Phi, tallet med det store ry
Matematikere skriver det med det græske bogstav φ (phi), og det har ry for at gemme sig i solsikker, berømte bygninger og smukke ansigter. Noget af det ry er fortjent, men meget af det er ikke. Her kommer først matematikken og derefter den ærlige version af, hvor det gyldne snit faktisk dukker op.
Hvordan beregner man det gyldne snit?
Det gyldne snit beregnes med formlen φ = (1 + √5) : 2. Kvadratroden af 5 er cirka 2,236, så du lægger 1 til, dividerer med 2 og får cirka 1,618. Decimalerne slutter aldrig og gentager sig aldrig, fordi φ er et irrationalt tal. Til de fleste hverdagsformål er 1,618 præcist nok.
Eksempel
Regn det ud på lommeregner i tre trin.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Altså er φ ≈ 1,618. Har du brug for mere præcision, er φ = 1,6180339887 med ti decimaler.
Hvor kommer formlen for φ fra?
Tag et linjestykke og del det i en lang del a og en kort del b. Delingen er gylden, når hele linjestykket forholder sig til den lange del på samme måde, som den lange del forholder sig til den korte. Med symboler er (a + b) : a = a : b. Den fælles værdi er φ.
Sæt nu den korte del til 1, så den lange del er φ. Reglen bliver (φ + 1) : φ = φ. Gang begge sider med φ, så får du φ² = φ + 1 eller φ² − φ − 1 = 0. Det er en andengradsligning, og dens positive løsning er (1 + √5) : 2. Britannica beskriver den samme omskrivning til x² − x − 1 = 0.
Hvorfor ligner 1,618, 0,618 og 2,618 hinanden så meget?
Fordi φ² = φ + 1, lægger man bare 1 til, når man kvadrerer φ. Så φ² ≈ 2,618. Dividerer du den samme ligning med φ, får du φ = 1 + 1 : φ, hvilket betyder, at 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Derfor har tre forskellige tal de samme decimaler.
Hvorfor er det gyldne snit så særligt?
Det gyldne snit er særligt, fordi φ er det eneste positive tal, hvis kvadrat er tallet plus én, og hvis reciprokke værdi er tallet minus én. Det forbinder også geometri og optælling. Den samme værdi dukker op, når du deler et linjestykke på en afbalanceret måde, når du tegner en regulær femkant, og når du dividerer nabotal i Fibonaccis talfølge med hinanden.
Eksempel
I en regulær femkant med sider på 1 er hver diagonal (linjen fra et hjørne til et hjørne, der ikke er nabo) præcis φ lang, cirka 1,618. Derfor er den femtakkede stjerne tegnet inde i en femkant fuld af gyldne snit. Hver tak i stjernen skæres af de andre linjer i det gyldne forhold.
Idéen er meget gammel. Britannica fører den tilbage til Euklid, som i sine Elementer kaldte det at dele en linje i »yderste og mellemste forhold«.
Er det gyldne snit det samme som pi?
Nej. Pi (π ≈ 3,14) er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter, mens det gyldne snit (φ ≈ 1,618) kommer fra at dele et linjestykke. Begge er irrationale tal med uendeligt mange decimaler, og det er nok derfor, folk blander dem sammen. De har forskellige værdier og kommer fra forskellige figurer.
Er det gyldne snit og Fibonaccis talfølge det samme?
Det gyldne snit og Fibonaccis talfølge er ikke det samme, men de hænger tæt sammen. Fibonaccis talfølge er en række hele tal, hvor hvert tal er summen af de to foregående. Dividerer du hvert Fibonacci-tal med det foregående, kommer resultaterne tættere og tættere på det gyldne snit.
Eksempel
Tag nabotal fra Fibonaccis talfølge og divider.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Resultaterne hopper skiftevis over og under 1,618 og falder hurtigt til ro. Ved 144 : 89 passer resultatet allerede med φ på tre decimaler. Det er en god lommeregneraktivitet for børn, fordi de kan se et mønster opstå ud af helt almindelig division.
At finde reglen bag en række tal er en færdighed, der rækker langt ud over Fibonacci. I talfølgespillet er hvert angreb en talfølge med et manglende tal, og du skal finde reglen før din modstander.
I runden ovenfor er hvert tal 5 større end det foregående, så det manglende tal er 24.
Hvordan tegner man et gyldent rektangel?
I et gyldent rektangel er den lange side cirka 1,618 gange så lang som den korte side. For at tegne et skal du gange den korte side med 1,618 eller dividere den lange side med 1,618 for at finde den korte. Du kan også konstruere et helt præcist med passer, med udgangspunkt i et kvadrat, uden at måle en eneste decimal.
Eksempel
Hvis den korte side er 10 cm, er den lange side 10 · 1,618 ≈ 16,2 cm. Hvis en webside er 1000 pixels bred, og du vil have en gylden deling, dividerer du med φ. Så får du en hovedkolonne på cirka 618 pixels og en sidekolonne på cirka 382 pixels.
Følg disse trin for at tegne det med passer.
- Tegn et kvadrat med siden 1 (for eksempel 1 decimeter).
- Afsæt midtpunktet på den nederste side.
- Sæt passerens spids i midtpunktet, og åbn den, så den når det øverste hjørne på den modsatte side. Den afstand er √5 : 2, cirka 1,118.
- Slå en bue ned til den forlængede grundlinje. Den nye længde er 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Gør rektanglet færdigt. Dets sider er 1 og φ.
Skærer du kvadratet af et gyldent rektangel, er det stykke, der er tilbage, et nyt gyldent rektangel. Gentag det, og tegn en kvartcirkel i hvert kvadrat, så får du den spiral, der tit ses på billeder af det gyldne snit. Den slags geometri er også en del af geometrispillet, hvor figurer, vinkler og arealer bliver til hurtige udfordringer.
Hvor findes det gyldne snit i naturen?
Det tydeligste eksempel i naturen er den måde, mange planter placerer deres blade og frø på. I en solsikke vokser hvert nyt frø med nogenlunde samme drejning i forhold til det forrige, cirka 137,5°. Denne gyldne vinkel pakker frøene tæt uden huller og danner spiraler, hvis antal ofte er Fibonacci-tal.
Eksempel
Den gyldne vinkel kommer direkte fra φ. Divider en hel omgang med φ², og du får 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Man kan også se det sådan, at drejningen deler cirklen i to buer på cirka 222,5° og 137,5°, der står i det gyldne forhold til hinanden.
En oversigtsartikel fra 2022 af forskere ved University of Nottingham, The Golden Ratio in Nature, samler eksempler på mange forskellige størrelsesskalaer og beskriver forholdets »tendens til at dukke op inden for mange forskellige videnskabelige og kunstneriske områder«. Tendens er det rigtige ord. Masser af planter følger andre mønstre, så det er ikke en naturlov.
Er nautilussens skal en gylden spiral?
Som regel ikke. Nautilussen vokser i en logaritmisk spiral, som bevarer sin form, når den bliver større, og det er smukt i sig selv. Målinger af rigtige skaller giver typisk et vækstforhold, der er forskelligt fra φ. En gylden spiral tegnet oven på et foto af en nautilus er et flot billede, ikke en måling.
Findes det gyldne snit virkelig i kunst, bygninger og ansigter?
For det meste ikke. Påstande om, at Parthenon, berømte malerier eller tiltrækkende ansigter følger det gyldne snit, holder ikke, når man måler omhyggeligt. I en artikel fra 2022 i The Conversation forklarer matematikeren Thomas Britz fra UNSW, at φ meget sjældent findes i oldtidens græske kunst og arkitektur.
Eksempel
Den populære påstand om Parthenon er, at facaden passer ind i et gyldent rektangel. Britz skriver, at omhyggelige beregninger viser, at påstanden er forkert. Det samme gælder de »gyldne snit-ansigtstest«, der giver kendte personer point. Den ansigtsmaske, de bygger på, er blevet afvist, og der findes ikke ét enkelt tal, der afgør, om et ansigt er smukt.
En almindelig grund til, at myten overlever, er, at man kun plukker de eksempler ud, der passer. Næsten enhver bygning eller ethvert ansigt har et par længder, hvis forhold ligger tæt på 1,6, især hvis man selv må vælge, hvor man måler. Forhold som 3 : 2 = 1,5 eller 16 : 9 ≈ 1,78 er også behagelige og langt mere almindelige på skærme og fotos. En fair test undersøger mange genstande og tæller forbierne med lige så vel som fuldtrufferne.
Bruger kunstnere og designere det gyldne snit med vilje?
Nogle gør. Designere bruger nogle gange 1,618 som udgangspunkt for layout, billedrammer eller skriftstørrelser, fordi det giver en deling, der hverken er for lige eller for skæv. Det er et designvalg, ikke et bevis for, at forholdet gemmer sig i alt smukt. Det virker på samme måde som enhver anden pæn proportion.
Det gyldne snit er ægte matematik, ikke en skønhedsregel
Det gyldne snit er et præcist tal, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, med egenskaber, der får matematikere til at smile. Når man kvadrerer det, lægges 1 til, når man dividerer 1 med det, trækkes 1 fra, og Fibonacci-tallene nærmer sig det. Det former frøspiralerne i mange planter, mens de fleste historier om ansigter og berømte bygninger er ønsketænkning med målebånd.
En god måde at udforske det på sammen med et barn er at holde det praktisk. Divider Fibonacci-tal på lommeregneren, tegn et gyldent rektangel med passer, eller tæl spiralerne på en kogle. Hver af dem viser et ægte mønster, og ingen af dem har brug for en myte for at være spændende.