Comment calculer le volume d'un cylindre ?
Pour calculer le volume d'un cylindre, élevez au carré le rayon de la base circulaire, multipliez par π, qui vaut environ 3,14, puis multipliez par la hauteur. C'est la formule V = πr²h. Écrivez la réponse en unités cubiques, comme le cm³ ou le m³, car le volume mesure l'espace à l'intérieur d'un solide, et non une longueur ou une surface.
Exemple
Trouvez le volume d'un cylindre de 3 cm de rayon et de 10 cm de hauteur.
- Élevez le rayon au carré. 3 × 3 = 9
- Multipliez par π pour obtenir l'aire de la base. 9 × π ≈ 28,27 cm²
- Multipliez par la hauteur. 9π × 10 = 90π
- Ajoutez les unités cubiques. Le volume est d'environ 282,74 cm³
Vous pouvez aussi laisser la réponse sous la forme 90π cm³. Cette forme exacte évite les arrondis et elle est courante dans les classes plus avancées.
L'erreur la plus fréquente consiste à multiplier le rayon par 2 au lieu de l'élever au carré. Pour un rayon de 3 cm, 3 × 2 = 6, mais 3² = 9. Une autre erreur est d'élever aussi la hauteur au carré. Seul le rayon est élevé au carré, car seule la base est un cercle.
Pourquoi le volume d'un cylindre est-il πr²h ?
Un cylindre est une pile de disques identiques, comme une pile de pièces de monnaie. Chaque disque a une aire de πr², et la pile mesure h unités de haut. Le volume est donc l'aire de la base multipliée par la hauteur. Les prismes suivent la même règle, V = aire de la base × hauteur.
Exemple
Imaginez une pile de biscuits ronds et fins, chacun d'une aire de 20 cm². Si la pile mesure 5 cm de haut, elle occupe 20 × 5 = 100 cm³ d'espace. Un cylindre dont la base a une aire de 20 cm² et dont la hauteur est de 5 cm a le même volume.
Cette image explique aussi ce qui se passe quand le cylindre change de forme. Si vous doublez la hauteur, vous doublez le nombre de couches, donc le volume double. Si vous doublez le rayon, chaque couche devient quatre fois plus grande, car le rayon est élevé au carré. Le volume devient donc quatre fois plus grand.
Le cylindre se range aussi à côté de deux autres solides arrondis. Un cône de même base et de même hauteur contient exactement un tiers du cylindre. Une boule qui tient tout juste dans un cylindre en contient les deux tiers, un résultat dont Archimède était si fier, selon Britannica, qu'il a demandé qu'on le grave sur sa tombe.
Comment trouver le volume d'un cylindre à partir du diamètre ?
Pour trouver le volume à partir du diamètre, divisez le diamètre par deux pour obtenir le rayon, puis utilisez V = πr²h. Le diamètre est la distance d'un bord à l'autre de la base circulaire en passant par son centre, il vaut donc le double du rayon. En une seule étape, la formule est V = πd²h ÷ 4, ce qui donne exactement le même résultat.
Exemple
Une boîte de conserve a un diamètre de 8 cm et une hauteur de 12 cm. Divisez le diamètre par deux pour obtenir un rayon de 4 cm. Ensuite, 4² × π × 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Avec la formule en une étape, 8² = 64, puis 64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Mettre directement le diamètre dans πr²h est une erreur très courante. Avec la boîte ci-dessus, on obtient 64 × π × 12 ≈ 2 412,74 cm³, soit quatre fois trop. Si une réponse vous semble étonnamment grande, vérifiez que vous avez bien divisé le diamètre par deux.
Comment convertir le volume d'un cylindre en litres ?
Pour convertir le volume d'un cylindre en litres, calculez le volume en centimètres cubes et divisez par 1 000, car 1 litre vaut 1 000 cm³. Si le volume est en mètres cubes, multipliez plutôt par 1 000, car 1 m³ contient 1 000 litres. Avant de commencer, vérifiez que toutes les mesures sont dans la même unité.
Exemple
Un verre a un diamètre de 7 cm et une hauteur de 10 cm, mesurés à l'intérieur.
- Trouvez le rayon. 7 ÷ 2 = 3,5 cm
- Trouvez le volume. 3,5² × π × 10 ≈ 384,85 cm³
- Convertissez en litres. 384,85 ÷ 1 000 ≈ 0,38 litre, soit environ 385 ml
Pour un exemple plus grand, prenez une cuve d'eau de 0,5 m de rayon et de 1,2 m de hauteur. Son volume est 0,5² × π × 1,2 ≈ 0,94 m³. Multipliez par 1 000, et la cuve contient environ 942 litres.
Un problème fréquent est le mélange d'unités, par exemple un rayon en centimètres et une hauteur en mètres. Convertissez d'abord tout dans la même unité. Passer des cm³ aux m³, aux millilitres et aux litres devient beaucoup plus rapide avec quelques parties de conversion d'unités.
Comment trouver la hauteur ou le rayon d'un cylindre à partir de son volume ?
Pour trouver la hauteur, divisez le volume par l'aire de la base, donc h = V ÷ (πr²). Pour trouver le rayon, divisez le volume par π fois la hauteur, puis prenez la racine carrée, donc r = √(V ÷ (πh)). Ces deux formules sont simplement V = πr²h utilisée à l'envers, une étape à la fois.
Exemple
Une carafe cylindrique doit contenir 1 litre, soit 1 000 cm³, et son rayon est de 5 cm. Sa hauteur doit être de 1 000 ÷ (π × 5²) = 1 000 ÷ 78,54 ≈ 12,73 cm.
Maintenant dans l'autre sens. Un cylindre de 10 cm de hauteur contient 500 cm³. Son rayon est √(500 ÷ (π × 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Pour vérifier l'une ou l'autre réponse, remettez les nombres dans V = πr²h. Pour la carafe, π × 5² × 12,73 ≈ 1 000 cm³, donc la hauteur est juste.
La formule se retient mieux quand on l'utilise souvent, avec des nombres différents. Dans le jeu de géométrie, chaque attaque d'un combat est une question sur les formes, donc se rappeler vite πr²h fait partie de la victoire dans une manche. Dans le jeu, π compte pour 3, donc chaque réponse est un nombre entier que vous pouvez calculer de tête. Des parties courtes et fréquentes fonctionnent mieux qu'une longue séance.
Comment trouver le volume d'un cylindre creux ?
Un cylindre creux, comme un tuyau, est un grand cylindre dont on a retiré un cylindre plus petit au milieu. Calculez le volume du cylindre extérieur, soustrayez le volume du trou, et ce qui reste correspond à la matière. Sous forme de formule, cela donne V = π(R² − r²)h, où R est le rayon extérieur et r le rayon intérieur.
Exemple
Un tuyau mesure 100 cm de long, avec un rayon extérieur de 5 cm et un rayon intérieur de 4 cm.
- Élevez les deux rayons au carré. 5² = 25 et 4² = 16
- Soustrayez. 25 − 16 = 9
- Multipliez par π et par la longueur. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2 827,43 cm³
Une erreur courante consiste à soustraire les rayons avant de les élever au carré. On obtient alors (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, ce qui est beaucoup trop petit. Élevez d'abord chaque rayon au carré, puis soustrayez.
Trouvez d'abord l'aire de la base, puis multipliez par la hauteur
Toute question sur le volume d'un cylindre se ramène aux deux mêmes étapes. Trouvez l'aire de la base circulaire, puis multipliez par la hauteur. Utilisez cette liste pour choisir le bon point de départ.
- Avec le rayon r et la hauteur h : V = πr²h
- Avec le diamètre d : r = d ÷ 2, ou V = πd²h ÷ 4
- Pour trouver la hauteur : h = V ÷ (πr²)
- Pour trouver le rayon : r = √(V ÷ (πh))
- Cylindre creux : V = π(R² − r²)h
- Litres : cm³ ÷ 1 000, ou m³ × 1 000
Écrivez la réponse en unités cubiques, et ne convertissez en litres qu'à la fin, une fois le volume correct.