L'entraînement aux maths · réinventé
Jeu d’élimination de Gauss
Ici, le pivot de Gauss arrive coefficient par coefficient : le nombre qu’une opération sur les lignes laisse, une inconnue lue sur un escalier ou le rang de toute la matrice. Ton rival voit la même matrice, alors plus tes calculs sont propres, plus vite ton combattant frappe.
De 4 à 99+ ans · sans téléchargement · se joue dans votre navigateur · 23 langues
Qu’est-ce que l’élimination de Gauss ?
L’élimination de Gauss est une méthode pour résoudre un système d’équations linéaires en rangeant sa matrice, le tableau des coefficients, ligne par ligne. Tu peux échanger deux lignes, multiplier une ligne ou retrancher à une ligne un multiple d’une autre. Pas à pas, des zéros s’accumulent sous un escalier, puis les solutions se lisent depuis le bas.
Exemple : R₂ − 5·R₁ sur [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- La question demande a₂₂, le nouveau coefficient de la ligne 2, colonne 2, après R₂ − 5·R₁.
- Dans cette colonne, la ligne 2 contient 4 et la ligne 1 contient 2.
- Retire cinq fois le coefficient de la ligne 1 : 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- Le nouveau coefficient vaut −6, donc tu le tapes avec le signe moins.
Apprends-le pas à pas
Le pivot de Gauss range une matrice une ligne à la fois. Le geste qu'il utilise le plus : prendre une ligne et lui soustraire un certain nombre de copies d'une autre ligne. Écrit L₂ − 3·L₁, ça veut dire : nouvelle ligne 2 = ligne 2 moins 3 fois la ligne 1.
Tu le fais coefficient par coefficient, colonne par colonne. Pour trouver le nouveau coefficient de la ligne 2, colonne 3, prends l'ancien coefficient de la ligne 2 dans la colonne 3 et soustrais 3 fois le coefficient de la ligne 1 dans la colonne 3. S'ils valent 7 et 4, le nouveau coefficient vaut 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. Le k est choisi pour que le premier coefficient de la ligne devienne 0 — c'est tout l'intérêt du geste — mais tu n'as besoin que du seul coefficient que la question demande.
Trouve les deux coefficients dans la colonne demandée, multiplie celui du haut par k, soustrais, et tape le nouveau coefficient.
Astuces et erreurs fréquentes
- Lis a₃₂ comme un fauteuil de cinéma : d’abord le rang, puis le siège. Ligne 3, colonne 2, jamais l’inverse.
- Une erreur fréquente consiste à modifier les deux lignes. R₂ − 5·R₁ ne réécrit que la ligne 2 ; la ligne 1 reste telle quelle et prête ses nombres.
- Écris un petit système sur papier, comme x + y = 5 et x − y = 1, et faites la course pour éliminer x avant de trouver y.
Comment jouer
Chaque manche affiche une matrice avec une question à côté : une opération sur les lignes et le coefficient qu’elle change, une inconnue d’un système triangulaire ou un rang. Tape le nombre avant ton rival et Ail place le coup, d’autant plus fort que tu es rapide. Une erreur t’étourdit un instant.
— Réponses express —
Pivot de Gauss : la FAQ éclair
- Qu’est-ce que la remontée dans un système triangulaire ?
- La remontée résout un système triangulaire depuis sa dernière équation vers le haut. La ligne du bas ne contient qu’une inconnue, on la résout donc en premier. Cette valeur passe dans la ligne du dessus, qui n’a plus qu’une inconnue, et ainsi de suite jusqu’en haut. Si la dernière ligne dit 2x₄ = 10, alors x₄ = 5, et la ligne précédente utilise ce 5.
- Comment trouver le rang d’une matrice ?
- Pour trouver le rang d’une matrice, échelonne-la jusqu’à voir un escalier de pivots, puis compte les lignes qui ne sont pas entièrement nulles. Une ligne qui devient nulle était un mélange des autres et n’apporte rien de neuf. Une matrice 3×3 dont la troisième ligne est la somme des deux premières a pour rang 2.
- Pourquoi je me trompe de signe en échelonnant ?
- Les erreurs de signe en échelonnant viennent presque toujours de la soustraction d’un coefficient négatif. Si la ligne 1 contient −3 et que l’opération est R₂ − 2·R₁, tu retranches 2 × (−3) = −6, c’est-à-dire que tu ajoutes 6. Écris chaque produit entre parenthèses avec son signe avant de soustraire, et l’erreur disparaît.
- À quel âge apprend-on le pivot de Gauss ?
- Dans de nombreux systèmes scolaires, le pivot de Gauss arrive avec un premier cours universitaire d’algèbre linéaire, même si certains lycées l’abordent avec des systèmes 3×3. Ici, ses niveaux visent les jeunes de 18 ans. Toute personne à l’aise avec les nombres négatifs et les équations simples peut commencer au premier niveau.
- Ce jeu d’échelonnement est-il gratuit et utilisable en classe ?
- Oui, il est gratuit dans n’importe quel navigateur sur ordinateur, tablette ou téléphone, sans rien installer. Pour s’entraîner à échelonner, donne à chaque équipe un système 3×3 et demande-lui d’annoncer chaque nouveau coefficient au fil des éliminations. La première équipe qui obtient un escalier propre explique ses étapes au reste de la classe. Avec l’offre pour les écoles, facturée par élève, un tableau de bord montre à l’enseignant qui progresse en vitesse.
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