Comment calculer le périmètre d'un cercle à partir du rayon ou du diamètre ?
Pour trouver le périmètre d'un cercle, multipliez le diamètre par π, environ 3,14, donc C = πd. Le diamètre est la distance d'un bord à l'autre en passant par le centre. Si vous ne connaissez que le rayon, c'est-à-dire la distance du centre au bord, doublez-le d'abord ou utilisez C = 2πr. Les deux méthodes donnent la même longueur.
Exemple
Calculez le périmètre d'un cercle de rayon 4 cm.
- Doublez le rayon pour obtenir le diamètre. 2 × 4 = 8 cm
- Multipliez par π. 8 × π ≈ 25,13
- Ajoutez l'unité. Le périmètre mesure environ 25,13 cm
Vous pouvez aussi laisser la réponse sous la forme 8π cm. Cette forme exacte est courante dans les classes plus avancées, car elle évite d'arrondir.
Avec le diamètre, une seule étape suffit. Une table ronde de 1,2 m de diamètre a un périmètre de 1,2 × π ≈ 3,77 m, donc une bande de finition pour son bord doit mesurer un peu moins de 4 m.
Faut-il utiliser 3,14 ou la touche π ?
Les deux conviennent, tant que vous suivez ce que demande l'énoncé. π est irrationnel, ses décimales ne s'arrêtent donc jamais et ne se répètent pas, et Britannica indique que 3,14 ou 22/7 sont les approximations courantes au quotidien. Avec 3,14, le premier exemple donne 8 × 3,14 = 25,12 cm. Avec la touche π de la calculatrice, on obtient 25,13 cm. Le petit écart vient uniquement de l'arrondi de π.
L'erreur la plus fréquente
L'erreur qui fait perdre le plus de points en contrôle est de mettre le diamètre dans C = 2πr. Avec un diamètre de 10 cm, cela donne 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, soit deux fois trop. La bonne réponse est 10 × π ≈ 31,42 cm. Si vous avez le diamètre, utilisez πd. Si vous avez le rayon, utilisez 2πr.
Pourquoi le périmètre vaut-il π fois le diamètre ?
π est défini comme le périmètre d'un cercle divisé par son diamètre. Tous les cercles, d'une pièce de monnaie à une planète, ont la même forme, donc ce rapport ne change jamais. C'est pourquoi C = πd fonctionne pour tous les cercles. Faites rouler un cercle le long d'une droite sur un tour complet, et il parcourt un peu plus de trois diamètres.
Exemple
Imaginez une pièce de 2 cm de diamètre. Marquez un point sur son bord, puis faites-la rouler le long d'une règle sur exactement un tour. Le point retouche la règle à environ 6,28 cm, car 2 × π ≈ 6,28. Trois diamètres font 6 cm, et le petit morceau en plus correspond aux 0,28 cm qui transforment 3 en 3,14.
Vous pouvez le vérifier à la maison avec une boîte ronde, un bout de ficelle et une règle, ou avec n'importe quel objet rond et un mètre ruban. Mesurez le périmètre et le diamètre, puis divisez l'un par l'autre. Le résultat est toujours proche de 3,14, et les petites erreurs viennent de la mesure à la main.
La lettre grecque π a été utilisée pour la première fois pour ce rapport par William Jones en 1706, selon Britannica. Le même article décrit comment Archimède a encadré π entre 223/71 et 22/7 en traçant des polygones à l'intérieur et à l'extérieur d'un cercle.
Comment trouver le diamètre ou le rayon à partir du périmètre ?
Pour trouver le diamètre à partir du périmètre, divisez le périmètre par π, donc d = C ÷ π. Pour trouver le rayon, divisez plutôt par 2π, donc r = C ÷ (2π). Cela fonctionne parce qu'on applique simplement la formule du périmètre à l'envers. Mesurez le tour, et la largeur s'en déduit.
Exemple
Un tronc d'arbre mesure 150 cm de tour. Son diamètre est 150 ÷ π ≈ 47,75 cm, et son rayon en est la moitié, environ 23,87 cm.
C'est une astuce pratique pour tout ce qu'on ne peut pas mesurer d'un bord à l'autre, comme un arbre, un pilier ou un tuyau. Un mètre ruban autour de l'objet, suivi d'une seule division, vous donne le diamètre.
Comment trouver le périmètre à partir de l'aire ?
Pour trouver le périmètre à partir de l'aire, cherchez d'abord le rayon. Divisez l'aire par π, puis prenez la racine carrée, donc r = √(A ÷ π). Utilisez ensuite C = 2πr. Gardez le rayon complet dans la calculatrice et n'arrondissez qu'à la fin, pour que les petites erreurs d'arrondi ne s'additionnent pas.
Exemple
Un cercle a une aire de 100 cm².
- Trouvez le rayon. 100 ÷ π ≈ 31,83, et √31,83 ≈ 5,64 cm
- Trouvez le périmètre. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
Il existe aussi une formule en une seule étape, C = 2√(πA). Avec 100 cm², elle donne 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, la même réponse. Si les racines carrées vous semblent lentes, quelques parties de racines carrées rendent cette étape bien plus rapide.
Quelle distance parcourt une roue en un tour ?
Une roue parcourt un périmètre à chaque tour complet, tant qu'elle roule sans glisser. La distance pour un tour est donc π fois le diamètre de la roue. Une roue de vélo de 70 cm de diamètre avance d'environ 2,2 m par tour, et 1 000 tours la font avancer d'environ 2,2 km.
Exemple
Pour la roue de 70 cm, un tour fait 70 × π ≈ 219,9 cm, soit environ 2,2 m. Pour parcourir 1 km, c'est-à-dire 100 000 cm, la roue tourne 100 000 ÷ 219,9 ≈ 455 fois.
C'est exactement ainsi que beaucoup de compteurs de vélo et de podomètres estiment la distance. Ils comptent les tours ou les pas et les multiplient par une longueur connue. C'est aussi une belle façon de montrer aux enfants que π n'est pas qu'un nombre d'école.
La formule se retient mieux quand on l'utilise souvent, avec des nombres différents. Dans le jeu de géométrie, chaque attaque d'un combat est une question sur les formes, donc se rappeler vite C = πd fait partie de la victoire d'une manche. Dans le jeu, π compte pour 3, donc chaque réponse est un nombre entier que vous pouvez calculer de tête. Des parties courtes et fréquentes fonctionnent mieux qu'une longue séance.
Quel est le périmètre d'un demi-cercle ?
Le périmètre d'un demi-cercle est la moitié du périmètre du cercle plus le bord droit, donc P = πr + 2r. Une erreur fréquente est de s'arrêter à πr et d'oublier le diamètre en bas. Pour un rayon de 5 cm, la partie courbe mesure 5π ≈ 15,71 cm, et en ajoutant 10 cm on obtient environ 25,71 cm.
Quel est le lien entre le périmètre et le cercle trigonométrique ?
Un cercle trigonométrique a un rayon de 1, donc son périmètre vaut exactement 2π. C'est pourquoi un tour complet vaut 2π radians en trigonométrie. Le cercle trigonométrique utilise cette idée pour mesurer les angles comme des distances le long du bord.
Avec le rayon ou le diamètre, vous avez le périmètre
Presque toutes les questions sur le périmètre se résument à une multiplication dès que vous connaissez le rayon ou le diamètre. Utilisez cette liste pour choisir la bonne étape.
- Avec le rayon r : C = 2πr
- Avec le diamètre d : C = πd
- Avec le périmètre, pour trouver le diamètre : d = C ÷ π
- Avec le périmètre, pour trouver le rayon : r = C ÷ (2π)
- Avec l'aire A : r = √(A ÷ π), puis C = 2πr
- Demi-cercle : P = πr + 2r
La réponse est toujours une longueur, donc écrivez-la en cm, en m ou dans une autre unité de longueur, jamais en unités carrées.
À entraîner ensuite