¿Cómo se construye la sucesión de Fibonacci?
Para construir la sucesión de Fibonacci, escribe 0 y 1, suma los dos últimos números para obtener el siguiente y repite ese paso una y otra vez. Cada número nuevo depende solo de los dos anteriores, así que la lista puede seguir para siempre. Los números que escribes de esta forma se llaman números de Fibonacci.
Ejemplo
Construye la sucesión paso a paso. Empieza con 0 y 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Cada número nuevo solo necesita los dos últimos. Por eso es un buen reto de cálculo mental para niños, porque los números crecen deprisa pero la regla nunca cambia. La regla es tan sencilla que la entiende un niño pequeño, y aun así los mismos números aparecen en los girasoles, en las piñas y en el número áureo.
¿La sucesión empieza por 0 o por 1?
Las dos versiones son habituales. Muchos libros empiezan con 0, 1, 1, 2, 3, y otros con 1, 1, 2, 3. Los números que vienen después son los mismos en los dos casos. Los matemáticos suelen escribir la regla como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, con F₀ = 0 y F₁ = 1, que significa «cada término es la suma de los dos anteriores».
Patrones escondidos en la sucesión
La sucesión tiene pequeños patrones que a los niños les encanta descubrir. Uno de cada tres números es par (0, 2, 8, 34, 144, 610), y todos los demás son impares. Uno de cada cinco números es divisible entre 5 (0, 5, 55, 610). Pide a tu hijo o a tu alumno que compruebe estos patrones más adelante en la lista. Es una forma divertida de practicar la suma y descubrir estructuras al mismo tiempo.
¿De dónde viene la sucesión de Fibonacci?
La sucesión lleva el nombre de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, un matemático italiano. La describió en su libro Liber abaci, escrito en 1202, mediante un problema sobre conejos. Según la Britannica, es la primera sucesión numérica recursiva conocida en Europa, es decir, cada término se construye a partir de los anteriores.
Ejemplo
El problema de los conejos funciona así. Empiezas con una pareja de conejos recién nacidos. Una pareja necesita un mes para hacerse adulta, y a partir de entonces cada pareja adulta tiene una pareja nueva cada mes. Ningún conejo se va nunca. Cuenta las parejas al principio de cada mes.
- Mes 1: 1 pareja (recién nacida)
- Mes 2: 1 pareja (ya adulta)
- Mes 3: 2 parejas (los adultos y sus primeras crías)
- Mes 4: 3 parejas
- Mes 5: 5 parejas
- Mes 6: 8 parejas
El total de cada mes es el total del mes anterior más el número de parejas adultas, y las adultas son justo el total de dos meses antes. Esa es la regla de Fibonacci. Por supuesto, los conejos de verdad no se comportan de forma tan ordenada. El problema era una manera de describir el patrón, no un estudio sobre animales.
¿Cómo se encuentra el siguiente número de la sucesión de Fibonacci?
Para encontrar el siguiente número de Fibonacci, suma los dos últimos números de la lista. Después de 21 y 34 viene 21 + 34 = 55, y después de 34 y 55 viene 89. Para encontrar un número muy avanzado en la sucesión, ve ampliando la lista o usa la fórmula de Binet, que calcula cualquier término directamente con el número áureo.
Ejemplo
Encuentra el décimo número de Fibonacci, contando F₀ = 0 como punto de partida. Si escribes la lista, obtienes 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, así que F₁₀ = 55.
La fórmula de Binet da la misma respuesta sin la lista. Eleva el número áureo φ (aproximadamente 1,618) a la décima potencia y divide entre √5. Eso da aproximadamente 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, y al redondear al número entero más cercano se obtiene 55. Para los alumnos mayores es una bonita sorpresa, porque un número construido con raíces cuadradas cae siempre muy cerca de un número entero.
Descubrir la regla que hay detrás de una lista de números es una habilidad que va mucho más allá de Fibonacci. El juego de series numéricas lo convierte en un combate, donde cada ataque es una serie y tienes que encontrar el número que falta. Es una forma rápida de practicar patrones como «suma los dos últimos» sin escribir nada.
¿Qué relación hay entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo?
Si divides cada número de Fibonacci entre el anterior, los resultados se acercan cada vez más al número áureo, aproximadamente 1,618. Por ejemplo, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 y 89 : 55 ≈ 1,618. El número áureo es (1 + √5) : 2, un número cuyos decimales nunca terminan ni se repiten.
Ejemplo
Fíjate en cómo los cocientes se estabilizan a medida que los números crecen.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Los resultados quedan unas veces por encima y otras por debajo de 1,618, y se acercan más cada vez. La Britannica señala que esta relación la describió el matemático Robert Simson en 1753.
¿Qué es la espiral de Fibonacci?
Dibuja un cuadrado de lado 1, luego otro cuadrado de lado 1 a su lado, luego uno de lado 2, luego 3, luego 5 y luego 8, cada uno pegado al rectángulo que llevas formado. Une las esquinas opuestas de cada cuadrado con un cuarto de circunferencia y obtendrás la espiral de Fibonacci. Es una aproximación muy buena de la espiral áurea, que crece según el número áureo en cada cuarto de vuelta.
¿Dónde aparece la sucesión de Fibonacci en la naturaleza?
Los números de Fibonacci aparecen a menudo en las plantas. Las semillas de un girasol forman dos grupos de espirales, y el número de espirales en cada sentido suele ser una pareja de números de Fibonacci consecutivos, como 34 y 55 o 55 y 89. Las piñas muestran espirales parecidas, y muchas flores tienen 3, 5, 8, 13 o 21 pétalos.
Ejemplo
Coge una piña o una foto de un girasol y cuenta las espirales que giran en el sentido de las agujas del reloj. Después cuenta las que giran en sentido contrario. Las páginas sobre Fibonacci en la naturaleza del Dr. Ron Knott, de la Universidad de Surrey, muestran girasoles con 55 espirales en un sentido y 34 en el otro, y otros más grandes con 89 y 55.
Las mismas páginas clasifican flores por su número de pétalos, como las espuelas de caballero con 8, la hierba de Santiago y algunas margaritas con 13, y los ásteres con 21. Contar juntos es una actividad práctica preciosa, y enseña a los niños que los números describen cosas reales que los rodean.
¿Por qué las plantas crecen en espirales de Fibonacci?
Muchas plantas colocan cada semilla u hoja nueva con un ángulo de giro casi igual respecto a la anterior, de unos 137,5°. Este ángulo, relacionado con el número áureo, coloca las semillas muy juntas sin dejar huecos, y las espirales que puedes contar son una consecuencia de ese giro constante. La segunda parte de la guía de Ron Knott explica por qué este ángulo funciona tan bien.
¿De verdad la sucesión de Fibonacci está en toda la naturaleza?
No. Los números de Fibonacci son frecuentes en las plantas, pero no son una ley de la naturaleza. Las páginas de Ron Knott en Surrey señalan que no siempre encontrarás números de Fibonacci en los pétalos o en las cabezas de semillas, y algunas flores, como las fucsias, tienen 4 pétalos. Muchas afirmaciones en internet, sobre todo sobre conchas, caras y edificios famosos, exageran lo que dicen los datos.
Ejemplo
La concha del nautilo suele mostrarse con una espiral áurea dibujada encima. La concha sí crece en espiral logarítmica, una curva que mantiene la misma forma a medida que se hace más grande. Pero las páginas de Knott señalan que su factor de crecimiento varía y puede no ser el número áureo, y que llamarla espiral áurea es incorrecto. Así que el nautilo es una espiral preciosa, pero no una prueba de Fibonacci.
Esta también es una lección útil para los niños mayores. Un patrón que aparece a menudo merece atención, pero la pregunta honesta siempre es «¿con qué frecuencia y con qué precisión?». Contar las espirales de una piña de verdad es una prueba mejor que cualquier imagen de internet.
Dos números iniciales y una regla construyen toda la sucesión
Cada número de Fibonacci sale del mismo paso, sumar los dos números anteriores. Aquí tienes los 21 primeros términos, empezando por F₀ = 0, para que puedas comprobar tu propia lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
Si un niño se pierde, vuelve con él a los dos últimos números de los que esté seguro y suma otra vez. La regla nunca cambia, así que un error siempre es fácil de corregir.
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