Si te parece que está mal, no eres el único. Miles de personas, algunas con un doctorado, se negaron a creerlo al principio. Aquí tienes el acertijo y, después, varias formas de ver por qué conviene cambiar. Seguro que con alguna de ellas lo ves claro.
¿Cómo funciona el problema de Monty Hall?
Estás en un concurso de televisión delante de tres puertas cerradas. Detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, una cabra. Eliges una puerta. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre una de las otras dos y te enseña una cabra. Luego te pregunta si quieres quedarte con tu puerta o cambiar a la otra que sigue cerrada.
La mayoría se encoge de hombros y dice que da igual. Quedan dos puertas, así que tiene que ser al 50 %. Pues no. Si cambias, ganas el coche 2 de cada 3 veces.
El acertijo lleva el nombre de Monty Hall, el presentador del concurso de televisión Let's Make a Deal. La famosa respuesta depende de tres reglas.
- El presentador siempre abre una puerta que no has elegido.
- El presentador siempre enseña una cabra, nunca el coche.
- El presentador siempre te ofrece cambiar.
¿Por qué cambiar gana 2 de cada 3 veces?
Tu primera elección falla 2 de cada 3 veces. Cada vez que falla, el presentador no tiene opción. Tiene que abrir la otra puerta con cabra, y el coche queda detrás de la puerta a la que podrías cambiar. Así que cambiar gana siempre que tu primera elección era errónea, y solo pierde cuando acertaste con el coche a la primera.
Ejemplo
Supón que siempre eliges la puerta 1. El coche solo puede estar en tres sitios, y los tres son igual de probables.
- El coche está detrás de la puerta 1. El presentador abre la puerta 2 o la 3. Quedarte gana, cambiar pierde.
- El coche está detrás de la puerta 2. El presentador tiene que abrir la puerta 3. Quedarte pierde, cambiar gana.
- El coche está detrás de la puerta 3. El presentador tiene que abrir la puerta 2. Quedarte pierde, cambiar gana.
Haz la cuenta. Quedarte gana una vez y cambiar gana dos. Y pasa lo mismo empieces por la puerta que empieces.
Hay otra forma de imaginarlo. Tu puerta empieza con una probabilidad de 1 entre 3, y las otras dos se reparten los 2 entre 3 restantes. Cuando el presentador abre una de ellas, el coche no se mueve. Solo te está enseñando cuál de esas dos puertas tiene ahora todo ese 2 entre 3.
¿Por qué no es al 50 % si quedan dos puertas?
Porque el presentador no abre una puerta al azar. Sabe dónde está el coche y siempre lo evita, así que la puerta que deja cerrada la ha elegido sabiendo eso. Tu puerta la elegiste a ciegas y conserva su probabilidad de 1 entre 3. La otra puerta cerrada se lleva el resto, 2 entre 3.
Un artículo de Scientific American sobre el acertijo atribuye el error a lo que los psicólogos llaman sesgo de equiprobabilidad. Tendemos a dar por hecho que los resultados que tenemos delante son igual de probables. Dos puertas parecen un cara o cruz, y dejamos de pensar.
La otra trampa es que el movimiento del presentador parece no decirte nada. En realidad te dice mucho. Siempre que tu puerta esconde una cabra, el presentador está obligado a dejar cerrada la puerta del coche. Esa elección forzada es la información oculta.
¿Es más fácil con la versión de 100 puertas?
A mucha gente le ayuda. Imagina 100 puertas y un solo coche. Eliges una y el presentador, que sabe dónde está el coche, abre 98 de las demás y enseña 98 cabras. Queda una puerta cerrada. Tu puerta tenía una probabilidad de 1 entre 100. La puerta que el presentador se ha saltado con tanto cuidado tiene ahora los otros 99 entre 100.
Ejemplo
Eliges la puerta 37. El presentador abre todas las puertas de la 1 a la 100 menos la 37 y la 82. ¿De verdad crees que tu elección al azar fue la afortunada? Es mucho más probable que se haya saltado la 82 porque el coche está detrás.
Marilyn vos Savant, que hizo famoso el acertijo, usó una versión todavía mayor, con un millón de puertas. Con tres puertas la idea es la misma, solo que cuesta más sentirla. Si las 100 puertas no te ayudan, prueba a pensar en equivocarte. Tu primera elección falla 2 de cada 3 veces, y cambiar convierte cada fallo en un premio.
¿Qué pasa si el presentador no sabe dónde está el coche?
Entonces cambiar deja de ayudar. Si el presentador abre una puerta al azar y da la casualidad de que sale una cabra, quedarte y cambiar ganan cada uno la mitad de las veces. La respuesta de 2 entre 3 solo vale cuando el presentador sabe dónde está el coche, siempre abre una puerta con cabra y siempre ofrece cambiar.
Ejemplo
Eliges la puerta 1, y un presentador que no sabe nada abre al azar la puerta 2 o la 3. A veces enseña el coche sin querer, y esas partidas se estropean. En las partidas en las que aparece una cabra, el coche está detrás de tu puerta exactamente la mitad de las veces.
El verdadero Monty Hall señaló esa misma pega. En un artículo del New York Times de 1991 advirtió de que un concursante debería desconfiar si el presentador puede decidir si ofrece o no el cambio. En un concurso de verdad, la propia oferta podría ser una trampa.
¿Cómo puedes comprobar el problema de Monty Hall tú mismo?
Solo necesitas tres cartas y un amigo. Un as es el coche y las otras dos cartas son las cabras. Tu amigo las mezcla boca abajo, tú señalas una y tu amigo da la vuelta a una cabra que no has elegido. Juega 30 rondas cambiando siempre. Deberías ganar unas 20.
Después juega otras 30 rondas sin cambiar nunca. Esta vez deberías ganar unas 10. Con tan pocas rondas los números bailarán un poco, pero la diferencia se nota enseguida.
Hasta matemáticos famosos necesitaron verlo. Scientific American cuenta que el prolífico matemático Paul Erdős también cayó con el acertijo. Así que si todavía te parece que está mal, saca las cartas.
Lo que de verdad entrena este acertijo es contar todos los casos posibles sin dejarse ninguno. El juego de probabilidad plantea el mismo tipo de pregunta en cada ronda. En el combate de abajo, por ejemplo, hay que contar de cuántas maneras pueden salir 4 monedas con exactamente 1 cara. La respuesta es 4, porque la cara puede estar en cualquiera de las cuatro monedas.
¿Por qué tanta gente falla con el problema de Monty Hall?
Dos puertas cerradas parecen, sin más, una elección al 50 %, y es fácil pasar por alto lo que sabe el presentador. Seguramente también influye el arrepentimiento. Perder después de haber dejado el coche por cambiar duele más que perder por haberte quedado, así que mucha gente se queda con su primera puerta aunque entienda las matemáticas.
El acertijo apareció por primera vez en 1975, en unas cartas del estadístico Steve Selvin. Se hizo famoso en 1990, cuando Marilyn vos Savant lo respondió en su columna Ask Marilyn de la revista Parade y dijo a los lectores que cambiaran. Según Scientific American, recibió unas 10.000 cartas que le decían que se equivocaba. The New York Times añadió que casi 1.000 iban firmadas por personas con doctorado.
Por supuesto, tenía razón. Esas cartas ya forman parte de la historia, y son el mejor recordatorio de que una corazonada muy segura sobre el azar puede estar totalmente equivocada.
Cambia, siempre que el presentador lo sepa y abra siempre una puerta con cabra
Con las reglas habituales, cambiar duplica tu probabilidad de ganar, de 1 entre 3 a 2 entre 3. Si cambian las reglas, la respuesta también puede cambiar, por ejemplo con un presentador que abre puertas al azar o que solo ofrece el cambio cuando le conviene. Esa es la lección que va más allá de los concursos. Antes de fiarte de una probabilidad, pregúntate cómo se eligió la información que tienes delante.
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