Comment calculer l'écart type étape par étape ?
Pour calculer l'écart type, trouvez la moyenne, soustrayez-la de chaque valeur, élevez chaque écart au carré et additionnez les carrés. Divisez ce total par le nombre de valeurs, ce qui donne la variance. Enfin, prenez la racine carrée de la variance. Le résultat est l'écart type, exprimé dans les unités d'origine des données.
Exemple
Deux équipes de 8 joueurs répondent au même quiz de 10 questions. Prenons l'équipe B, dont les scores sont 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 et 9.
- Trouvez la moyenne. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, et 40 : 8 = 5
- Soustrayez la moyenne de chaque valeur. On obtient −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Élevez chaque écart au carré. On obtient 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Additionnez les carrés. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Divisez par le nombre de valeurs. 32 : 8 = 4, c'est la variance
- Prenez la racine carrée. √4 = 2, donc l'écart type vaut 2
Le même calcul, valeur par valeur, permet de mieux s'y retrouver.
- 2 − 5 = −3, et (−3)² = 9
- 4 − 5 = −1, et (−1)² = 1, trois fois
- 5 − 5 = 0, et 0² = 0, deux fois
- 7 − 5 = 2, et 2² = 4
- 9 − 5 = 4, et 4² = 16
Remarquez que les écarts eux-mêmes, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 et 4, ont une somme de 0. C'est toujours le cas, et cela explique l'étape du carré, comme le montre la section suivante. La dernière étape demande une racine carrée, et quelques parties de racines carrées vous aideront à les estimer bien plus vite de tête.
Quelle est la formule de l'écart type ?
L'écart type d'une population est σ = √(Σ(x − μ)² : N). Ici, x désigne chaque valeur, μ la moyenne, N le nombre de valeurs, et Σ signifie « tout additionner ». Pour un échantillon tiré d'un groupe plus grand, divisez par n − 1 au lieu de N. Cette version se note s.
Exemple
Si l'équipe B est le groupe entier qui vous intéresse, utilisez N. La variance vaut 32 : 8 = 4, et σ = √4 = 2.
Si les 8 joueurs sont un échantillon choisi pour représenter toute une école, utilisez n − 1. La variance vaut 32 : 7 ≈ 4,57, et s = √4,57 ≈ 2,14.
Pourquoi diviser par n − 1 pour un échantillon ?
Un échantillon passe souvent à côté de certaines des valeurs les plus extrêmes du groupe complet, donc sa dispersion a tendance à sortir un peu trop petite. Diviser par n − 1, un nombre légèrement plus petit, rend le résultat un peu plus grand et corrige cet effet. Avec de grands échantillons, la différence entre les deux versions devient minime.
Les calculatrices et les tableurs proposent souvent les deux versions. Une touche ou une fonction marquée σ ou « population » divise par N, et une autre marquée s ou « échantillon » divise par n − 1. Vérifiez laquelle votre enseignant ou votre manuel attend, car les deux sont correctes dans leur propre situation.
Pourquoi élève-t-on les écarts au carré dans l'écart type ?
Les écarts à la moyenne ont toujours une somme nulle, car les valeurs au-dessus de la moyenne compensent celles en dessous. Le carré rend chaque écart positif, donc ils ne s'annulent plus. La racine carrée à la fin ramène ensuite le résultat aux unités d'origine, si bien qu'une dispersion en points se mesure en points.
Exemple
Pour l'équipe B, les écarts étaient −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 et 4. Leur somme vaut 0, donc leur moyenne simple vaut aussi 0, ce qui ne dit rien de la dispersion. Une fois au carré, ils deviennent 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 et 16, dont la somme est 32.
Le carré donne aussi plus de poids aux valeurs éloignées. Le NIST Engineering Statistics Handbook en donne une illustration claire. Un point situé à 2 unités de la moyenne ajoute 4 au total, alors qu'un point situé à 10 unités ajoute 100. L'écart type est donc sensible à une seule valeur extrême, comme un score de 0 dans un groupe qui a par ailleurs bien réussi.
Il existe une mesure plus simple qui évite le carré. L'écart absolu moyen prend la distance de chaque valeur à la moyenne, ignore les signes moins et en fait la moyenne. Pour l'équipe B, les distances 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 et 4 ont une somme de 12, et 12 : 8 = 1,5. Il est plus facile à calculer à la main, mais l'écart type est la mesure sur laquelle reposent la plupart des outils et des formules de statistique.
Qu'est-ce qu'un écart type élevé ou faible ?
Aucun nombre précis ne définit un écart type élevé ou faible. Cela dépend de la taille des valeurs et de ce qu'elles mesurent. Un écart type de 2 points est grand pour des scores de quiz sur 10, mais minuscule pour des scores sur 1 000. Comparez-le à la moyenne et à l'étendue des valeurs possibles.
Exemple
Comparons maintenant l'équipe B avec l'équipe A du même quiz.
- Équipe A : 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
- Équipe B : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Les deux équipes ont une moyenne de 5, car chaque liste a une somme de 40 et 40 : 8 = 5. Mais les scores de l'équipe A se regroupent autour de 5, alors que ceux de l'équipe B s'étalent de 2 à 9. L'écart type de l'équipe A est de 1 point, celui de l'équipe B de 2 points.
La moyenne seule ferait paraître ces équipes identiques. L'écart type montre que l'équipe A est très régulière, alors que l'équipe B compte des joueurs loin devant et d'autres loin derrière.
Un autre exemple
Deux boulangeries vendent toutes deux des pains d'un poids moyen de 500 g. Dans la première, l'écart type est de 5 g, donc presque chaque pain pèse près de 500 g. Dans la seconde, il est de 40 g, donc certains pains sont nettement plus légers et d'autres plus lourds. Les moyennes sont les mêmes, mais la première boulangerie est bien plus régulière.
Un écart type faible n'est pas toujours meilleur. En classe, un écart type élevé dans les résultats d'un contrôle peut simplement montrer que les enfants en sont à des stades très différents, ce qu'un enseignant a intérêt à savoir. Dans une usine, un écart type faible signifie en général que les machines sont fiables. Le nombre décrit la dispersion, et c'est le contexte qui dit si cette dispersion est une bonne nouvelle.
Un écart type ne peut jamais être négatif, car il vient de la racine carrée de nombres élevés au carré. Il vaut 0 seulement quand toutes les valeurs sont identiques.
Que signifie la règle 68-95-99,7 ?
Pour des données qui suivent une loi normale, la fameuse courbe en cloche, environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d'un écart type de la moyenne. Environ 95 % se trouvent à moins de deux écarts types, et environ 99,7 % à moins de trois. On l'appelle la règle empirique, et elle transforme un écart type en image rapide des données.
Exemple
Supposons que les temps sur une course de 1 km dans un grand groupe suivent une courbe en cloche, avec une moyenne de 6 minutes et un écart type de 1 minute. Alors environ 68 % des coureurs terminent entre 5 et 7 minutes. Environ 95 % terminent entre 4 et 8 minutes, et presque tout le monde termine entre 3 et 9 minutes.
La règle ne fonctionne bien que pour des données en forme de cloche. Les petits groupes, comme les deux équipes du quiz, la suivent rarement de près. Pour des données asymétriques, comme les revenus ou les temps d'attente, la moyenne et l'écart type peuvent donner une image trompeuse, et la médiane et l'étendue décrivent souvent mieux les données.
La moyenne est le point de départ de tout écart type, donc il est utile de calculer des moyennes rapidement. Dans le jeu de statistiques, chaque attaque d'un combat est une question de statistiques, et trouver une moyenne de tête fait partie de ce qui permet de gagner une manche. Des manches courtes et fréquentes développent cette rapidité mieux qu'une longue séance.
L'écart type est la distance typique à la moyenne
L'écart type répond à une seule question. À quelle distance de la moyenne se trouve une valeur typique ? Suivez ces étapes chaque fois que vous devez le calculer à la main.
- Trouvez la moyenne.
- Soustrayez la moyenne de chaque valeur.
- Élevez chaque écart au carré.
- Additionnez les carrés.
- Divisez par N pour une population entière, ou par n − 1 pour un échantillon.
- Prenez la racine carrée.
Un petit résultat signifie que les valeurs sont proches les unes des autres, et un grand résultat qu'elles sont dispersées. Lisez-le toujours à côté de la moyenne et des unités, car une dispersion n'a de sens que dans son contexte.
À entraîner ensuite