Si cela vous paraît faux, rassurez-vous, vous n'êtes pas seul. Des milliers de personnes, dont certaines titulaires d'un doctorat, ont d'abord refusé d'y croire. Voici l'énigme, puis plusieurs façons de comprendre pourquoi il vaut mieux changer. L'une d'elles finira sans doute par vous faire dire « ah, d'accord ».
Comment fonctionne le problème de Monty Hall ?
Vous participez à un jeu télévisé, face à trois portes fermées. Derrière l'une se trouve une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Vous choisissez une porte. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre l'une des deux autres portes et vous montre une chèvre. Il vous demande alors si vous gardez votre porte ou si vous préférez prendre la dernière porte fermée.
La plupart des gens haussent les épaules et disent que ça ne change rien. Il reste deux portes, donc c'est une chance sur deux. Eh bien non. En changeant, on gagne la voiture 2 fois sur 3.
L'énigme porte le nom de Monty Hall, qui présentait le jeu télévisé américain Let's Make a Deal (adapté en France sous le nom Le Bigdil). La célèbre réponse repose sur trois règles.
- Le présentateur ouvre toujours une porte que vous n'avez pas choisie.
- Le présentateur montre toujours une chèvre, jamais la voiture.
- Le présentateur vous propose toujours de changer.
Pourquoi changer de porte fait gagner 2 fois sur 3 ?
Votre premier choix est mauvais 2 fois sur 3. Et chaque fois qu'il est mauvais, le présentateur n'a pas le choix. Il doit ouvrir l'autre porte à chèvre, ce qui laisse la voiture derrière la porte vers laquelle vous pouvez changer. Changer gagne donc à chaque fois que votre premier choix était mauvais, et ne perd que si vous aviez pris la voiture du premier coup.
Exemple
Disons que vous choisissez toujours la porte 1. La voiture ne peut être qu'à trois endroits, et chacun a la même probabilité.
- La voiture est derrière la porte 1. Le présentateur ouvre la porte 2 ou la porte 3. Garder gagne, changer perd.
- La voiture est derrière la porte 2. Le présentateur doit ouvrir la porte 3. Garder perd, changer gagne.
- La voiture est derrière la porte 3. Le présentateur doit ouvrir la porte 2. Garder perd, changer gagne.
Faites le compte. Garder gagne une fois, changer gagne deux fois. Et c'est pareil quelle que soit la porte de départ.
On peut aussi se le représenter autrement. Votre porte part avec 1 chance sur 3, et les deux autres portes se partagent les 2 chances sur 3 restantes. Quand le présentateur ouvre l'une d'elles, la voiture ne bouge pas. Il vous montre simplement laquelle de ces deux portes détient maintenant à elle seule les 2 chances sur 3.
Pourquoi ce n'est pas une chance sur deux quand il reste deux portes ?
Parce que le présentateur n'ouvre pas une porte au hasard. Il sait où est la voiture et l'évite toujours, donc la porte qu'il laisse fermée a été choisie en connaissance de cause. Votre porte, elle, a été choisie à l'aveugle et garde sa chance sur 3. L'autre porte fermée récupère le reste, soit 2 chances sur 3.
Un article de Scientific American sur cette énigme attribue l'erreur à ce que les psychologues appellent le biais d'équiprobabilité. Nous avons tendance à supposer que toutes les issues que nous avons sous les yeux sont aussi probables les unes que les autres. Deux portes, ça ressemble à un pile ou face, alors on arrête de réfléchir.
L'autre piège, c'est que le geste du présentateur semble ne rien vous apprendre. En réalité, il vous apprend beaucoup. Chaque fois que votre porte cache une chèvre, le présentateur est obligé de laisser fermée la porte de la voiture. Ce choix forcé, c'est l'information cachée.
La version à 100 portes rend-elle les choses plus simples ?
Pour beaucoup de gens, oui. Imaginez 100 portes et une seule voiture. Vous en choisissez une, et le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre 98 des autres portes et montre 98 chèvres. Une seule porte reste fermée. Votre porte avait 1 chance sur 100. La porte que le présentateur a soigneusement évitée a désormais les 99 chances sur 100 restantes.
Exemple
Vous choisissez la porte 37. Le présentateur ouvre toutes les portes de 1 à 100 sauf la 37 et la 82. Croyez-vous vraiment que votre premier choix, fait au hasard, était le bon ? Il est bien plus probable qu'il ait évité la porte 82 parce que la voiture est derrière.
Marilyn vos Savant, qui a rendu l'énigme célèbre, utilisait une version encore plus grande, avec un million de portes. Le principe est le même avec trois portes, il est juste plus difficile à sentir. Si les 100 portes ne vous aident pas, pensez plutôt au fait de vous tromper. Votre premier choix est mauvais 2 fois sur 3, et changer transforme chaque mauvais choix en victoire.
Que se passe-t-il si le présentateur ne sait pas où est la voiture ?
Dans ce cas, changer ne sert plus à rien. Si le présentateur ouvre une porte au hasard et qu'il tombe par chance sur une chèvre, garder et changer gagnent chacun une fois sur deux. La réponse des 2 chances sur 3 n'est valable que si le présentateur sait où est la voiture, ouvre toujours une porte à chèvre et propose toujours de changer.
Exemple
Vous choisissez la porte 1, et un présentateur qui ne sait rien ouvre la porte 2 ou la porte 3 au hasard. Parfois, il dévoile la voiture par accident, et ces parties sont gâchées. Dans les parties où une chèvre apparaît, la voiture est derrière votre porte exactement une fois sur deux.
Le vrai Monty Hall a lui-même souligné ce piège. Dans un article du New York Times paru en 1991, il prévenait qu'un candidat devait se méfier si le présentateur pouvait décider de proposer ou non un changement. Dans une vraie émission, la proposition elle-même pourrait être un piège.
Comment tester le problème de Monty Hall soi-même ?
Il suffit de trois cartes à jouer et d'un ami. Un as joue le rôle de la voiture, deux autres cartes sont les chèvres. Votre ami les mélange face cachée, vous en désignez une, et votre ami retourne une chèvre que vous n'avez pas choisie. Jouez 30 manches en changeant à chaque fois. Vous devriez en gagner environ 20.
Jouez ensuite 30 autres manches en gardant toujours votre carte. Cette fois, vous devriez en gagner environ 10. Avec si peu de manches, les chiffres varieront un peu, mais la différence apparaît vite.
Même de grands mathématiciens ont eu besoin de le voir. Scientific American rapporte que le très prolifique mathématicien Paul Erdős s'est lui aussi laissé piéger. Alors si cela vous semble toujours faux, sortez les cartes.
Ce que l'énigme entraîne vraiment, c'est à compter tous les cas possibles de façon juste. Le jeu de probabilités pose le même genre de question à chaque manche. Dans le combat ci-dessous, par exemple, il faut compter de combien de façons 4 pièces peuvent donner exactement 1 face. La réponse est 4, car la face peut se trouver sur n'importe laquelle des quatre pièces.
Pourquoi tant de gens se trompent-ils sur le problème de Monty Hall ?
Deux portes fermées ressemblent tout simplement à une chance sur deux, et le fait que le présentateur sache où est la voiture passe facilement inaperçu. Le regret joue sans doute aussi un rôle. Perdre après avoir quitté la porte de la voiture fait plus mal que perdre en restant, alors beaucoup de gens gardent leur première porte même quand ils ont compris le calcul.
L'énigme est apparue pour la première fois en 1975, dans des lettres du statisticien Steve Selvin. Elle est devenue célèbre en 1990, quand Marilyn vos Savant y a répondu dans sa rubrique Ask Marilyn du magazine Parade en conseillant aux lecteurs de changer. Selon Scientific American, elle a reçu environ 10 000 lettres lui disant qu'elle avait tort. Le New York Times ajoutait que près de 1 000 d'entre elles étaient signées par des titulaires d'un doctorat.
Elle avait raison, bien sûr. Ces lettres font désormais partie de l'histoire, et elles rappellent mieux que tout qu'une intuition sûre d'elle sur le hasard peut se tromper complètement.
Changez de porte, tant que le présentateur sait et ouvre toujours une porte à chèvre
Avec les règles habituelles, changer double vos chances de gagner, qui passent de 1 sur 3 à 2 sur 3. Si l'on change les règles, la réponse peut changer aussi, par exemple avec un présentateur qui ouvre les portes au hasard ou qui ne propose de changer que quand ça l'arrange. C'est la leçon qui va bien au-delà des jeux télévisés. Avant de vous fier à une probabilité, demandez-vous comment ont été choisies les informations que vous avez sous les yeux.
À entraîner ensuite