¿Cómo se calcula la desviación estándar paso a paso?
Para calcular la desviación estándar, halla la media, réstala de cada valor, eleva al cuadrado cada diferencia y suma los cuadrados. Divide ese total entre el número de valores, lo que da la varianza. Por último, saca la raíz cuadrada de la varianza. El resultado es la desviación estándar, de nuevo en las unidades originales de los datos.
Ejemplo
Dos equipos de 8 jugadores responden al mismo cuestionario de 10 preguntas. Toma el equipo B, cuyas puntuaciones son 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 y 9.
- Halla la media. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, y 40 ÷ 8 = 5
- Resta la media de cada valor. Esto da −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Eleva al cuadrado cada diferencia. Esto da 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Suma los cuadrados. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Divide entre el número de valores. 32 ÷ 8 = 4, que es la varianza
- Saca la raíz cuadrada. √4 = 2, así que la desviación estándar es 2
El mismo cálculo, valor a valor, ayuda a no perderse.
- 2 − 5 = −3, y (−3)² = 9
- 4 − 5 = −1, y (−1)² = 1, tres veces
- 5 − 5 = 0, y 0² = 0, dos veces
- 7 − 5 = 2, y 2² = 4
- 9 − 5 = 4, y 4² = 16
Fíjate en que las propias diferencias, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 y 4, suman 0. Eso pasa siempre, y explica por qué se elevan al cuadrado, como muestra el siguiente apartado. El último paso necesita una raíz cuadrada, y unas cuantas rondas de raíces cuadradas hacen que sea mucho más rápido estimarlas mentalmente.
¿Cuál es la fórmula de la desviación estándar?
La desviación estándar poblacional es σ = √(Σ(x − μ)² ÷ N). Aquí x es cada valor, μ es la media, N es el número de valores y Σ significa «súmalos todos». Para una muestra tomada de un grupo más grande, divide entre n − 1 en lugar de N. Esa versión se escribe s.
Ejemplo
Si el equipo B es todo el grupo que te interesa, usa N. La varianza es 32 ÷ 8 = 4, y σ = √4 = 2.
Si los 8 jugadores son una muestra elegida para representar a todo un colegio, usa n − 1. La varianza es 32 ÷ 7 ≈ 4,57, y s = √4,57 ≈ 2,14.
¿Por qué se divide entre n − 1 en una muestra?
Una muestra suele dejar fuera algunos de los valores más extremos del grupo completo, así que su dispersión tiende a salir un poco pequeña. Dividir entre n − 1, un número algo menor, hace que el resultado sea un poco mayor y lo corrige. Con muestras grandes, la diferencia entre las dos versiones se vuelve mínima.
Las calculadoras y las hojas de cálculo suelen ofrecer las dos versiones. Un botón o una función marcados con σ o «población» dividen entre N, y uno marcado con s o «muestra» divide entre n − 1. Comprueba cuál espera tu profesor o tu libro de texto, porque las dos son correctas en su propia situación.
¿Por qué se elevan al cuadrado las diferencias en la desviación estándar?
Las diferencias respecto a la media siempre suman cero, porque los valores por encima de la media compensan los que están por debajo. Elevar al cuadrado hace que todas las diferencias sean positivas, así que ya no se anulan. La raíz cuadrada del final devuelve el resultado a las unidades originales, de modo que una dispersión en puntos se mide en puntos.
Ejemplo
En el equipo B, las diferencias eran −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 y 4. Su total es 0, así que su media simple también es 0, lo que no dice nada sobre la dispersión. Al elevarlas al cuadrado, quedan 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 y 16, que suman 32.
Elevar al cuadrado también da más peso a los valores lejanos. El NIST Engineering Statistics Handbook lo ilustra con claridad. Un punto a 2 unidades de la media suma 4 al total, mientras que un punto a 10 unidades suma 100. Eso hace que la desviación estándar sea sensible a un solo valor extremo, como una puntuación de 0 en un grupo que por lo demás sacó buenas notas.
Hay una medida más sencilla que se salta el cuadrado. La desviación media toma la distancia de cada valor a la media, ignora los signos menos y calcula su promedio. En el equipo B, las distancias 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 y 4 suman 12, y 12 ÷ 8 = 1,5. Es más fácil de calcular a mano, pero la desviación estándar es la medida en la que se basan la mayoría de herramientas y fórmulas estadísticas.
¿Qué es una desviación estándar alta o baja?
No hay un único número que cuente como desviación estándar alta o baja. Depende del tamaño de los valores y de lo que miden. Una desviación estándar de 2 puntos es grande para puntuaciones sobre 10, pero diminuta para puntuaciones sobre 1000. Compárala con la media y con el rango de valores posibles.
Ejemplo
Ahora compara el equipo B con el equipo A del mismo cuestionario.
- Equipo A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
- Equipo B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Los dos equipos tienen una media de 5, porque cada lista suma 40 y 40 ÷ 8 = 5. Pero las puntuaciones del equipo A se agrupan alrededor del 5, mientras que las del equipo B están repartidas del 2 al 9. La desviación estándar del equipo A es 1 punto, y la del equipo B es 2 puntos.
La media por sí sola haría que estos equipos parecieran idénticos. La desviación estándar muestra que el equipo A es muy regular, mientras que el equipo B tiene algunos jugadores muy por delante y otros muy por detrás.
Otro ejemplo
Dos panaderías venden panes con un peso medio de 500 g. En la primera, la desviación estándar es de 5 g, así que casi todos los panes pesan cerca de 500 g. En la segunda, es de 40 g, así que algunos panes son claramente más ligeros y otros más pesados. Las medias coinciden, pero la primera panadería es mucho más regular.
Una desviación estándar baja no siempre es mejor. En un aula, una desviación estándar alta en los resultados de un examen puede mostrar simplemente que los niños están en etapas muy distintas, algo útil para un docente. En una fábrica, una desviación estándar baja suele significar que las máquinas son fiables. El número describe la dispersión, y el contexto decide si esa dispersión es una buena noticia.
Una desviación estándar nunca puede ser negativa, porque sale de la raíz cuadrada de números al cuadrado. Solo es 0 cuando todos los valores son iguales.
¿Qué significa la regla 68-95-99,7?
En datos que siguen una distribución normal, la conocida campana de Gauss, alrededor del 68 % de los valores está a menos de una desviación estándar de la media. Alrededor del 95 % está a menos de dos desviaciones estándar, y alrededor del 99,7 % a menos de tres. Se llama regla empírica, y convierte una desviación estándar en una imagen rápida de los datos.
Ejemplo
Supón que los tiempos de una carrera de 1 km en un grupo grande siguen una campana de Gauss con una media de 6 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. Entonces, alrededor del 68 % de los corredores termina entre 5 y 7 minutos. Alrededor del 95 % termina entre 4 y 8 minutos, y casi todos terminan entre 3 y 9 minutos.
La regla solo funciona bien con datos en forma de campana. Los grupos pequeños, como los dos equipos del cuestionario, rara vez la siguen de cerca. En datos asimétricos, como los ingresos o los tiempos de espera, la media y la desviación estándar pueden dar una imagen engañosa, y la mediana y el rango suelen describir mejor los datos.
La media es el punto de partida de toda desviación estándar, así que ayuda calcular promedios con rapidez. En el juego de estadística, cada ataque de un combate es una pregunta de estadística, así que hallar una media mentalmente pasa a formar parte de ganar una ronda. Las rondas cortas y frecuentes desarrollan esa rapidez mejor que una sesión larga.
La desviación estándar es la distancia típica a la media
La desviación estándar responde a una pregunta. ¿A qué distancia de la media está un valor típico? Sigue estos pasos siempre que necesites calcularla a mano.
- Halla la media.
- Resta la media de cada valor.
- Eleva al cuadrado cada diferencia.
- Suma los cuadrados.
- Divide entre N para una población completa, o entre n − 1 para una muestra.
- Saca la raíz cuadrada.
Un resultado pequeño significa que los valores están juntos, y uno grande significa que están dispersos. Léelo siempre junto a la media y las unidades, porque una dispersión solo tiene sentido en su contexto.
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