Como se calcula a área do círculo?
Para calcular a área dun círculo, eleva ao cadrado o raio, que é a distancia do centro ao bordo, e multiplica o resultado por π, que vale uns 3,14. Escribe a resposta en unidades cadradas, como cm² ou m², porque a área mide unha superficie e non unha lonxitude.
Exemplo
Calcula a área dun círculo de 5 cm de raio.
- Eleva o raio ao cadrado. 5 × 5 = 25
- Multiplica por π. 25 × π ≈ 78,54
- Engade as unidades cadradas. A área é duns 78,54 cm²
Tamén podes deixar a resposta como 25π cm². Esta forma exacta é habitual nos cursos superiores, porque evita arredondar.
Uso 3,14 ou a tecla π?
As dúas opcións valen, sempre que sigas o que pida o profesor ou o enunciado. π é un número irracional, así que os seus decimais nunca rematan nin se repiten, como explica Britannica. Con 3,14 obtés 25 × 3,14 = 78,5 cm², mentres que coa tecla π obtés 78,54 cm². A pequena diferenza vén só do arredondamento de π.
Erros frecuentes coa fórmula
O erro máis frecuente é multiplicar o raio por 2 en lugar de elevalo ao cadrado. Cun raio de 5 cm, 5 × 2 = 10, pero 5² = 25. Outro descoido é multiplicar primeiro π polo raio e despois elevar ao cadrado todo o resultado. A xerarquía das operacións di que a potencia vai primeiro, así que eleva o raio ao cadrado antes de multiplicar por π.
Como se calcula a área do círculo a partir do diámetro?
Para calcular a área a partir do diámetro, divide o diámetro entre 2 para obter o raio e logo usa A = πr². O diámetro cruza o círculo dun lado a outro pasando polo centro, así que mide o dobre do raio. Nun só paso, a fórmula é A = πd² : 4, que dá exactamente o mesmo resultado.
Exemplo
Un círculo ten un diámetro de 10 cm. Divídeo entre 2 e obtés un raio de 5 cm. Entón 5² × π = 25π ≈ 78,54 cm².
Coa fórmula dun só paso, 10² = 100, e logo 100 × π : 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Os dous camiños coinciden.
Un erro moi común é poñer o diámetro directamente en πr². Con 10 cm, iso dá 100π ≈ 314,16 cm², que é catro veces máis da conta. Se un resultado che parece sorprendentemente grande, comproba se usaches o diámetro sen querer.
Como se calcula a área do círculo a partir da lonxitude da circunferencia?
Para calcular a área a partir da lonxitude da circunferencia, primeiro acha o raio dividindo a lonxitude entre 2π. Despois usa A = πr². A circunferencia é a liña que rodea o círculo, e a súa lonxitude é 2πr. Se prefires un só paso, a fórmula é A = C² : (4π), onde C é a lonxitude da circunferencia.
Exemplo
Un parterre redondo ten unha circunferencia de 30 m de lonxitude. Calcula a súa área.
- Acha o raio. 30 : (2 × π) ≈ 4,77 m
- Acha a área. Deixa o raio completo na calculadora. π × 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Comproba coa fórmula dun só paso. 30² : (4 × π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 m²
Se primeiro arredondas o raio a 4,77, obtés π × 4,77² ≈ 71,5 m². Esa pequena diferenza é a razón pola que convén arredondar só ao final.
Por que a área do círculo é πr²?
Corta un círculo en moitas porcións iguais, como unha pizza, e colócaas en fila, unha cara arriba e outra cara abaixo. As porcións forman unha figura que é case un rectángulo. A súa altura é o raio, r, e a súa base é a metade da lonxitude da circunferencia, πr. Así que a súa área é πr × r, é dicir, πr².
Exemplo
Imaxina un círculo de 5 cm de raio cortado en 16 porcións. A metade das porcións apuntan cara arriba e a outra metade cara abaixo. A fila mide o mesmo que media circunferencia, π × 5 ≈ 15,7 cm, e ten a altura do raio, 5 cm. Así que a área é duns 15,7 × 5 ≈ 78,5 cm², igual que coa fórmula.
Con só 16 porcións, os bordos aínda son un pouco ondulados. Con 100 ou 1000 porcións, a figura parécese cada vez máis a un rectángulo perfecto. Esa é a idea que hai detrás da fórmula, e é moito máis doada de lembrar que a fórmula soa.
O matemático grego Arquímedes traballou neste problema hai máis de 2000 anos. Britannica conta como demostrou que a área dun círculo dividida entre o cadrado do seu raio é sempre o mesmo número, e como usou polígonos dentro e fóra dun círculo para mostrar que π está entre 223/71 e 22/7.
Unha forma rápida de comprobar o resultado
Un círculo cabe xusto dentro dun cadrado cuxos lados miden o mesmo que o diámetro. Ese cadrado ten unha área de 2r × 2r = 4r². O círculo ocupa algo máis de tres cuartas partes, arredor do 78,5 %, porque π : 4 ≈ 0,785. Así que se un círculo de 5 cm de raio está dentro dun cadrado de 10 cm de lado e 100 cm², a súa área debe ser un pouco menor de 80 cm². É de 78,54 cm².
A fórmula fíxase mellor cando a usas a miúdo, con números distintos. No xogo de xeometría, cada ataque dun combate é unha pregunta sobre figuras, así que lembrar πr² axiña forma parte de gañar unha rolda. No xogo π vale 3, así que todas as respostas son números enteiros que podes calcular de cabeza. As roldas curtas e frecuentes funcionan mellor ca unha sesión longa.
Como se calcula o raio se coñeces a área?
Para achar o raio a partir da área, percorre a fórmula ao revés. Divide a área entre π e despois fai a raíz cadrada do resultado. Como fórmula, queda r = √(A : π). Multiplica o raio por 2 se o que necesitas é o diámetro.
Exemplo
Un círculo ten unha área de 50 cm². Divide entre π. 50 : π ≈ 15,92. Despois fai a raíz cadrada. √15,92 ≈ 3,99, así que o raio mide uns 3,99 cm e o diámetro uns 7,98 cm.
Para comprobalo, volve poñer o raio na fórmula. π × 3,99² ≈ 50,0 cm². Se tes as raíces cadradas un pouco oxidadas, unhas cantas roldas de raíces cadradas fan este paso moito máis rápido.
Unha pizza grande é máis que dúas pequenas?
Moitas veces, si. Como o raio vai ao cadrado, se duplicas o diámetro dun círculo, a súa área multiplícase por catro. Unha pizza de 30 cm de diámetro ten unha área duns 707 cm². Dúas pizzas de 20 cm de diámetro suman uns 628 cm², así que a pizza grande dáche máis.
Exemplo
Na pizza de 30 cm, o raio é de 15 cm, así que a área é π × 15² ≈ 706,9 cm². Nunha pizza de 20 cm, o raio é de 10 cm, así que a área é π × 10² ≈ 314,2 cm². As dúas xuntas suman uns 628,3 cm², uns 79 cm² menos que a pizza grande.
Este tipo de comparación é unha forma estupenda de ensinarlles aos nenos por que importa elevar ao cadrado. Un círculo só un pouco máis ancho cobre moita máis superficie.
Cal é a área dun semicírculo?
Un semicírculo é medio círculo, así que a súa área é a metade de πr², é dicir, πr² : 2. Para un semicírculo de 5 cm de raio, a área é 25π : 2 ≈ 39,27 cm². Lembra usar o raio e non a lonxitude do lado recto, que é o diámetro.
Acha primeiro o raio e o demais vén só
Case calquera problema de área do círculo vólvese doado cando coñeces o raio. Usa esta lista para escoller o primeiro paso correcto.
- Se coñeces o raio r: A = πr²
- Se coñeces o diámetro d: r = d : 2, ou A = πd² : 4
- Se coñeces a lonxitude da circunferencia C: r = C : (2π), ou A = C² : (4π)
- Se coñeces a área e buscas o raio: r = √(A : π)
- Semicírculo: A = πr² : 2
Escribe ao final as unidades ao cadrado e usa a comprobación do cadrado para ver se o resultado ten máis ou menos o tamaño correcto.
Adestra estas a continuación