Endevinalles matemàtiques i reptes per a nens, amb solucions

Aquí no hi trobaràs endevinalles que depenguin de jocs de paraules. Els reptes estan agrupats per edats, més o menys dels 5 als 14 anys, i les solucions són al final de cada grup, amb el raonament, perquè les puguis explicar i no només comprovar. Després de les endevinalles hi ha unes quantes rutines d'aula que funcionen bé.

Quines endevinalles matemàtiques van bé dels 5 als 7 anys?

Dels 5 als 7 anys, les millors endevinalles matemàtiques fan servir números petits i coses que els infants es poden imaginar o poden tocar, com ocells, potes o maduixes. Deixa'ls fer servir fitxes, els dits o un dibuix ràpid. A aquesta edat l'important és descobrir un patró i explicar-lo, no trobar la resposta de pressa.

Llegeix cada endevinalla en veu alta. Si un infant dona una resposta equivocada, pregunta-li com hi ha arribat abans de dir res. Sovint s'adona ell mateix de l'error.

1. Quin número ve ara? 2, 4, 6, ?, 10
2. Hi ha 5 ocells en una tanca. Se'n van volant 2 i n'hi arriben 3 més. Quants ocells hi ha ara a la tanca?
3. Quantes potes tenen entre tots 2 gossos i 3 ocells?
4. Reparteix 12 maduixes a parts iguals entre 3 amics. Quantes en toquen a cadascun?
5. Quin número ve ara? 1, 1, 2, 2, 3, 3, ?
6. Penso un número. Si li sumes 3, dona 10. Quin número és?

Solucions dels 5 als 7 anys

1. 8, perquè els números van de 2 en 2.
2. 1. Quan se'n van 2 en queden 3, i amb 3 més en són 6.
3. 1. Dos gossos tenen 8 potes i tres ocells en tenen 6, i 8 + 6 = 14.
4. 4 cadascun. Reparteix les maduixes d'una en una, com quan es reparteixen cartes, i cada amic n'acaba tenint 4.
5. 1. Cada número surt dues vegades abans que comenci el següent.
6. 1. Compta amb els dits del 7 al 10 i veuràs que hi has sumat just 3.

Quines endevinalles matemàtiques són adequades dels 8 als 10 anys?

Entre els 8 i els 10 anys, els infants ja poden fer reptes de més d'un pas, en què una primera idea es pot comprovar i millorar. Els quadrats màgics, les sèries de números i els signes que falten hi encaixen molt bé. Amb aquests reptes practiquen sumes, restes i taules de multiplicar, però els infants acostumen a veure'ls com un desafiament i no com deures.

1. Quadrat màgic. Col·loca els números de l'1 al 9 en una quadrícula de 3 × 3 de manera que cada fila, cada columna i les dues diagonals sumin 15. El 5 va al centre.
2. Quin número ve ara? 1, 4, 9, 16, ?, 36
3. Quin número ve ara? 1, 1, 2, 3, 5, 8, ?
4. Escriu els signes que falten. Pots fer servir +, −, × i :. 6 ? 3 ? 2 = 4
5. En una granja hi ha gallines i vaques. Entre totes tenen 10 caps i 28 potes. Quantes vaques hi ha?
6. Un llibre i un bolígraf costen 110 monedes en total. El llibre costa 100 monedes més que el bolígraf. Quant costa el bolígraf?

Solucions dels 8 als 10 anys

1. Una solució té les files 2, 7, 6, després 9, 5, 1 i després 4, 3, 8. Qualsevol gir o reflex d'aquest quadrat també val. Si un infant s'encalla, digues-li que els números parells van a les cantonades.
2. 1. Són nombres quadrats, 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 i així successivament, de manera que el que falta és 5 × 5.
3. 13, perquè cada número és la suma dels dos anteriors. A qui li agradi aquest gaudirà amb la successió de Fibonacci, que apareix als gira-sols i a les pinyes.
4. Hi ha dues solucions, 6 : 3 + 2 = 4 i 6 : 3 × 2 = 4. Trobar la segona és un bon extra per als qui acaben abans.
5. 4 vaques. Si els 10 animals fossin gallines, comptaries 20 potes. Les 8 potes que sobren són de les vaques, i cada vaca té 2 potes més que una gallina, així que hi ha 4 vaques i 6 gallines.
6. 5 monedes. Gairebé tothom diu 10 primer. Però llavors el llibre costaria 110 i tots dos junts 120, que és massa. Un bolígraf de 5 i un llibre de 105 sumen 110, amb una diferència de 100.

El quadrat màgic és molt antic. Una llegenda xinesa explica que una tortuga va sortir del riu Luo amb aquest mateix dibuix a la closca. A la Xina encara se'l coneix com a Lo Shu.

Quines endevinalles matemàtiques són un repte dels 11 als 14 anys?

Dels 11 als 14 anys, les endevinalles poden tenir moltes respostes correctes o premiar una drecera enginyosa davant d'un càlcul llarg. Funcionen bé els quatre quatres, els problemes d'encaixades de mans i els patrons en nombres grans. L'alumnat ha de provar idees, buscar l'estructura i explicar el seu mètode, i en una classe amb nivells molt diferents tothom pot treballar el mateix repte, cadascú al seu nivell.

1. Els quatre quatres. Fes servir exactament quatre 4 i qualsevol dels signes +, −, × i :, amb parèntesis, per obtenir tots els números de l'1 al 10. També pots ajuntar dos 4 per formar el 44.
2. Es troben deu persones i cadascuna encaixa la mà una vegada amb cadascuna de les altres. Quantes encaixades de mans hi ha?
3. Suma tots els nombres enters de l'1 al 100. Ho pots fer sense sumar-los un per un?
4. Tres nombres consecutius, com 4, 5 i 6, sumen 48. Quins nombres són?
5. Quina és l'última xifra de 2 multiplicat per si mateix 20 vegades?

Solucions dels 11 als 14 anys

1. Aquí en tens una sèrie possible. N'hi ha moltes més, i comparar-les és la meitat de la gràcia.
   • 1 = 44 : 44
   • 2 = 4 : 4 + 4 : 4
   • 3 = (4 + 4 + 4) : 4
   • 4 = 4 × (4 − 4) + 4
   • 5 = (4 × 4 + 4) : 4
   • 6 = 4 + (4 + 4) : 4
   • 7 = 44 : 4 − 4
   • 8 = 4 + 4 + 4 − 4
   • 9 = 4 + 4 + 4 : 4
   • 10 = (44 − 4) : 4
2. 1. Cadascuna de les 10 persones fa 9 encaixades, cosa que dona 10 × 9 = 90. Però així cada encaixada es compta dues vegades, una per cada banda, de manera que la resposta és 90 : 2 = 45.
3. 1. Aparella els nombres de fora cap a dins. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, i així successivament. Surten 50 parelles, i 50 × 101 = 5050.
4. 15, 16 i 17. Tres nombres consecutius sempre sumen 3 vegades el del mig, així que el del mig és 48 : 3 = 16.
5. 1. Les últimes xifres de 2, 4, 8, 16, 32 i així successivament es repeteixen en un cicle de quatre, 2, 4, 8, 6. Com que 20 és múltiple de 4, l'última xifra és 6. El nombre sencer és 1.048.576.

Els quatre quatres existeixen des de fa bastant més de cent anys, i encara funcionen perquè ningú no s'encalla al principi. Gairebé tothom troba l'1 i el 2 de seguida. Les discussions comencen amb el 7 i el 9.

Com es fan servir les endevinalles matemàtiques a l'aula?

Les endevinalles funcionen millor com una rutina curta que torna cada setmana que no pas com un premi per a l'última classe abans de vacances. Un escalfament de cinc minuts, un repte de la setmana a la paret o una capsa de reptes per als qui acaben abans són fàcils de posar en marxa. Deixa que l'alumnat pensi primer sol i després compari idees amb un company.

La mestra Donna Paul descriu rutines com aquestes en un article d'Edutopia sobre endevinalles de lògica a la classe de matemàtiques. Els seus alumnes treballaven sols el primer minut i després compartien el seu raonament amb un company. També tenia un repte de la setmana en una pissarra petita, perquè cada alumne decidís si s'hi animava.

Uns quants consells pràctics d'altres docents marquen una gran diferència.

• Fes servir un temporitzador ben visible en els escalfaments, perquè l'endevinalla no es mengi tota la classe.
• Els qui acaben abans solen voler una feina diferent, no més del mateix. Una capsa de reptes els la dona.
• Acaba amb dos o tres alumnes explicant mètodes diferents. En aquesta breu posada en comú és on més s'aprèn.

Les sèries numèriques són un escalfament ràpid, perquè n'hi ha prou amb una fila de números a la pissarra per obrir el debat. Per continuar, unes quantes rondes del joc de sèries numèriques demanen a l'alumnat que trobi el número que falta en una sèrie, com la ronda 30, 40, ?, 60, 70 de la imatge de sota. Els docents el poden fer servir amb tota la classe a través de Math Max per a escoles sense passar d'aquests mateixos cinc minuts.

Algunes escoles volen que cada activitat estigui lligada al currículum, i és fàcil relacionar les endevinalles amb cada tema. Les sèries treballen els patrons, el problema de la granja treballa la multiplicació i els quatre quatres són una manera dissimulada de practicar la jerarquia de les operacions.

Cal donar la solució quan un infant s'encalla?

Primer dona una pista, no la solució. Una bona pista assenyala un primer pas, com dibuixar el problema o provar amb números més petits. Si amb dues o tres pistes no n'hi ha prou, resoleu-lo junts pas a pas i, uns dies després, proposa-li una endevinalla semblant perquè pugui aplicar la idea tot sol.

Una escala senzilla de pistes serveix per a gairebé totes les endevinalles.

1. Pregunta-li què ha provat fins ara.
2. Suggereix una estratègia, com fer un dibuix, provar i comprovar o fer servir números més petits.
3. Dona-li una part de la solució, per exemple «el 5 va al centre».
4. Resoleu-la junts i després dona-li una endevinalla semblant.

Els docents no es posen d'acord sobre quanta estona s'han de barallar sols els infants amb un problema. Una lluita llarga sense cap orientació sol acabar en frustració, o en infants convençuts d'una resposta equivocada. Una estona curta d'esforç, després pistes i al final una posada en comú a classe eviten totes dues coses.

Les endevinalles matemàtiques ajuden a aprendre matemàtiques?

Les endevinalles fan practicar als infants una cosa que les fitxes rarament demanen. Han de triar un mètode, provar-lo i explicar-lo. Les bones endevinalles permeten que qualsevol infant hi pugui començar i tot i així són un repte de debò. Els docents en diuen tasques de terra baix i sostre alt, i encaixen molt bé en classes amb nivells diversos.

Les proves en aquest sentit són encoratjadores, però modestes. La guia per millorar les matemàtiques dels 7 als 14 anys de l'Education Endowment Foundation recomana ensenyar estratègies per resoldre problemes, tot i que assenyala que els resultats de la recerca varien. Per tant, pren les endevinalles com un bon hàbit entre d'altres, no com una solució màgica.

Una prova senzilla ajuda a triar una endevinalla. Si ningú de la classe no sap per on començar, és massa difícil. Si ningú no s'encalla, és massa fàcil.

La millor endevinalla és la que tothom pot començar i on tot i així s'encalla

Tria endevinalles que tots els infants puguin començar i deixa les més difícils per a més endavant. Reserva temps perquè expliquin com les han resolt, perquè sentir dos mètodes ensenya més que una sola resposta correcta. Mantén un to lleuger, perquè encallar-se es visqui com una part del joc.