Como se calcula a lonxitude da circunferencia a partir do radio ou do diámetro?
Para calcular a lonxitude dunha circunferencia, multiplica o diámetro por π, que vale aproximadamente 3,14, é dicir, C = πd. O diámetro é a distancia dun lado a outro pasando polo centro. Se só coñeces o radio, a distancia do centro ao bordo, primeiro duplica o radio ou usa C = 2πr. Os dous camiños dan a mesma lonxitude.
Exemplo
Calcula a lonxitude dunha circunferencia de radio 4 cm.
- Duplica o radio para obter o diámetro. 2 × 4 = 8 cm
- Multiplica por π. 8 × π ≈ 25,13
- Engade a unidade. A lonxitude é duns 25,13 cm
Tamén podes deixar o resultado como 8π cm. Esta forma exacta é habitual nos cursos superiores, porque evita redondear.
Co diámetro, abonda cun só paso. Unha mesa redonda de 1,2 m de diámetro ten un bordo de 1,2 × π ≈ 3,77 m, así que unha tira de moldura para rodeala debe medir algo menos de 4 m.
Usar 3,14 ou a tecla π?
As dúas opcións valen, sempre que sigas o que pide o enunciado. π é un número irracional, así que os seus decimais nunca rematan nin se repiten, e Britannica sinala que 3,14 ou 22/7 son as aproximacións habituais no día a día. Con 3,14, o primeiro exemplo dá 8 × 3,14 = 25,12 cm. Coa tecla π da calculadora, dá 25,13 cm. A pequena diferenza vén só do redondeo de π.
O erro máis frecuente
O fallo que máis puntos fai perder nos exames é poñer o diámetro en C = 2πr. Cun diámetro de 10 cm, iso dá 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, o dobre do correcto. A resposta correcta é 10 × π ≈ 31,42 cm. Se tes o diámetro, usa πd. Se tes o radio, usa 2πr.
Por que a lonxitude da circunferencia é π polo diámetro?
π defínese como a lonxitude dunha circunferencia dividida entre o seu diámetro. Todas as circunferencias, dende unha moeda ata un planeta, teñen a mesma forma, así que esta razón nunca cambia. Por iso C = πd funciona con calquera circunferencia. Se fas rodar un círculo sobre unha liña durante unha volta completa, percorre algo máis de tres diámetros.
Exemplo
Imaxina unha moeda de 2 cm de diámetro. Marca un punto no seu bordo e faina rodar sobre unha regra exactamente unha volta. A marca volve tocar a regra a uns 6,28 cm, porque 2 × π ≈ 6,28. Tres diámetros suman 6 cm, e o pequeno anaco extra son os 0,28 cm que converten o 3 en 3,14.
Podes comprobalo na casa cunha lata redonda, un anaco de corda e unha regra, ou con calquera obxecto redondo e unha cinta métrica. Mide a lonxitude do bordo e o diámetro, e divide a primeira entre o segundo. O resultado sempre se achega a 3,14, e os pequenos erros veñen de medir á man.
William Jones foi o primeiro en usar a letra grega π para esta razón, en 1706, segundo Britannica. A mesma entrada explica como Arquímedes encerrou π entre 223/71 e 22/7 debuxando polígonos dentro e fóra dunha circunferencia.
Como se calcula o diámetro ou o radio a partir da lonxitude da circunferencia?
Para achar o diámetro a partir da lonxitude da circunferencia, divide a lonxitude entre π, é dicir, d = C ÷ π. Para achar o radio, divide entre 2π, é dicir, r = C ÷ (2π). Funciona porque é a fórmula da lonxitude aplicada ao revés. Mides a distancia arredor e obtés a medida dun lado a outro.
Exemplo
Un tronco de árbore mide 150 cm de contorno. O seu diámetro é 150 ÷ π ≈ 47,75 cm, e o seu radio é a metade, uns 23,87 cm.
É un truco práctico para todo o que non podes medir dun lado a outro, como unha árbore, unha columna ou unha tubería. Unha cinta métrica arredor e unha soa división dante o diámetro.
Como se calcula a lonxitude da circunferencia a partir da área?
Para achar a lonxitude da circunferencia a partir da área do círculo, primeiro calcula o radio. Divide a área entre π e saca a raíz cadrada, é dicir, r = √(A ÷ π). Despois usa C = 2πr. Garda o radio completo na calculadora e redondea só ao final, para que os pequenos erros de redondeo non se acumulen.
Exemplo
Un círculo ten unha área de 100 cm².
- Calcula o radio. 100 ÷ π ≈ 31,83, e √31,83 ≈ 5,64 cm
- Calcula a lonxitude. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
Tamén hai unha fórmula dun só paso, C = 2√(πA). Con 100 cm², dá 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, o mesmo resultado. Se as raíces cadradas se che fan lentas, unhas cantas roldas de raíces cadradas farán este paso moito máis rápido.
Canto avanza unha roda nunha volta?
Unha roda avanza a lonxitude da súa circunferencia cada vez que dá unha volta, sempre que rode sen esvarar. Así que a distancia dunha volta é π polo diámetro da roda. Unha roda de bicicleta de 70 cm de diámetro avanza uns 2,2 m por volta, e con 1000 voltas percorre uns 2,2 km.
Exemplo
Para a roda de 70 cm, unha volta é 70 × π ≈ 219,9 cm, ou uns 2,2 m. Para percorrer 1 km, que son 100 000 cm, a roda dá 100 000 ÷ 219,9 ≈ 455 voltas.
Así é exactamente como moitos contaquilómetros de bicicleta e podómetros calculan a distancia. Contan voltas ou pasos e multiplícanos por unha lonxitude coñecida. Tamén é unha forma bonita de amosar aos nenos e nenas que π non é só un número do colexio.
A fórmula fíxase mellor cando a usas a miúdo e con números distintos. No xogo de xeometría, cada ataque dun combate é unha pregunta sobre figuras, así que lembrar C = πd axiña pasa a formar parte de gañar unha rolda. No xogo π vale 3, así que cada resposta é un número enteiro que podes calcular mentalmente. As roldas curtas e frecuentes funcionan mellor ca unha soa sesión longa.
Cal é o perímetro dun semicírculo?
O perímetro dun semicírculo é a metade da lonxitude da circunferencia máis o lado recto, é dicir, P = πr + 2r. Un erro frecuente é quedar en πr e esquecer o diámetro da base. Para un radio de 5 cm, a parte curva mide 5π ≈ 15,71 cm, e ao sumar 10 cm obtéñense uns 25,71 cm.
Que relación ten a lonxitude da circunferencia coa circunferencia unidade?
Unha circunferencia unidade ten radio 1, así que a súa lonxitude é exactamente 2π. Por iso unha volta completa equivale a 2π radiáns en trigonometría. A circunferencia unidade usa esta idea para medir os ángulos como distancias ao longo do bordo.
Coñece o radio ou o diámetro e terás a lonxitude
Case calquera pregunta sobre a lonxitude da circunferencia redúcese a unha multiplicación cando coñeces o radio ou o diámetro. Usa esta lista para escoller o paso correcto.
- Se coñeces o radio r: C = 2πr
- Se coñeces o diámetro d: C = πd
- Se coñeces a lonxitude e buscas o diámetro: d = C ÷ π
- Se coñeces a lonxitude e buscas o radio: r = C ÷ (2π)
- Se coñeces a área A: r = √(A ÷ π), e despois C = 2πr
- Semicírculo: P = πr + 2r
O resultado sempre é unha lonxitude, así que escríbeo en cm, m ou outra unidade de lonxitude, nunca en unidades cadradas.
Adestra estas a continuación