Comment construire la suite de Fibonacci ?
Pour construire la suite de Fibonacci, écrivez 0 et 1, puis additionnez les deux derniers nombres pour obtenir le suivant, et répétez cette étape. Chaque nouveau nombre ne dépend que des deux précédents, donc la liste peut continuer à l'infini. Les nombres obtenus de cette façon s'appellent les nombres de Fibonacci.
Exemple
Construisez la suite étape par étape. Commencez par 0 et 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Chaque nouveau nombre n'a besoin que des deux derniers. C'est donc un bon défi de calcul mental pour les enfants, car les nombres grandissent vite mais la règle ne change jamais. La règle est assez simple pour un jeune enfant, et pourtant ces mêmes nombres apparaissent dans les tournesols, les pommes de pin et le nombre d'or.
La suite commence-t-elle par 0 ou par 1 ?
Les deux versions sont courantes. Beaucoup de livres commencent par 0, 1, 1, 2, 3, d'autres par 1, 1, 2, 3. Les nombres qui suivent sont les mêmes dans les deux cas. Les mathématiciens écrivent généralement la règle Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, avec F₀ = 0 et F₁ = 1, ce qui signifie « chaque terme est la somme des deux précédents ».
Des régularités cachées dans la suite
La suite contient de petites régularités que les enfants aiment découvrir. Un nombre sur trois est pair (0, 2, 8, 34, 144, 610), et tous les autres sont impairs. Un nombre sur cinq est divisible par 5 (0, 5, 55, 610). Demandez à un enfant de vérifier ces régularités plus loin dans la liste. C'est une façon amusante de s'entraîner à l'addition tout en repérant une structure.
D'où vient la suite de Fibonacci ?
La suite porte le nom de Léonard de Pise, dit Fibonacci, un mathématicien italien. Il l'a décrite dans son livre Liber abaci, écrit en 1202, à travers un problème de lapins. Selon Britannica, c'est la première suite récurrente connue en Europe, c'est-à-dire que chaque terme est construit à partir des termes précédents.
Exemple
Le problème des lapins fonctionne ainsi. On part d'un couple de lapins nouveau-nés. Un couple a besoin d'un mois pour devenir adulte, puis chaque couple adulte donne naissance à un nouveau couple chaque mois. Aucun lapin ne part jamais. Comptez les couples au début de chaque mois.
- Mois 1 : 1 couple (nouveau-né)
- Mois 2 : 1 couple (désormais adulte)
- Mois 3 : 2 couples (les adultes et leurs premiers petits)
- Mois 4 : 3 couples
- Mois 5 : 5 couples
- Mois 6 : 8 couples
Le total de chaque mois est égal au total du mois précédent plus le nombre de couples adultes, et les adultes correspondent exactement au total d'il y a deux mois. C'est la règle de Fibonacci. Bien sûr, les vrais lapins ne se comportent pas de façon aussi régulière. Le problème servait à décrire la régularité, pas à étudier les animaux.
Comment trouver le nombre suivant dans la suite de Fibonacci ?
Pour trouver le nombre de Fibonacci suivant, additionnez les deux derniers nombres de la liste. Après 21 et 34 vient 21 + 34 = 55, et après 34 et 55 vient 89. Pour trouver un nombre très loin dans la suite, tenez une liste au fur et à mesure, ou utilisez la formule de Binet, qui calcule directement n'importe quel terme à l'aide du nombre d'or.
Exemple
Trouvez le 10e nombre de Fibonacci, en comptant F₀ = 0 comme point de départ. En écrivant la liste, on obtient 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, donc F₁₀ = 55.
La formule de Binet donne la même réponse sans la liste. Élevez le nombre d'or φ (environ 1,618) à la puissance 10 et divisez par √5. On obtient environ 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, et en arrondissant à l'entier le plus proche, on trouve 55. Pour les élèves plus âgés, c'est une belle surprise, car un nombre construit avec des racines carrées tombe chaque fois tout près d'un nombre entier.
Repérer la règle derrière une liste de nombres est une compétence qui va bien au-delà de Fibonacci. Le jeu des suites de nombres en fait un combat, où chaque attaque est une suite dont il faut trouver le nombre manquant. C'est une façon rapide de s'entraîner à voir des régularités comme « additionner les deux derniers » sans rien écrire.
Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?
Si vous divisez chaque nombre de Fibonacci par le précédent, les résultats se rapprochent de plus en plus du nombre d'or, environ 1,618. Par exemple, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 et 89 : 55 ≈ 1,618. Le nombre d'or lui-même vaut (1 + √5) : 2, un nombre dont les décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais.
Exemple
Observez les quotients se stabiliser à mesure que les nombres grandissent.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Les résultats passent tantôt au-dessus, tantôt en dessous de 1,618, et s'en rapprochent à chaque fois. Britannica indique que ce lien a été décrit par le mathématicien Robert Simson en 1753.
Qu'est-ce que la spirale de Fibonacci ?
Dessinez un carré de côté 1, puis un autre carré de côté 1 à côté, puis un carré de côté 2, puis 3, puis 5, puis 8, chacun placé contre le rectangle déjà formé. Reliez les coins opposés de chaque carré par un quart de cercle et vous obtenez la spirale de Fibonacci. C'est une bonne approximation de la spirale d'or, qui grandit selon le nombre d'or à chaque quart de tour.
Où trouve-t-on la suite de Fibonacci dans la nature ?
Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent chez les plantes. Les graines d'un tournesol forment deux séries de spirales, et le nombre de spirales dans chaque sens est généralement une paire de nombres de Fibonacci voisins, comme 34 et 55 ou 55 et 89. Les pommes de pin présentent des spirales semblables, et beaucoup de fleurs ont 3, 5, 8, 13 ou 21 pétales.
Exemple
Prenez une pomme de pin ou une photo de tournesol et comptez les spirales qui tournent dans le sens des aiguilles d'une montre. Comptez ensuite celles qui tournent dans l'autre sens. Les pages sur Fibonacci dans la nature du Dr Ron Knott, de l'université du Surrey, montrent des tournesols avec 55 spirales dans un sens et 34 dans l'autre, et de plus grands avec 89 et 55.
Les mêmes pages classent des fleurs selon leur nombre de pétales, comme les delphiniums avec 8, le séneçon et certaines marguerites avec 13, et les asters avec 21. Compter ensemble est une belle activité concrète, qui montre aux enfants que les nombres décrivent des choses réelles autour d'eux.
Pourquoi les plantes poussent-elles en spirales de Fibonacci ?
Beaucoup de plantes placent chaque nouvelle graine ou feuille avec à peu près le même angle de rotation par rapport à la précédente, environ 137,5°. Cet angle, lié au nombre d'or, permet de serrer les graines sans laisser d'espace perdu, et les spirales que l'on peut compter sont une conséquence de cette rotation régulière. La deuxième partie du guide de Ron Knott explique pourquoi cet angle fonctionne si bien.
La suite de Fibonacci est-elle vraiment partout dans la nature ?
Non. Les nombres de Fibonacci sont fréquents chez les plantes, mais ce n'est pas une loi de la nature. Les pages de Ron Knott à Surrey rappellent qu'on ne trouve pas toujours des nombres de Fibonacci dans les pétales ou les capitules, et certaines fleurs, comme les fuchsias, ont 4 pétales. Beaucoup d'affirmations en ligne, surtout sur les coquillages, les visages et les monuments célèbres, vont bien au-delà de ce que montrent les faits.
Exemple
La coquille du nautile est souvent montrée avec une spirale d'or dessinée par-dessus. La coquille grandit bien selon une spirale logarithmique, une courbe qui garde la même forme en s'agrandissant. Mais les pages de Knott précisent que son facteur de croissance varie et n'est peut-être pas le nombre d'or, et qu'il est incorrect de parler de spirale d'or. Le nautile est donc une magnifique spirale, mais pas une preuve de Fibonacci.
C'est aussi une leçon utile pour les enfants plus grands. Une régularité qui revient souvent mérite d'être remarquée, mais la question honnête reste toujours « à quelle fréquence, et avec quelle précision ? ». Compter les spirales d'une vraie pomme de pin est un meilleur test que n'importe quelle image trouvée en ligne.
Deux nombres de départ et une seule règle construisent toute la suite
Chaque nombre de Fibonacci vient de la même étape, l'addition des deux nombres qui le précèdent. Voici les 21 premiers termes, à partir de F₀ = 0, pour vérifier votre propre liste.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1 597, 2 584, 4 181, 6 765
Si un enfant s'y perd, revenez aux deux derniers nombres dont il est sûr et additionnez à nouveau. La règle ne change jamais, donc une erreur se répare toujours facilement.
À entraîner ensuite