Fonction affine f(x) = ax + b et équation de droite expliquées pas à pas

Pourquoi l'écriture f(x) = ax + b est si pratique

Quand une fonction affine est écrite sous cette forme, tu lis directement la pente et le point de départ, et tu traces sa droite en quelques secondes. Cette droite a pour équation y = ax + b. Voici comment la lire, comment la trouver à partir de deux points ou d'une autre équation, et les erreurs qui piègent le plus d'élèves.

Comment trouver l'expression f(x) = ax + b ?

Pour trouver f(x) = ax + b, il te faut deux informations, le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b. Calcule a à partir de deux points avec a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Remplace ensuite les coordonnées d'un point et la valeur de a dans y = ax + b, puis résous pour trouver b. Écris enfin le résultat avec tes nombres à la place de a et b.

Exemple

Trouve la droite qui passe par les points (1 ; 5) et (3 ; 9).

1. Coefficient directeur : a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
2. Avec le point (1 ; 5) : 5 = 2 × 1 + b, donc b = 3
3. Expression : f(x) = 2x + 3, et la droite a pour équation y = 2x + 3
4. Vérifie avec l'autre point (3 ; 9) : 2 × 3 + 3 = 9. Ça marche.

Cette vérification prend dix secondes et repère la plupart des erreurs, alors autant en faire une habitude.

Et si le coefficient directeur est une fraction ?

Les fractions sont tout à fait normales ici, et tomber sur une fraction ne veut pas dire que tu t'es trompé. Prends les points (4 ; 0) et (−2 ; 4). Le coefficient directeur vaut (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3. Ensuite, 0 = −2/3 × 4 + b donne b = 8/3, donc y = −2/3x + 8/3. Vérifie avec (−2 ; 4) : 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Garde le coefficient directeur sous forme de fraction plutôt qu'en nombre décimal arrondi, car la fraction est exacte et la vérification tombe juste. Si ce sont les fractions qui te ralentissent, quelques manches du jeu des fractions rendent les fractions égales et les simplifications beaucoup plus rapides.

Dans la manche ci-dessus, 7/10 = 70/100, car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux multipliés par 10.

Que signifient a et b dans f(x) = ax + b ?

Dans f(x) = ax + b, a est le coefficient directeur et b est l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur indique de combien y varie quand x augmente de 1, autrement dit de combien la droite monte pour chaque unité vers la droite. L'ordonnée à l'origine est la valeur de y quand x = 0, c'est-à-dire le point (0 ; b) sur l'axe des ordonnées.

Exemple

Pour y = 3x − 2, le coefficient directeur est 3 et l'ordonnée à l'origine est −2. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; −2), et chaque pas de 1 vers la droite la fait monter de 3. Pour y = −2x + 4, le coefficient directeur est −2, donc la droite descend de 2 à chaque pas vers la droite, et elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 4).

Le manuel OpenStax College Algebra 2e (en anglais) décrit la pente comme « ce qui monte divisé par ce qui avance » et l'ordonnée à l'origine comme le point où la valeur d'entrée vaut zéro. Avec un coefficient directeur positif, la droite monte de gauche à droite, avec un coefficient négatif elle descend, et plus le nombre est grand (sans tenir compte du signe), plus la droite est raide.

Une façon concrète de se représenter a et b

Une bougie mesure 20 cm et diminue de 2 cm chaque heure. Sa hauteur après t heures est h = −2t + 20. Le 20 est la valeur de départ (b), et −2 est la variation par heure (a). Au bout de 3 heures, elle mesure 14 cm, et au bout de 10 heures, elle a entièrement fondu. Beaucoup d'élèves trouvent plus simple de voir b comme la valeur de départ et a comme la variation à chaque pas.

Comment tracer la droite d'une fonction affine ?

Pour tracer la droite y = ax + b, commence par l'ordonnée à l'origine, le point (0 ; b) sur l'axe des ordonnées. De là, utilise le coefficient directeur comme « ce qui monte divisé par ce qui avance ». Avance vers la droite puis monte (ou descends si le coefficient est négatif) pour trouver un deuxième point. Trace une droite passant par les deux points et prolonge-la.

Exemple

Trace la droite y = 2x + 1.

1. Place l'ordonnée à l'origine (0 ; 1).
2. Le coefficient directeur 2 signifie 2/1, donc avance de 1 vers la droite et monte de 2. Tu arrives en (1 ; 3).
3. Trace la droite passant par (0 ; 1) et (1 ; 3).

Avec un coefficient directeur comme −2/3, avance de 3 vers la droite et descends de 2. En prenant le dénominateur comme pas horizontal, tu restes sur les nœuds du quadrillage, et la droite est plus facile à tracer précisément.

Comment passer d'une équation cartésienne à y = ax + b ?

Pour transformer une équation cartésienne comme Ax + By = C en équation réduite, isole y. Fais passer le terme en x de l'autre côté, puis divise chaque terme par le nombre devant y. Le nombre devant x est alors le coefficient directeur, et le nombre seul est l'ordonnée à l'origine.

Exemple

Transforme 2x + 3y = 6.

1. Soustrais 2x des deux côtés : 3y = −2x + 6
2. Divise chaque terme par 3 : y = −2/3x + 2

Le coefficient directeur est −2/3 et l'ordonnée à l'origine est 2. Une erreur fréquente consiste à lire un coefficient directeur de 2 directement dans 2x + 3y = 6. Les nombres ne donnent le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine qu'une fois y isolé d'un côté.

Partir d'un point et du coefficient directeur ou de y = ax + b ?

L'écriture y − y₁ = a(x − x₁) est pratique quand tu connais un point et le coefficient directeur, car tu peux l'écrire tout de suite. Pour le point (1 ; 5) et le coefficient directeur 2, tu obtiens y − 5 = 2(x − 1). Développe et simplifie, y = 2x − 2 + 5, et tu retrouves y = 2x + 3. Les deux écritures décrivent la même droite.

Quelles droites ne peuvent pas s'écrire y = ax + b ?

Les droites verticales ne peuvent pas s'écrire y = ax + b, et elles ne représentent d'ailleurs aucune fonction affine. Tous les points d'une droite verticale ont la même abscisse x, donc le pas horizontal vaut 0, et calculer le coefficient directeur reviendrait à diviser par zéro. C'est pourquoi une droite verticale n'a pas de coefficient directeur. La droite verticale qui passe par x = 3 s'écrit simplement x = 3.

Exemple

Les points (3 ; 1) et (3 ; 6) sont sur une droite verticale. Le coefficient directeur serait (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0, ce qui n'a pas de résultat. La droite est donc x = 3. Une droite verticale ne coupe jamais non plus l'axe des ordonnées, sauf si c'est l'axe lui-même, donc il n'y a pas d'ordonnée à l'origine à mettre à la place de b.

Les droites horizontales ne posent aucun problème. Les points (−1 ; 4) et (5 ; 4) donnent un coefficient directeur de 0 ÷ 6 = 0, donc la droite est y = 0x + 4, c'est-à-dire simplement y = 4. C'est la droite d'une fonction constante.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec f(x) = ax + b ?

La plupart des erreurs avec f(x) = ax + b sont de petites étourderies, pas des incompréhensions. On inverse les coordonnées d'un point, on soustrait dans un ordre différent en haut et en bas de la formule du coefficient directeur, ou on lit a et b avant d'avoir isolé y. Vérifier l'équation finale avec l'un des points de départ les repère presque toutes.

Une parade rapide pour chaque étourderie

Voici les étourderies qui reviennent sans cesse, avec une parade rapide pour chacune.

• Confondre x et y dans un point. (5 ; 7) veut dire x = 5 et y = 7. Pense « d'abord l'abscisse, ensuite l'ordonnée » en le lisant.
• Changer l'ordre de la soustraction. Si tu calcules 9 − 5 en haut, calcule 3 − 1 en bas, avec le même point en premier les deux fois.
• Confondre a et b. Dans y = 4 + 3x, le coefficient directeur est toujours 3, car a est le nombre qui multiplie x, quelle que soit sa place.
• Oublier un signe moins. Dans y = −x + 2, le coefficient directeur est −1, pas 1.
• Croire qu'une fraction est forcément fausse. Des coefficients comme 3/4 ou −2/3 sont aussi valables que 2.

S'entraîner avec f(x) = ax + b jusqu'à l'automatisme

On apprend à lire vite les droites en en voyant beaucoup. Dans le jeu des fonctions affines, chaque attaque est une question sur une droite, alors tu t'entraînes beaucoup à repérer coefficients directeurs et ordonnées à l'origine sans avoir l'impression de faire tes devoirs.

Trouver b, c'est aussi juste une petite équation en une étape. Si c'est là que tu bloques, le jeu des équations est un bon échauffement.

Les lettres changent selon les pays. En France, on écrit f(x) = ax + b pour une fonction affine, et l'équation réduite d'une droite se note souvent aussi y = mx + p. Aux États-Unis et dans les pays anglophones, on écrit y = mx + b, en Russie y = kx + b et en Italie y = mx + q. Quelles que soient les lettres, le nombre qui multiplie x est toujours le coefficient directeur, et le nombre seul indique où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Deux nombres suffisent pour toute droite non verticale

Toute droite qui n'est pas verticale peut s'écrire y = ax + b, donc deux nombres suffisent pour la décrire entièrement. Le coefficient directeur dit à quel point elle est pentue et dans quel sens elle va, et l'ordonnée à l'origine dit où elle commence. Trouve ces deux nombres, vérifie ton équation avec un point, et le reste suit.