Équation de droite passant par un point, et quand la préférer à y = ax + b

Comment écrire l'équation d'une droite passant par un point ?

Remplacez a par la pente (le coefficient directeur), et x₁ et y₁ par les coordonnées d'un point que vous connaissez. Laissez x et y sous forme de lettres. Ils représentent tous les autres points de la droite. Cette équation de droite passant par un point s'utilise quand on connaît un point de la droite et sa pente.

Exemple

Écrivez l'équation de la droite passant par (2 ; 3) de pente 2.

1. Le point donne x₁ = 2 et y₁ = 3.
2. La pente donne a = 2.
3. On remplace : y − 3 = 2(x − 2).

C'est terminé, il n'y a rien à simplifier. Pour en être sûr, testez un deuxième point. En partant de (2 ; 3), un pas vers la droite et deux pas vers le haut mènent en (3 ; 5). Remplacez par ces nombres : à gauche 5 − 3 = 2, à droite 2(3 − 2) = 2. Les deux côtés sont égaux.

Remarquez que (2 ; 3) apparaît directement dans l'équation. Pour tracer la droite, posez d'abord votre crayon sur ce point, puis continuez à partir de là.

Comment trouver l'équation d'une droite à partir de deux points ?

Calculez d'abord la pente avec a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Prenez ensuite l'un des deux points et placez-le dans y − y₁ = a(x − x₁) avec cette pente. Le choix du point n'a aucune importance. Les équations ont l'air différentes, mais une fois simplifiées, elles décrivent la même droite.

Exemple

Trouvez la droite passant par (1 ; −2) et (4 ; 7).

1. Pente : a = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Avec (1 ; −2) : y − (−2) = 3(x − 1), donc y + 2 = 3(x − 1)
3. Avec (4 ; 7) : y − 7 = 3(x − 4)

En développant l'une ou l'autre, on obtient y = 3x − 5. C'est bon à savoir avant de comparer des devoirs avec un corrigé. Si un élève a pris (4 ; 7) et le corrigé (1 ; −2), on voit deux équations différentes, et aucune des deux n'est fausse.

Pourquoi un point négatif change-t-il les signes ?

La formule soustrait les coordonnées du point. Si une coordonnée est négative, on soustrait un nombre négatif, et cela devient un plus. Ainsi, le point (−4 ; −1) donne y + 1 et x + 4. Écrire les parenthèses en entier avant de simplifier, c'est le moyen le plus simple d'éviter une erreur de signe.

Exemple

Écrivez l'équation de la droite passant par (−4 ; −1) de pente 1/2.

1. Avec les parenthèses : y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Après simplification : y + 1 = 1/2(x + 4)

Cela marche aussi dans l'autre sens. Avec y + 5 = −2(x − 6), le point de la droite est (6 ; −5), et non (6 ; 5). Quel que soit le signe que vous voyez dans l'équation, la coordonnée a le signe opposé.

Comment passer à l'équation réduite y = ax + b ?

Développez la parenthèse, puis faites passer le nombre du membre de gauche de l'autre côté pour isoler y. Vous obtenez l'équation réduite, y = ax + b. La pente ne change pas pendant la transformation, et le nombre qui reste seul à la fin est l'ordonnée à l'origine, là où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Exemple

Transformez y − 3 = 2(x − 2).

1. Développez la parenthèse : y − 3 = 2x − 4
2. Ajoutez 3 aux deux membres : y = 2x − 1

La pente vaut toujours 2, et la droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; −1). Vous pouvez voir ce point sur le graphique plus haut. Dans l'autre sens, c'est tout aussi rapide. Prenez y = −3x + 5, choisissez x = 1, et vous obtenez y = 2. Le point (1 ; 2) et la pente −3 donnent y − 2 = −3(x − 1).

Quelle forme utiliser ?

Choisissez la forme qui correspond à ce que vous savez déjà.

• L'équation passant par un point, quand vous avez un point et une pente, ou deux points.
• L'équation réduite, quand vous voulez lire la pente et l'ordonnée à l'origine ou tracer la droite.
• L'équation cartésienne, Ax + By = C, quand vous cherchez les points où la droite coupe les deux axes.

Beaucoup de professeurs attendent la réponse finale sous la forme y = ax + b. Rien ne vous empêche de partir de l'équation passant par un point et de la transformer à la fin.

D'où vient la formule y − y₁ = a(x − x₁) ?

C'est la formule de la pente, réarrangée. Prenez un point fixe (x₁ ; y₁) sur une droite et un autre point quelconque (x ; y) de la même droite. La pente entre les deux est a = (y − y₁) : (x − x₁). Multipliez les deux membres par (x − x₁) et vous obtenez y − y₁ = a(x − x₁).

Exemple

Gardez la droite passant par (2 ; 3) de pente 2, et testez le point (5 ; 9). La pente de (2 ; 3) à (5 ; 9) vaut (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Même pente, donc (5 ; 9) est sur la droite. C'est exactement ce que dit l'équation : 9 − 3 = 2(5 − 2).

Le manuel gratuit OpenStax Elementary Algebra 2e (en anglais) établit la formule de la même façon. Il l'utilise ensuite pour les droites passant par deux points et pour les droites parallèles et perpendiculaires, et c'est là que reprend la partie suivante.

Comment utiliser l'équation pour des droites parallèles et perpendiculaires ?

Une droite parallèle a la même pente que la droite de départ. Une droite perpendiculaire a pour pente l'opposé de l'inverse : on retourne la fraction et on change son signe. Une pente de 2 devient −1/2, et une pente de −3/4 devient 4/3. Une fois la nouvelle pente trouvée, placez-la dans l'équation avec le point donné.

Exemple

Trouvez la droite passant par (2 ; 3) et perpendiculaire à y = 2x − 1.

1. La pente de départ est 2, soit 2/1.
2. On retourne la fraction et on change le signe : −1/2.
3. Équation passant par le point : y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Équation réduite : y = −1/2x + 4

Vérification rapide avec x = 2 : −1/2 × 2 + 4 = 3, c'est bien l'ordonnée de notre point. Pour une parallèle passant par (6 ; 0), on garde la pente 2 : y − 0 = 2(x − 6), soit y = 2x − 12.

Toutes les droites peuvent-elles s'écrire ainsi ?

Presque toutes. L'exception, c'est la droite verticale. Tous ses points ont la même abscisse, donc le déplacement horizontal vaut 0, et une pente reviendrait à diviser par zéro. La droite verticale passant par (3 ; 1) s'écrit donc simplement x = 3. Les droites horizontales ne posent aucun problème, car leur pente vaut tout simplement 0.

Exemple

Prenons la droite horizontale passant par (1 ; 4). Avec la formule, cela donne y − 4 = 0(x − 1). Zéro fois n'importe quel nombre donne zéro, donc l'équation se réduit à y − 4 = 0, soit y = 4.

Comment s'entraîner sur l'équation de droite passant par un point ?

On devient rapide avec les droites en en voyant beaucoup. Dans le jeu sur les fonctions affines, vous combattez avec des questions sur les droites. Une manche peut demander la pente de (−2 ; 2) à (0 ; −6), et une bonne réponse déclenche votre attaque. Ici, cela donne (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

La transformation demande à chaque fois une petite équation. Si c'est là que ça coince, quelques manches du jeu des équations aident. Vous referez les mêmes gestes chaque fois que vous transformerez une formule.

La lettre de la pente change aussi d'un pays à l'autre. En France, on note a le coefficient directeur, alors que les manuels anglais écrivent m et que d'autres pays utilisent k. Quelle que soit la lettre, le nombre devant la parenthèse est la pente, et les nombres dans les parenthèses viennent d'un point de la droite.

Un point et une pente fixent la droite

Un seul point et une pente déterminent complètement une droite, et l'équation passant par un point l'écrit directement. Remplacez avec soin, gardez les parenthèses tant que les signes ne sont pas réglés, et testez le résultat avec un deuxième point. Ensuite, deux petites étapes suffisent pour arriver à y = ax + b.