Fi, un nombre amb molta fama
Els matemàtics l'escriuen amb la lletra grega φ (fi), i té fama d'amagar-se als gira-sols, en edificis famosos i en les cares boniques. Una part d'aquesta fama és merescuda i una bona part no ho és. Primer anem a les matemàtiques i després a la versió honesta d'on apareix de debò.
Com es calcula el nombre d'or?
El nombre d'or es calcula amb la fórmula φ = (1 + √5) : 2. L'arrel quadrada de 5 és aproximadament 2,236; hi sumes 1, divideixes entre 2 i obtens uns 1,618. Els decimals no s'acaben mai ni es repeteixen, perquè φ és un nombre irracional. Per a gairebé tots els usos quotidians, 1,618 ja és prou precís.
Exemple
Calcula'l amb una calculadora en tres passos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Per tant, φ ≈ 1,618. Si necessites més precisió, φ = 1,6180339887 amb deu decimals.
D'on surt aquesta fórmula?
Agafa un segment i divideix-lo en una part llarga a i una part curta b. La divisió és àuria quan el segment sencer és a la part llarga com la part llarga és a la curta. Amb símbols, (a + b) : a = a : b. Aquest valor comú és φ.
Ara fes que la part curta mesuri 1, de manera que la part llarga mesura φ. La regla queda (φ + 1) : φ = φ. Multiplica els dos membres per φ i obtens φ² = φ + 1, és a dir, φ² − φ − 1 = 0. És una equació de segon grau, i la seva solució positiva és (1 + √5) : 2. La Britannica descriu la mateixa transformació fins arribar a x² − x − 1 = 0.
Per què 1,618, 0,618 i 2,618 s'assemblen tant?
Com que φ² = φ + 1, elevar φ al quadrat només hi suma 1. Per això φ² ≈ 2,618. Si divideixes la mateixa equació entre φ, obtens φ = 1 + 1 : φ, cosa que vol dir que 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Per això tres nombres diferents comparteixen els mateixos decimals.
Per què és tan especial el nombre d'or?
El nombre d'or és especial perquè és l'únic nombre positiu el quadrat del qual és el mateix nombre més u, i l'invers del qual és el mateix nombre menys u. A més, uneix la geometria amb el recompte. El mateix valor apareix quan divideixes un segment de manera equilibrada, quan dibuixes un pentàgon regular i quan divideixes nombres de Fibonacci consecutius.
Exemple
En un pentàgon regular de costat 1, cada diagonal (el segment que uneix un vèrtex amb un altre que no és contigu) mesura exactament φ, uns 1,618. Per això l'estrella de cinc puntes dibuixada dins d'un pentàgon és plena de proporcions àuries. Cada punta de l'estrella queda tallada per les altres línies en proporció àuria.
La idea és molt antiga. La Britannica la fa remuntar a Euclides, que als seus Elements en va dir divisió en «mitjana i extrema raó».
El nombre d'or és el mateix que pi?
No. Pi (π ≈ 3,14) és la raó entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre, mentre que el nombre d'or (φ ≈ 1,618) surt de dividir un segment. Tots dos són nombres irracionals amb infinits decimals, i segurament per això es confonen. Tenen valors diferents i provenen de figures diferents.
El nombre d'or i la successió de Fibonacci són el mateix?
El nombre d'or i la successió de Fibonacci no són el mateix, però estan molt relacionats. La successió de Fibonacci és una llista de nombres naturals en què cada nombre és la suma dels dos anteriors. Si divideixes cada nombre de Fibonacci entre l'anterior, els resultats s'acosten cada vegada més al nombre d'or.
Exemple
Agafa nombres consecutius de la successió de Fibonacci i divideix.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Els resultats salten per sobre i per sota d'1,618 i s'estabilitzen de seguida. Amb 144 : 89 el resultat ja coincideix amb φ en tres decimals. És una activitat molt bonica per fer amb calculadora amb infants, perquè veuen aparèixer un patró a partir de simples divisions.
Trobar la regla que hi ha darrere d'una llista de nombres és una habilitat que va molt més enllà de Fibonacci. Al joc de seqüències numèriques, cada atac és una seqüència a la qual falta un nombre, i has de descobrir la regla abans que el teu rival.
A la ronda de la imatge, cada nombre és 5 més que l'anterior, així que el nombre que falta és 24.
Com es dibuixa un rectangle auri?
Un rectangle auri té un costat llarg que mesura unes 1,618 vegades el costat curt. Per dibuixar-lo, multiplica el costat curt per 1,618, o divideix el costat llarg entre 1,618 per trobar el costat curt. També el pots construir de manera exacta amb un compàs, partint d'un quadrat, sense mesurar cap decimal.
Exemple
Si el costat curt mesura 10 cm, el costat llarg mesura 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Si una pàgina fa 1000 píxels d'amplada i vols una divisió àuria, divideix entre φ. Obtens una columna principal d'uns 618 píxels i una columna lateral d'uns 382 píxels.
Per dibuixar-lo amb compàs, segueix aquests passos.
- Dibuixa un quadrat de costat 1 (per exemple, 1 decímetre).
- Marca el punt mitjà del costat de baix.
- Clava el compàs en aquest punt mitjà i obre'l fins al vèrtex de dalt del costat oposat. Aquesta distància és √5 : 2, uns 1,118.
- Fes girar el compàs fins a la prolongació del costat de baix. La nova longitud és 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa el rectangle. Els seus costats mesuren 1 i φ.
Si a un rectangle auri li treus el quadrat, el tros que queda és un altre rectangle auri. Repeteix el procés, dibuixa un quart de circumferència a cada quadrat i obtindràs l'espiral que sol aparèixer a les imatges del nombre d'or. Aquesta mena de geometria també forma part del joc de geometria, on figures, angles i àrees es converteixen en reptes ràpids.
On apareix el nombre d'or a la natura?
L'exemple més clar a la natura és la manera com moltes plantes col·loquen les fulles i les llavors. Cada llavor nova d'un gira-sol creix girada més o menys el mateix respecte a l'anterior, uns 137,5°. Aquest angle auri empaqueta les llavors sense deixar buits i produeix espirals el nombre de les quals sol ser un nombre de Fibonacci.
Exemple
L'angle auri surt directament de φ. Divideix una volta completa entre φ² i obtens 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Una altra manera de veure-ho és que el gir divideix la circumferència en dos arcs, d'uns 222,5° i 137,5°, en proporció àuria.
Una revisió del 2022 d'investigadors de la Universitat de Nottingham, The Golden Ratio in Nature, recull exemples a escales molt diferents i parla de la «tendència a aparèixer en molts camps científics i artístics diferents» d'aquesta proporció. Tendència és la paraula justa. Moltes plantes segueixen altres patrons, així que no és una llei de la natura.
La closca del nàutil és una espiral àuria?
Normalment no. El nàutil creix seguint una espiral logarítmica, que manté la forma a mesura que es fa més gran, i això ja és bonic per si mateix. Les mesures de closques reals solen donar una raó de creixement diferent de φ. Una espiral àuria dibuixada sobre la foto d'un nàutil és una imatge bonica, no una mesura.
De debò hi ha el nombre d'or a l'art, els edificis i les cares?
Gairebé mai. Les afirmacions que el Partenó, quadres famosos o les cares atractives segueixen el nombre d'or no s'aguanten quan es mesura amb cura. En un article del 2022 a The Conversation, el matemàtic Thomas Britz, de la UNSW, explica que φ apareix molt poques vegades en l'art i l'arquitectura de l'antiga Grècia.
Exemple
El que se sol dir del Partenó és que la seva façana encaixa en un rectangle auri. Britz escriu que els càlculs acurats demostren que és fals. El mateix passa amb els «tests de bellesa del nombre d'or» que puntuen els famosos. La màscara facial en què es basen està desacreditada, i no hi ha cap nombre únic que decideixi si una cara és bonica.
Una raó habitual per la qual el mite sobreviu és que només es trien les dades que encaixen. Gairebé qualsevol edifici o cara té alguna parella de longituds la raó de les quals s'acosta a 1,6, sobretot si pots triar on mesurar. Proporcions com 3 : 2 = 1,5 o 16 : 9 ≈ 1,78 també resulten agradables i són molt més habituals en pantalles i fotos. Una comprovació justa analitza molts objectes i compta tant les errades com els encerts.
Els artistes i els dissenyadors fan servir el nombre d'or expressament?
Alguns sí. Els dissenyadors de vegades fan servir 1,618 com a punt de partida per a maquetacions, marcs o mides de lletra, perquè dona una divisió que no és ni massa igualada ni massa desequilibrada. És una decisió de disseny, no una prova que la proporció estigui amagada en tot allò que és bell. Funciona igual que qualsevol altra proporció harmoniosa.
El nombre d'or és matemàtica de debò, no una regla de bellesa
El nombre d'or és un nombre precís, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, amb propietats que fan somriure els matemàtics. Elevar-lo al quadrat hi suma 1, dividir 1 entre ell en resta 1, i els nombres de Fibonacci s'hi acosten. Dona forma a les espirals de llavors de moltes plantes, mentre que la majoria d'històries sobre cares i edificis famosos són mesures fetes amb ganes que surti.
Una bona manera d'explorar-lo amb un infant és fer-ho de manera pràctica. Divideix nombres de Fibonacci amb la calculadora, dibuixa un rectangle auri amb compàs o compta les espirals d'una pinya. Cada activitat mostra un patró real, i cap no necessita mites per ser interessant.
Entrena aquestes a continuació