Les entiers relatifs sur la droite graduée
Sur une droite graduée, les entiers relatifs sont les points régulièrement espacés sur lesquels on tombe en comptant vers l'avant ou vers l'arrière à partir de 0. Des nombres comme 1/2, 3,5 ou √2 se trouvent dans les intervalles entre eux, donc ce ne sont pas des entiers. Voici comment faire la différence, pourquoi zéro en fait partie et comment fonctionnent vraiment les règles des signes.
Comment savoir si un nombre est un entier relatif ?
Un nombre est un entier relatif si on peut l'écrire sans fraction ni partie décimale. Il peut être positif, négatif ou nul. Le manuel OpenStax Prealgebra 2e (en anglais) le résume simplement : les entiers relatifs sont les nombres qui servent à compter, leurs opposés et zéro. Ainsi, 7, −7 et 0 sont des entiers relatifs, mais pas 7,5.
Exemple
Essayez ces vérifications rapides.
- −12 est un entier relatif, car c'est l'opposé de 12, un nombre qui sert à compter.
- 0 est un entier relatif.
- 3,5 n'est pas un entier, car il a une partie décimale.
- 1/2 n'est pas un entier.
- 8/2 est un entier, car 8/2 = 4.
- √9 est un entier, car √9 = 3.
- √2 n'est pas un entier, car il vaut environ 1,41.
Les derniers exemples montrent une bonne habitude. Calculez d'abord la valeur, puis décidez. Un nombre peut ressembler à une fraction ou à une racine et se révéler quand même entier.
Est-ce que 0 est un entier relatif ?
Oui, 0 est un entier relatif. Il se trouve au milieu de la droite graduée, entre les entiers négatifs et les entiers positifs. En France, on considère que zéro est à la fois positif et négatif, et on parle de nombres strictement positifs pour ceux qui sont plus grands que 0. Les manuels anglophones comme OpenStax disent au contraire que zéro n'est ni positif ni négatif, ce qui peut surprendre si votre enfant consulte des ressources en anglais. Dans tous les cas, zéro est pair, car 0 = 2 × 0, et sa division par 2 ne laisse aucun reste.
Les nombres négatifs sont-ils des entiers relatifs ?
Les nombres négatifs ne sont des entiers relatifs que s'ils n'ont ni fraction ni partie décimale. −5 et −100 sont des entiers relatifs. −2,5 et −3/4 sont négatifs, mais ce ne sont pas des entiers. Le même test fonctionne pour tous les nombres, quel que soit leur signe.
Quelle est la différence entre entiers relatifs et entiers naturels ?
Les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite, sans nombres négatifs. En France, 0 fait bien partie des entiers naturels. Les entiers relatifs contiennent tous les entiers naturels et, en plus, leurs opposés −1, −2, −3, etc. Ainsi, −4 est un entier relatif mais pas un entier naturel. Le mot « relatif » rappelle qu'on situe chaque nombre par rapport à zéro, d'un côté ou de l'autre.
Exemple
Voici comment les principaux ensembles de nombres s'emboîtent.
- Entiers naturels non nuls : 1, 2, 3, 4, …
- Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, …
- Entiers relatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Nombres rationnels : tous les nombres qui s'écrivent comme une fraction d'entiers, comme 1/2, −3/4 et 7 (qui vaut 7/1)
Les mathématiciens notent l'ensemble des entiers relatifs ℤ. La lettre vient du mot allemand Zahlen, qui signifie « nombres ». Les entiers naturels se notent ℕ. Tout le monde n'est d'ailleurs pas d'accord sur ce dernier ensemble, car certains livres, surtout en anglais, font commencer les entiers naturels à 1 plutôt qu'à 0.
Où trouve-t-on des entiers relatifs dans la vie de tous les jours ?
Les entiers relatifs apparaissent dès qu'on compte vers le haut et vers le bas à partir d'un point zéro. Les températures en dessous de zéro, les étages en sous-sol, les profondeurs sous le niveau de la mer ou la différence de buts d'une équipe de football sont des entiers qui peuvent être négatifs. Dans chaque cas, 0 est un point de repère, pas « rien ».
Exemple
Le matin, il fait −4 °C, et la température monte de 7 degrés jusqu'à midi. Partez de −4 et comptez 7 pas vers le haut sur la droite graduée : −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. À midi, il fait 3 °C, donc −4 + 7 = 3.
Dans un ascenseur, le rez-de-chaussée est souvent le 0, le parking peut se trouver au niveau −2 et le cinquième étage est le 5. Pour aller du −2 au 5, on parcourt 7 étages, car 5 − (−2) = 7.
Comment additionner et soustraire des entiers relatifs ?
Pour additionner des entiers relatifs, imaginez une droite graduée. Ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite, et ajouter un nombre négatif fait reculer vers la gauche. Soustraire est le contraire d'additionner, donc soustraire un nombre négatif fait avancer vers la droite. C'est pour cela qu'enlever un négatif donne un résultat plus grand.
Exemple
Calculez −3 + 5. Partez de −3 et faites 5 pas vers la droite. Vous passez par −2, −1, 0 et 1, et vous vous arrêtez à 2. Donc −3 + 5 = 2.
Encore quelques calculs pour s'entraîner.
- −6 + 2 = −4, car 2 pas vers la droite à partir de −6 mènent à −4.
- −2 − 5 = −7, car 5 pas vers la gauche à partir de −2 mènent à −7.
- 4 − (−3) = 7, car soustraire −3 revient à ajouter 3.
Pourquoi soustraire un nombre négatif donne-t-il un résultat plus grand ?
Soustraire, c'est se demander « quel est l'écart ? ». L'écart entre 4 et −3 sur la droite graduée est de 7 pas, donc 4 − (−3) = 7. OpenStax écrit la règle générale ainsi : a − (−b) = a + b. Beaucoup d'enfants bloquent sur −5 + 4, car ils voient un signe plus et s'attendent à un nombre plus grand. En partant de −5 et en avançant de 4 vers la droite, on voit que le résultat est −1.
Pourquoi moins par moins donne plus ?
Quand on multiplie deux entiers relatifs, le résultat est positif si les signes sont les mêmes et négatif s'ils sont différents. Un négatif multiplié par un négatif donne un positif à cause d'une régularité. Chaque fois que le premier nombre diminue de 1, le résultat change de la même quantité, et cette régularité ne continue que si le résultat devient positif.
Exemple
Regardez ce qui arrive à 3 × (−2) quand le premier nombre diminue de 1 à chaque fois.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Chaque résultat vaut 2 de plus que le précédent. Pour que la régularité continue après zéro, (−1) × (−2) doit valoir 2. On peut aussi se dire que multiplier par −1 fait faire demi-tour sur la droite graduée. Si on fait demi-tour deux fois, on regarde de nouveau dans le même sens.
La division des entiers relatifs suit-elle la même règle des signes ?
Oui. (−12) ÷ 3 = −4 et (−12) ÷ (−3) = 4, avec la même règle des signes. Il y a pourtant une différence. Additionner, soustraire ou multiplier deux entiers donne toujours un entier, mais ce n'est pas toujours le cas pour la division. 8 ÷ 2 = 4 est un entier, alors que 7 ÷ 2 = 3,5 n'en est pas un.
Comment devenir plus rapide avec les entiers relatifs ?
On devient rapide avec les entiers relatifs en faisant beaucoup de petits calculs, jusqu'à avoir la droite graduée en tête. Dans le jeu des nombres négatifs, chaque attaque est un calcul rapide avec des nombres négatifs, et les enfants s'entraînent ainsi aux règles des signes tout en cherchant à gagner le combat.
Dans la manche ci-dessus, soustraire −17 revient à ajouter 17, donc −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
La distance entre un nombre et zéro s'appelle sa valeur absolue, donc la valeur absolue de −5 est 5. C'est la notion que la plupart des élèves découvrent après les entiers relatifs, et le jeu de la valeur absolue la transforme en une série de manches rapides.
Les entiers relatifs sont les nombres qu'on atteint en comptant vers l'avant ou vers l'arrière
Chaque entier relatif est une étape qu'on peut atteindre en comptant à partir de 0, vers la droite pour les positifs et vers la gauche pour les négatifs. Zéro est au milieu et fait partie du groupe lui aussi. Si un enfant arrive à se représenter cette droite graduée, les règles pour additionner, soustraire et multiplier cessent d'être des règles à apprendre par cœur et commencent à prendre sens.
À entraîner ensuite