Por qué la ecuación explícita es tan útil
Cuando una ecuación está escrita de esta forma, puedes leer directamente la pendiente y el punto de partida y dibujar la recta en pocos segundos. A continuación verás cómo leerla, cómo obtenerla a partir de dos puntos o de otra forma de la ecuación, y los errores que más se repiten.
¿Cómo se halla la ecuación explícita de una recta?
Para hallar la ecuación explícita necesitas dos datos, la pendiente m y la ordenada en el origen n. La pendiente se obtiene a partir de dos puntos con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Después sustituyes un punto y la pendiente en y = mx + n y despejas n. Escribe el resultado con tus números en lugar de m y n.
Ejemplo
Halla la recta que pasa por los puntos (1, 5) y (3, 9).
- Pendiente: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
- Usa el punto (1, 5): 5 = 2 · 1 + n, así que n = 3
- Ecuación: y = 2x + 3
- Compruébalo con el otro punto (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Funciona.
Esta comprobación final lleva diez segundos y detecta la mayoría de los errores, así que vale la pena convertirla en un hábito.
¿Y si la pendiente es una fracción?
Aquí las fracciones son totalmente normales, y que salga una fracción no significa que te hayas equivocado. Toma los puntos (4, 0) y (−2, 4). La pendiente es (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Entonces 0 = −2/3 · 4 + n da n = 8/3, por lo que y = −2/3x + 8/3. Compruébalo con (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Deja la pendiente en forma de fracción en lugar de redondearla a un decimal, porque la fracción es exacta y la comprobación saldrá perfecta. Si las fracciones son lo que te frena, unas cuantas rondas del juego de fracciones te ayudarán a encontrar fracciones equivalentes y a simplificar mucho más rápido.
En la ronda de arriba, 7/10 = 70/100, porque el numerador y el denominador se multiplican los dos por 10.
¿Qué significan m y n en y = mx + n?
En y = mx + n, m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. La pendiente indica cuánto cambia y cuando x aumenta 1, es decir, cuánto sube la recta por cada unidad que avanza. La ordenada en el origen es el valor de y cuando x = 0, que corresponde al punto (0, n) del eje y.
Ejemplo
En y = 3x − 2, la pendiente es 3 y la ordenada en el origen es −2. La recta corta al eje y en (0, −2), y cada paso de 1 hacia la derecha la hace subir 3. En y = −2x + 4, la pendiente es −2, de modo que la recta baja 2 por cada paso hacia la derecha, y corta al eje y en (0, 4).
El libro de texto OpenStax College Algebra 2e (en inglés) describe la pendiente como «lo que sube entre lo que avanza» y la ordenada en el origen como el punto donde el valor de entrada es cero. Una pendiente positiva sube de izquierda a derecha, una negativa baja, y cuanto mayor es el número (sin tener en cuenta el signo), más inclinada es la recta.
Una forma cotidiana de imaginar m y n
Una vela mide 20 cm de alto y se consume 2 cm cada hora. Su altura después de t horas es h = −2t + 20. El 20 es el punto de partida (n) y el −2 es cuánto cambia cada hora (m). Al cabo de 3 horas mide 14 cm, y al cabo de 10 horas se ha consumido del todo. A muchos estudiantes les resulta más fácil pensar en n como el valor inicial y en m como el cambio en cada paso.
¿Cómo se representa una recta en forma explícita?
Para representar y = mx + n, empieza por la ordenada en el origen, el punto (0, n) del eje y. Desde ahí, usa la pendiente como «lo que sube entre lo que avanza». Desplázate hacia la derecha lo que avanza y hacia arriba lo que sube (o hacia abajo si la pendiente es negativa) para encontrar un segundo punto. Traza una recta por los dos puntos y prolóngala.
Ejemplo
Representa y = 2x + 1.
- Marca la ordenada en el origen (0, 1).
- La pendiente 2 equivale a 2/1, así que avanza 1 hacia la derecha y sube 2. Llegas a (1, 3).
- Traza la recta que pasa por (0, 1) y (1, 3).
Con una pendiente como −2/3, avanza 3 hacia la derecha y baja 2. Si usas el denominador como avance, siempre caes en puntos de la cuadrícula y es más fácil dibujar la recta con precisión.
¿Cómo se pasa de la ecuación general a la explícita?
Para pasar una ecuación como Ax + By = C a forma explícita, despeja la y. Pasa el término en x al otro lado y divide cada término entre el número que acompaña a la y. El número que acompaña a la x es ahora la pendiente, y el número que queda solo es la ordenada en el origen.
Ejemplo
Transforma 2x + 3y = 6.
- Resta 2x en los dos miembros: 3y = −2x + 6
- Divide cada término entre 3: y = −2/3x + 2
La pendiente es −2/3 y la ordenada en el origen es 2. Un despiste frecuente es leer la pendiente como 2 directamente en 2x + 3y = 6. Los números solo indican la pendiente y la ordenada en el origen cuando la y está sola en un miembro.
¿Ecuación punto-pendiente o ecuación explícita?
La ecuación punto-pendiente, y − y₁ = m(x − x₁), es práctica cuando conoces un punto y la pendiente, porque la puedes escribir enseguida. Para el punto (1, 5) y la pendiente 2 obtienes y − 5 = 2(x − 1). Desarrolla y simplifica, y = 2x − 2 + 5, y vuelves a tener y = 2x + 3. Las dos formas describen la misma recta.
¿Qué rectas no se pueden escribir en forma explícita?
Las rectas verticales no se pueden escribir en forma explícita. Todos los puntos de una recta vertical tienen la misma x, de modo que el avance es 0 y calcular la pendiente supondría dividir entre cero. Por eso la pendiente de una recta vertical no está definida. La recta vertical que pasa por x = 3 se escribe simplemente x = 3.
Ejemplo
Los puntos (3, 1) y (3, 6) están en una recta vertical. La pendiente sería (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, que no tiene resultado. Por tanto, la recta es x = 3. Además, una recta vertical nunca corta al eje y, salvo que sea el propio eje y, así que no tiene ordenada en el origen que poner en lugar de n.
Las rectas horizontales no dan problemas. Los puntos (−1, 4) y (5, 4) dan una pendiente de 0 : 6 = 0, por lo que la recta es y = 0x + 4, que es simplemente y = 4.
¿Cuáles son los errores más habituales con la ecuación explícita?
La mayoría de los errores con la ecuación explícita son pequeños despistes, no problemas de comprensión. Se intercambian las coordenadas de un punto, se resta en distinto orden arriba y abajo en la fórmula de la pendiente, o se leen m y n antes de despejar la y. Comprobar la ecuación final con uno de los puntos de partida los detecta casi todos.
Soluciones rápidas para cada despiste
Estos son los despistes que aparecen una y otra vez, con una solución rápida para cada uno.
- Confundir x e y en un punto. (5, 7) significa x = 5 e y = 7. Al leerlo, piensa «primero en horizontal, luego en vertical».
- Cambiar el orden de la resta. Si arriba haces 9 − 5, abajo haz 3 − 1, con el mismo punto en primer lugar las dos veces.
- Confundir m y n. En y = 4 + 3x la pendiente sigue siendo 3, porque m es el número que acompaña a la x, esté donde esté.
- Perder un signo menos. En y = −x + 2 la pendiente es −1, no 1.
- Pensar que una fracción tiene que estar mal. Pendientes como 3/4 o −2/3 son tan válidas como 2.
Practicar la ecuación explícita hasta que salga sola
Leer rectas con rapidez se consigue viendo muchas. En el juego de funciones lineales, cada ataque es una pregunta sobre una recta, así que practicas mucho a reconocer pendientes y ordenadas en el origen sin que parezca que haces deberes.
Despejar n también es solo una pequeña ecuación de un paso. Si es en ese paso donde te atascas, el juego de ecuaciones es un buen calentamiento.
Las letras cambian según el país. En España se escribe y = mx + n, mientras que en Estados Unidos y en buena parte de Latinoamérica se escribe y = mx + b, en Francia y Polonia y = ax + b, en Rusia y = kx + b y en Italia y = mx + q. Sean cuales sean las letras, el número que acompaña a la x es siempre la pendiente y el número que va solo indica dónde corta la recta al eje y.
Dos números describen cualquier recta que no sea vertical
Cualquier recta que no sea vertical se puede escribir como y = mx + n, así que bastan dos números para describirla por completo. La pendiente dice cuánto se inclina y hacia dónde, y la ordenada en el origen dice dónde empieza. Halla esos dos números, comprueba la ecuación con un punto y lo demás viene solo.
Entrena estos a continuación