir beşgende her köşegen (bir köşeyi komşu olmayan bir köşeye bağlayan doğru parçası) tam olarak φ, yani yaklaşık 1,618 uzunluğundadır. Bu yüzden beşgenin içine çizilen beş köşeli yıldız, yani pentagram, altın oranlarla doludur. Yıldızın her kolu diğer çizgiler tarafından altın oranda kesilir.
Fikir çok eskidir. Britannica onu, Elemanlar adlı eserinde bu bölünmeye "uç ve ortalama oran" adını veren Öklid'e kadar götürür.
Altın oran pi sayısıyla aynı mı?
Hayır. Pi (π ≈ 3,14) bir çemberin çevresinin çapına oranıdır, altın oran (φ ≈ 1,618) ise bir doğru parçasının bölünmesinden gelir. İkisi de sonsuz ondalık basamağı olan irrasyonel sayılardır ve muhtemelen bu yüzden karıştırılırlar. Değerleri farklıdır ve farklı şekillerden gelirler.
Altın oran ve Fibonacci dizisi aynı şey mi?
Altın oran ve Fibonacci dizisi aynı şey değildir ama birbirine sıkı sıkıya bağlıdır. Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir doğal sayı dizisidir. Her Fibonacci sayısını bir öncekine böldüğünüzde sonuçlar altın orana giderek daha çok yaklaşır.
Örnek
Fibonacci dizisinden ardışık sayılar alın ve bölün.
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Sonuçlar 1,618'in bir üstüne bir altına sıçrar ve hızla oturur. 144 ÷ 89'da sonuç üç ondalık basamağa kadar φ ile aynıdır. Bu, çocuklar için güzel bir hesap makinesi etkinliğidir, çünkü basit bölme işlemlerinden bir örüntünün ortaya çıktığını görürler.
Bir sayı dizisinin ardındaki kuralı bulmak, Fibonacci'nin çok ötesine geçen bir beceridir. Sayı örüntüleri oyununda her saldırı bir sayısı eksik olan bir örüntüdür ve kuralı rakibinizden önce bulmanız gerekir.
Yukarıdaki turda her sayı bir öncekinden 5 fazladır, bu yüzden eksik sayı 24'tür.
Altın dikdörtgen nasıl çizilir?
Altın dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının yaklaşık 1,618 katıdır. Çizmek için kısa kenarı 1,618 ile çarpın ya da kısa kenarı bulmak için uzun kenarı 1,618'e bölün. Ayrıca bir kareden başlayarak, hiç ondalık sayı ölçmeden pergelle tam olarak da çizebilirsiniz.
Örnek
Kısa kenar 10 cm ise uzun kenar 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm olur. Bir sayfa 1000 piksel genişliğindeyse ve altın oranla bölmek istiyorsanız φ'ye bölün. Yaklaşık 618 piksellik bir ana sütun ve yaklaşık 382 piksellik bir yan sütun elde edersiniz.
Pergelle çizmek için şu adımları izleyin.
- Kenarı 1 olan bir kare çizin (örneğin 1 desimetre).
- Alt kenarın orta noktasını işaretleyin.
- Pergelin sivri ucunu bu orta noktaya koyun ve karşı taraftaki üst köşeye kadar açın. Bu uzaklık √5 ÷ 2, yani yaklaşık 1,118'dir.
- Pergeli aşağı, alt kenarın uzantısına doğru çevirin. Yeni uzunluk 0,5 + 1,118 = 1,618 olur.
- Dikdörtgeni tamamlayın. Kenarları 1 ve φ'dir.
Bir altın dikdörtgenden kareyi kesip çıkarırsanız geriye kalan parça yine bir altın dikdörtgendir. Bunu tekrarlayıp her karenin içine çeyrek çember çizerseniz altın oran görsellerinde sıkça görülen spirali elde edersiniz. Bu tür geometri, şekillerin, açıların ve alanların hızlı sorulara dönüştüğü geometri oyununun da bir parçasıdır.
Altın oran doğada nerede görülür?
Doğadaki en açık örnek, birçok bitkinin yapraklarını ve tohumlarını dizme biçimidir. Bir ayçiçeğindeki her yeni tohum, bir öncekine göre aşağı yukarı aynı açıyla, yaklaşık 137,5° dönerek büyür. Bu altın açı tohumları boşluk bırakmadan sıkıştırır ve sayısı çoğu zaman bir Fibonacci sayısı olan spiraller oluşturur.
Örnek
Altın açı doğrudan φ'den gelir. Tam bir turu φ²'ye bölünce 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5° bulunur. Başka bir bakış açısıyla bu dönüş, çemberi altın oranda iki yaya, yaklaşık 222,5° ve 137,5°'lik yaylara böler.
Nottingham Üniversitesi araştırmacılarının 2022 tarihli derlemesi The Golden Ratio in Nature (İngilizce), çok farklı ölçeklerden örnekler toplar ve oranın "birçok farklı bilimsel ve sanatsal alanda ortaya çıkma eğiliminden" söz eder. Eğilim tam da doğru kelime. Pek çok bitki başka örüntüler izler, yani bu bir doğa yasası değildir.
Nautilus kabuğu bir altın spiral mi?
Genellikle hayır. Nautilus, büyüdükçe şeklini koruyan logaritmik bir spiral biçiminde büyür ve bu kendi başına zaten çok güzeldir. Gerçek kabuklar üzerinde yapılan ölçümler genellikle φ'den farklı bir büyüme oranı verir. Bir nautilus fotoğrafının üzerine çizilmiş altın spiral güzel bir görseldir, bir ölçüm değildir.
Altın oran gerçekten sanatta, binalarda ve yüzlerde var mı?
Çoğu zaman hayır. Parthenon'un, ünlü tabloların ya da çekici yüzlerin altın orana uyduğu iddiaları, dikkatli ölçümler yapıldığında geçerliliğini yitirir. The Conversation (İngilizce) sitesindeki 2022 tarihli bir yazıda UNSW'den matematikçi Thomas Britz, φ'nin Antik Yunan sanatında ve mimarisinde çok nadir bulunduğunu açıklar.
Örnek
Parthenon hakkındaki popüler iddia, ön cephesinin bir altın dikdörtgene oturduğudur. Britz, dikkatli hesapların bu iddianın yanlış olduğunu gösterdiğini yazar. Ünlülere puan veren "altın oran yüz testleri" için de durum aynıdır. Dayandıkları yüz maskesi çürütülmüştür ve bir yüzün güzel olup olmadığına karar veren tek bir sayı yoktur.
Mitin yaşamaya devam etmesinin yaygın bir nedeni, yalnızca işe gelen örneklerin seçilmesidir. Neredeyse her binada ya da yüzde, oranı 1,6'ya yakın olan bir çift uzunluk bulunur, özellikle de nereden ölçeceğinizi siz seçebiliyorsanız. 3 ÷ 2 = 1,5 ya da 16 ÷ 9 ≈ 1,78 gibi oranlar da göze hoş gelir ve ekranlarda ve fotoğraflarda çok daha yaygındır. Adil bir test birçok nesneyi inceler ve tutanlar kadar tutmayanları da sayar.
Sanatçılar ve tasarımcılar altın oranı bilerek mi kullanır?
Bazıları evet. Tasarımcılar bazen sayfa düzenleri, çerçeveler ya da yazı boyutları için 1,618'i başlangıç noktası olarak kullanır, çünkü ne fazla eşit ne de fazla dengesiz bir bölünme verir. Bu bir tasarım tercihidir, oranın güzel olan her şeyde saklı olduğunun kanıtı değildir. Diğer düzgün oranlar gibi işe yarar.
Altın oran gerçek matematiktir, bir güzellik kuralı değil
Altın oran kesin bir sayıdır, (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618, ve matematikçileri gülümseten özellikleri vardır. Karesini almak ona 1 ekler, 1'i ona bölmek 1 eksiltir ve Fibonacci sayıları ona giderek yaklaşır. Birçok bitkinin tohum spirallerini şekillendirir, yüzler ve ünlü binalar hakkındaki hikâyelerin çoğu ise istenen sonuca göre yapılmış ölçümlerdir.
Onu bir çocukla keşfetmenin iyi bir yolu, işi uygulamalı tutmaktır. Hesap makinesinde Fibonacci sayılarını bölün, pergelle bir altın dikdörtgen çizin ya da bir çam kozalağının üzerindeki spiralleri sayın. Her biri gerçek bir örüntü gösterir ve hiçbiri ilgi çekici olmak için bir mite ihtiyaç duymaz.