Como se constrúe a sucesión de Fibonacci?
Para construír a sucesión de Fibonacci, escribe 0 e 1, suma os dous últimos números para obter o seguinte e repite ese paso unha e outra vez. Cada número novo depende só dos dous anteriores, así que a lista pode seguir para sempre. Os números que escribes deste xeito chámanse números de Fibonacci.
Exemplo
Constrúe a sucesión paso a paso. Comeza con 0 e 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Cada número novo só necesita os dous últimos. Por iso é un bo reto de cálculo mental para nenos e nenas, porque os números medran axiña pero a regra nunca cambia. A regra é tan sinxela que a entende un neno pequeno, e aínda así os mesmos números aparecen nos xirasoles, nas piñas e no número áureo.
A sucesión comeza por 0 ou por 1?
As dúas versións son habituais. Moitos libros comezan con 0, 1, 1, 2, 3, e outros con 1, 1, 2, 3. Os números que veñen despois son os mesmos nos dous casos. Os matemáticos adoitan escribir a regra como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, con F₀ = 0 e F₁ = 1, que significa «cada termo é a suma dos dous anteriores».
Patróns agochados na sucesión
A sucesión ten pequenos patróns que aos nenos lles encanta descubrir. Un de cada tres números é par (0, 2, 8, 34, 144, 610), e todos os demáis son impares. Un de cada cinco números é divisible entre 5 (0, 5, 55, 610). Pide a un neno que comprobe estes patróns máis adiante na lista. É unha forma divertida de practicar a suma e descubrir estruturas ao mesmo tempo.
De onde vén a sucesión de Fibonacci?
A sucesión leva o nome de Leonardo de Pisa, coñecido como Fibonacci, un matemático italiano. Describiuna no seu libro Liber abaci, escrito en 1202, a través dun problema sobre coellos. Segundo a Britannica, é a primeira sucesión numérica recursiva coñecida en Europa, é dicir, cada termo constrúese a partir dos anteriores.
Exemplo
O problema dos coellos funciona así. Comezas cunha parella de coellos recién nacidos. Unha parella necesita un mes para facerse adulta, e a partir de aí cada parella adulta ten unha parella nova cada mes. Ningún coello marcha nunca. Conta as parellas ao comezo de cada mes.
- Mes 1: 1 parella (recién nacida)
- Mes 2: 1 parella (xa adulta)
- Mes 3: 2 parellas (os adultos e as súas primeiras crías)
- Mes 4: 3 parellas
- Mes 5: 5 parellas
- Mes 6: 8 parellas
O total de cada mes é o total do mes anterior máis o número de parellas adultas, e as adultas son xusto o total de dous meses antes. Esa é a regra de Fibonacci. Por suposto, os coellos de verdade non se comportan de forma tan ordenada. O problema era unha maneira de describir o patrón, non un estudo sobre animais.
Como se atopa o seguinte número da sucesión de Fibonacci?
Para atopar o seguinte número de Fibonacci, suma os dous últimos números da lista. Despois de 21 e 34 vén 21 + 34 = 55, e despois de 34 e 55 vén 89. Para atopar un número moi avanzado na sucesión, vai ampliando a lista ou usa a fórmula de Binet, que calcula calquera termo directamente co número áureo.
Exemplo
Atopa o décimo número de Fibonacci, contando F₀ = 0 como punto de partida. Se escribes a lista, obtés 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, así que F₁₀ = 55.
A fórmula de Binet dá a mesma resposta sen a lista. Eleva o número áureo φ (aproximadamente 1,618) á décima potencia e divide entre √5. Iso dá aproximadamente 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, e ao arredondar ao número enteiro máis próximo obtés 55. Para o alumnado maior é unha sorpresa bonita, porque un número construído con raíces cadradas cae sempre moi preto dun número enteiro.
Descubrir a regra que hai detrás dunha lista de números é unha habilidade que vai moito máis alá de Fibonacci. O xogo de series numéricas convérteo nun combate, onde cada ataque é unha serie e tes que atopar o número que falta. É unha forma rápida de practicar patróns como «suma os dous últimos» sen escribir nada.
Que relación hai entre a sucesión de Fibonacci e o número áureo?
Se divides cada número de Fibonacci entre o anterior, os resultados achéganse cada vez máis ao número áureo, aproximadamente 1,618. Por exemplo, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 e 89 : 55 ≈ 1,618. O número áureo é (1 + √5) : 2, un número cuxos decimais nunca rematan nin se repiten.
Exemplo
Fíxate en como os cocientes se estabilizan a medida que os números medran.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Os resultados quedan unhas veces por riba e outras por baixo de 1,618, e achéganse máis cada vez. A Britannica sinala que esta relación a describiu o matemático Robert Simson en 1753.
Que é a espiral de Fibonacci?
Debuxa un cadrado de lado 1, despois outro cadrado de lado 1 ao seu carón, despois un de lado 2, despois 3, despois 5 e despois 8, cada un pegado ao rectángulo que levas formado. Une as esquinas opostas de cada cadrado cun cuarto de circunferencia e obterás a espiral de Fibonacci. É unha aproximación moi boa da espiral áurea, que medra segundo o número áureo en cada cuarto de volta.
Onde aparece a sucesión de Fibonacci na natureza?
Os números de Fibonacci aparecen a miúdo nas plantas. As sementes dun xirasol forman dous grupos de espirais, e o número de espirais en cada sentido adoita ser unha parella de números de Fibonacci consecutivos, como 34 e 55 ou 55 e 89. As piñas amosan espirais parecidas, e moitas flores teñen 3, 5, 8, 13 ou 21 pétalos.
Exemplo
Colle unha piña ou unha foto dun xirasol e conta as espirais que xiran no sentido das agullas do reloxo. Despois conta as que xiran en sentido contrario. As páxinas sobre Fibonacci na natureza do Dr. Ron Knott, da Universidade de Surrey, amosan xirasoles con 55 espirais nun sentido e 34 no outro, e outros máis grandes con 89 e 55.
As mesmas páxinas clasifican flores polo seu número de pétalos, como as esporas de cabaleiro con 8, a herba de Santiago e algunhas margaridas con 13, e os ásteres con 21. Contar xuntos é unha actividade práctica preciosa, e ensina aos nenos que os números describen cousas reais que os rodean.
Por que as plantas medran en espirais de Fibonacci?
Moitas plantas colocan cada semente ou folla nova cun ángulo de xiro case igual respecto da anterior, duns 137,5°. Este ángulo, relacionado co número áureo, coloca as sementes moi xuntas sen deixar ocos, e as espirais que podes contar son unha consecuencia dese xiro constante. A segunda parte da guía de Ron Knott explica por que este ángulo funciona tan ben.
De verdade a sucesión de Fibonacci está en toda a natureza?
Non. Os números de Fibonacci son frecuentes nas plantas, pero non son unha lei da natureza. As páxinas de Ron Knott en Surrey sinalan que non sempre atoparás números de Fibonacci nos pétalos ou nas cabezas de sementes, e algunhas flores, como as fucsias, teñen 4 pétalos. Moitas afirmacións en internet, sobre todo sobre cunchas, caras e edificios famosos, esaxeran o que din os datos.
Exemplo
A cuncha do nautilo adoita mostrarse cunha espiral áurea debuxada enriba. A cuncha si medra en espiral logarítmica, unha curva que mantén a mesma forma a medida que se fai máis grande. Pero as páxinas de Knott sinalan que o seu factor de crecemento varía e pode non ser o número áureo, e que chamala espiral áurea é incorrecto. Así que o nautilo é unha espiral preciosa, pero non unha proba de Fibonacci.
Esta tamén é unha lección útil para os nenos máis maiores. Un patrón que aparece a miúdo merece atención, pero a pregunta honesta sempre é «con que frecuencia e con que precisión?». Contar as espirais dunha piña de verdade é unha proba mellor ca calquera imaxe de internet.
Dous números iniciais e unha regra constrúen toda a sucesión
Cada número de Fibonacci sae do mesmo paso, sumar os dous números anteriores. Aquí tes os 21 primeiros termos, comezando por F₀ = 0, para que poidas comprobar a túa propia lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
Se un neno se perde, volve con el aos dous últimos números dos que estea seguro e suma de novo. A regra nunca cambia, así que un erro sempre é fácil de corrixir.
Adestra estas a continuación