Los números enteros en la recta numérica
En la recta numérica, los números enteros son los puntos, todos a la misma distancia, a los que llegas al contar hacia delante o hacia atrás desde el 0. Números como 1/2, 3,5 o √2 quedan en los huecos entre ellos, así que no son enteros. Aquí verás cómo distinguirlos, por qué el cero también cuenta y cómo funcionan de verdad las reglas de los signos.
¿Cómo sabes si un número es entero?
Un número es entero si puedes escribirlo sin fracción ni parte decimal. Puede ser positivo, negativo o cero. El libro de texto OpenStax Prealgebra 2e (en inglés) lo resume de forma sencilla: los enteros son los números que usamos para contar, sus opuestos y el cero. Por tanto, 7, −7 y 0 son enteros, pero 7,5 no.
Ejemplo
Prueba con estos casos rápidos.
- −12 es entero, porque es el opuesto de 12, un número que usamos para contar.
- 0 es entero.
- 3,5 no es entero, porque tiene parte decimal.
- 1/2 no es entero.
- 8/2 es entero, porque 8/2 = 4.
- √9 es entero, porque √9 = 3.
- √2 no es entero, porque vale aproximadamente 1,41.
Los últimos casos enseñan un buen hábito. Primero calcula el valor y después decide. Un número puede parecer una fracción o una raíz y, aun así, resultar ser entero.
¿El 0 es un número entero?
Sí, el 0 es un número entero. Está en el centro de la recta numérica, entre los enteros negativos y los positivos. El cero no es ni positivo ni negativo, como dice expresamente OpenStax. Eso sí, es par, porque 0 = 2 × 0, así que al dividirlo entre 2 no sobra nada.
¿Los números negativos son enteros?
Los números negativos son enteros solo si no tienen fracción ni parte decimal. −5 y −100 son enteros. −2,5 y −3/4 son negativos, pero no son enteros. La misma prueba sirve para cualquier número, sea cual sea su signo.
¿Qué diferencia hay entre números enteros y números naturales?
Los números naturales son los que usamos para contar, 1, 2, 3 y así sucesivamente, sin negativos. Muchos libros de texto también incluyen el 0. Los números enteros contienen todos los naturales y, además, sus opuestos, −1, −2, −3, etc. Por tanto, −4 es un número entero pero no es natural. El propio nombre lo dice, un número entero está "completo", sin trozos decimales ni fracciones. Si tienes dudas con el 0, mira qué definición usa el libro de texto de tu hijo.
Ejemplo
Así encajan unos conjuntos de números dentro de otros.
- Números naturales: 1, 2, 3, 4, …
- Números naturales con el cero: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Números enteros: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Números racionales: todos los que se pueden escribir como fracción de dos enteros, como 1/2, −3/4 y 7 (que es 7/1)
Los matemáticos escriben el conjunto de los números enteros como ℤ. La letra viene de la palabra alemana Zahlen, que significa "números". Los naturales se escriben ℕ. Como acabas de ver, ni siquiera con ellos hay un acuerdo total, porque unos libros empiezan por el 0 y otros por el 1.
¿Dónde encontramos los números enteros en la vida real?
Los números enteros aparecen siempre que contamos hacia arriba y hacia abajo desde un punto cero. Las temperaturas bajo cero, las plantas por debajo de la calle, las profundidades bajo el nivel del mar o la diferencia de goles de un equipo de fútbol son enteros que pueden ser negativos. En todos estos casos, el 0 es un punto de referencia, no "nada".
Ejemplo
Por la mañana hace −4 °C y a la hora de comer la temperatura ha subido 7 grados. Empieza en −4 y sube 7 pasos por la recta numérica: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. A mediodía hace 3 °C, así que −4 + 7 = 3.
En un ascensor, la planta baja suele ser el 0, el garaje puede estar en la planta −2 y la quinta planta es el 5. Para ir de la −2 a la 5 recorres 7 plantas, porque 5 − (−2) = 7.
¿Cómo se suman y se restan números enteros?
Para sumar enteros, imagina una recta numérica. Sumar un número positivo te mueve hacia la derecha y sumar un número negativo te mueve hacia la izquierda. Restar es lo contrario de sumar, así que restar un número negativo te mueve hacia la derecha. Por eso, cuando quitas un negativo, el resultado es mayor.
Ejemplo
Calcula −3 + 5. Empieza en −3 y da 5 pasos hacia la derecha. Pasas por −2, −1, 0 y 1, y te paras en 2. Así que −3 + 5 = 2.
Unos cuantos más para practicar.
- −6 + 2 = −4, porque 2 pasos a la derecha desde −6 te llevan a −4.
- −2 − 5 = −7, porque 5 pasos a la izquierda desde −2 te llevan a −7.
- 4 − (−3) = 7, porque restar −3 es lo mismo que sumar 3.
¿Por qué restar un negativo da un resultado mayor?
Restar significa preguntarse "¿cuál es la diferencia?". La diferencia entre 4 y −3 en la recta numérica es de 7 pasos, así que 4 − (−3) = 7. OpenStax escribe la regla general como a − (−b) = a + b. Muchos niños se atascan con −5 + 4 porque ven un signo más y esperan un número mayor. Si empiezas en −5 y avanzas 4 hacia la derecha, ves que el resultado es −1.
¿Por qué menos por menos es más?
Cuando multiplicas dos enteros, el resultado es positivo si los signos son iguales y negativo si son distintos. Un negativo por un negativo da positivo por un patrón. Cada vez que el primer número baja 1, el resultado cambia en la misma cantidad, y ese patrón solo continúa si el resultado pasa a ser positivo.
Ejemplo
Fíjate en qué pasa con 3 × (−2) cuando el primer número baja de 1 en 1.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultado es 2 más que el anterior. Para que el patrón continúe después del cero, (−1) × (−2) tiene que ser 2. Otra forma de verlo es que multiplicar por −1 te hace dar media vuelta en la recta numérica. Si das media vuelta dos veces, vuelves a mirar hacia el mismo lado.
¿La división de enteros sigue la misma regla de los signos?
Sí. (−12) : 3 = −4 y (−12) : (−3) = 4, con la misma regla de signos iguales y distintos. Pero hay una diferencia. Sumar, restar o multiplicar dos enteros siempre da un entero, pero dividir no siempre. 8 : 2 = 4 es entero, mientras que 7 : 2 = 3,5 no lo es.
¿Cómo se gana rapidez con los números enteros?
La rapidez con los enteros llega haciendo muchos cálculos cortos hasta que tienes la recta numérica en la cabeza. En el juego de números negativos, cada ataque es un cálculo rápido con números negativos, así que los niños practican las reglas de los signos mientras intentan ganar el combate.
En la ronda de arriba, restar −17 es lo mismo que sumar 17, así que −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
La distancia de un número al cero se llama valor absoluto, así que el valor absoluto de −5 es 5. Es la siguiente idea que suelen estudiar los alumnos después de los enteros, y el juego de valor absoluto la convierte en una serie de rondas rápidas.
Los números enteros son los que alcanzas contando hacia delante o hacia atrás
Cada número entero es un paso al que puedes llegar contando desde el 0, hacia la derecha para los positivos y hacia la izquierda para los negativos. El cero está en el centro y también forma parte del grupo. Si un niño es capaz de imaginar esta recta numérica, las reglas para sumar, restar y multiplicar dejan de ser reglas para memorizar y empiezan a tener sentido.
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