¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro?
Para calcular el volumen de un cilindro, eleva al cuadrado el radio de la base circular, multiplica por π, que vale aproximadamente 3,14, y después multiplica por la altura. Esa es la fórmula V = πr²h. Escribe el resultado en unidades cúbicas, como cm³ o m³, porque el volumen mide el espacio que hay dentro de un cuerpo, no una longitud ni una superficie.
Ejemplo
Calcula el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 10 cm de altura.
- Eleva el radio al cuadrado. 3 · 3 = 9
- Multiplica por π para obtener el área de la base. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Multiplica por la altura. 9π · 10 = 90π
- Añade las unidades cúbicas. El volumen es de unos 282,74 cm³
También puedes dejar el resultado como 90π cm³. Esta forma exacta evita redondear y es habitual en los últimos cursos.
El despiste más frecuente es multiplicar el radio por 2 en lugar de elevarlo al cuadrado. Con un radio de 3 cm, 3 · 2 = 6, pero 3² = 9. Otro es elevar también la altura al cuadrado. Solo el radio va al cuadrado, porque solo la base es un círculo.
¿Por qué el volumen de un cilindro es πr²h?
Un cilindro es una pila de círculos iguales, como un montón de monedas. Cada círculo tiene un área de πr², y la pila mide h unidades de alto. Por eso el volumen es el área de la base multiplicada por la altura. Los prismas siguen la misma regla, V = área de la base · altura.
Ejemplo
Imagina una pila de galletas redondas y finas, cada una con un área de 20 cm². Si la pila mide 5 cm de alto, ocupa 20 · 5 = 100 cm³ de espacio. Un cilindro con un área de la base de 20 cm² y una altura de 5 cm tiene el mismo volumen.
Esta imagen también explica qué pasa cuando el cilindro cambia de forma. Si duplicas la altura, duplicas el número de capas, así que el volumen se duplica. Si duplicas el radio, cada capa se hace cuatro veces más grande, porque el radio va al cuadrado. Así que el volumen se multiplica por cuatro.
Un cilindro también encaja muy bien junto a otros dos cuerpos redondos. Un cono con la misma base y la misma altura contiene exactamente un tercio del cilindro. Una esfera que cabe justa dentro de un cilindro ocupa dos tercios de él, un resultado del que, según la Britannica, Arquímedes estaba tan orgulloso que pidió que lo grabaran en su tumba.
¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro a partir del diámetro?
Para calcular el volumen a partir del diámetro, divide el diámetro entre 2 para obtener el radio y luego usa V = πr²h. El diámetro es la distancia de un lado a otro de la base circular pasando por el centro, así que es el doble del radio. En un solo paso, la fórmula es V = πd²h : 4, que da exactamente el mismo resultado.
Ejemplo
Una lata tiene 8 cm de diámetro y 12 cm de altura. La mitad del diámetro da un radio de 4 cm. Entonces 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Con la fórmula de un solo paso, 8² = 64, y luego 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Los dos caminos coinciden.
Poner el diámetro directamente en πr²h es un error muy común. Con la lata anterior, eso da 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, que es cuatro veces demasiado. Si un resultado te parece sorprendentemente grande, comprueba que has dividido antes el diámetro entre 2.
¿Cómo se pasa el volumen de un cilindro a litros?
Para pasar el volumen de un cilindro a litros, calcula el volumen en centímetros cúbicos y divide entre 1000, porque 1 litro son 1000 cm³. Si el volumen está en metros cúbicos, multiplica por 1000, porque en 1 m³ caben 1000 litros. Antes de empezar, asegúrate de que todas las medidas están en la misma unidad.
Ejemplo
Un vaso tiene 7 cm de diámetro y 10 cm de altura, medidos por dentro.
- Calcula el radio. 7 : 2 = 3,5 cm
- Calcula el volumen. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Pasa a litros. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 litros, o unos 385 ml
Para un ejemplo más grande, toma un depósito de agua de 0,5 m de radio y 1,2 m de altura. Su volumen es 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplica por 1000 y verás que el depósito contiene unos 942 litros.
Un problema frecuente son las unidades mezcladas, como un radio en centímetros y una altura en metros. Primero pásalo todo a una misma unidad. Pasar de cm³ a m³, mililitros y litros resulta mucho más rápido con unas cuantas rondas de conversión de unidades.
¿Cómo se calcula la altura o el radio de un cilindro a partir de su volumen?
Para calcular la altura, divide el volumen entre el área de la base, es decir, h = V : (πr²). Para calcular el radio, divide el volumen entre π por la altura y luego haz la raíz cuadrada, es decir, r = √(V : (πh)). Las dos fórmulas son simplemente V = πr²h al revés, paso a paso.
Ejemplo
Una jarra cilíndrica debe contener 1 litro, que son 1000 cm³, y su radio es de 5 cm. Su altura debe ser 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Ahora al revés. Un cilindro de 10 cm de altura contiene 500 cm³. Su radio es √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Para comprobar cualquiera de los dos resultados, vuelve a poner los números en V = πr²h. Para la jarra, π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, así que la altura es correcta.
La fórmula se queda mejor cuando la usas a menudo, con números distintos. En el juego de geometría, cada ataque de un combate es una pregunta sobre figuras, así que recordar πr²h rápidamente pasa a formar parte de ganar una ronda. En el juego π cuenta como 3, así que cada resultado es un número entero que puedes calcular de cabeza. Las rondas cortas y frecuentes funcionan mejor que una sesión larga.
¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro hueco?
Un cilindro hueco, como un tubo, es un cilindro grande al que se le ha quitado uno más pequeño del centro. Calcula el volumen del cilindro exterior, resta el volumen del hueco, y lo que queda es el material. Como fórmula, es V = π(R² − r²)h, donde R es el radio exterior y r es el radio interior.
Ejemplo
Un tubo mide 100 cm de largo, con un radio exterior de 5 cm y un radio interior de 4 cm.
- Eleva los dos radios al cuadrado. 5² = 25 y 4² = 16
- Resta. 25 − 16 = 9
- Multiplica por π y por la longitud. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Un error común es restar los radios antes de elevarlos al cuadrado. Eso da (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, que es muchísimo menos. Primero eleva cada radio al cuadrado y después resta.
Calcula primero el área de la base y luego multiplica por la altura
Cualquier problema de volumen de un cilindro se reduce a los mismos dos pasos. Calcula el área de la base circular y luego multiplica por la altura. Usa esta lista para elegir el punto de partida correcto.
- Con el radio r y la altura h: V = πr²h
- Con el diámetro d: r = d : 2, o V = πd²h : 4
- Para calcular la altura: h = V : (πr²)
- Para calcular el radio: r = √(V : (πh))
- Cilindro hueco: V = π(R² − r²)h
- Litros: cm³ : 1000, o m³ · 1000
Escribe el resultado en unidades cúbicas y pasa a litros solo al final, cuando el volumen ya sea correcto.